精修版高中数学人教A版选修44教学案： 第一讲 第4节 第1课时 柱坐标系 Word版含答案

精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理 第 1 课时 柱坐标系 核心必知 1柱坐标系的概念 建立空间直角坐标系 O - xyz， 设 P 是空间任意一点， 它在 Oxy 平面上的射影为 Q， 用(，)(0， 02)来表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标 这时点 P 的位置可用有序数组(，z)(zR)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z)叫做点 P 的柱坐标，记作P(，z)，其中 0，02，zR柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的 2直角坐标与柱坐标的转化 空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为xcos ，ysin ，zz. 问题思考 1柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？ 提示：柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标 2 在极坐标中， 方程 0(0为正常数)表示圆心在极点， 半径为 0的圆， 方程 0(0为常数)表示与极轴成 0角的射线，那么，在柱坐标系中，上述方程又分别表示什么图形？ 提示：在空间的柱坐标系中，方程 0表示中心轴为 z 轴，底半径为 0的圆柱面，它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的方程 0表示与 zOx 坐标面成 0角的半平面 已知空间点 P 的直角坐标为(4 3，4，3)，求它的柱坐标 精讲详析 本题主要考查将直角坐标化为柱坐标的方法，解答此题需要明确各坐标的意义，然后将其代入相应公式即可解决 由公式xcos ，ysin ，zz，得 2x2y2，z3. 2(4 3)2(4)2481664， 8. tan yx44 333， 又 x0，y0，点在第一象限 6. 点 P 的柱坐标为(8，6，3) 已知点的直角坐标， 确定它的柱坐标的关键是确定 和 ， 尤其是 ， 要注意求出 tan 还要根据点 P 所在的象限确定 的值( 的范围是0，2) 1已知空间点 M 的直角坐标为(1， 3，3)，求它的柱坐标 解：由公式xcos ，ysin ，zz，得1cos ， 3sin ，z3. 2(1)2( 3)24. 2. cos 12，sin 32. 又0，2)， 43. 即 M 的柱坐标为(2，43，3) 已知点 P 的柱坐标为8，6，4 ，求它的直角坐标 精讲详析 本题考查柱坐标与直角坐标的转化，解答本题只要将已知点的柱坐标代入相应的公式即可 P 点的柱坐标为(8，6，4)， 8，6. 由公式xcos ，ysin ，zz，得x8cos 6，y8sin 6，z4，即x4 3，y4，z4. P 点的直角坐标为(4 3，4，4) 已知柱坐标，求直角坐标直接利用变换公式xcos ，ysin ，zz即可 2已知点 M 的柱坐标为2，4，1 ，求 M 关于原点 O 对称的点的柱坐标 解：M( 2，4，1)的直角坐标为 x 2cos 41，y 2sin 41，z1， M 关于原点 O 的对称点的直角坐标为(1，1，1)， 2(1)2(1)22， 2. tan 111， 又 x0，y0. 54. M 关于原点 O 对称点的柱坐标为( 2，54，1). 给定一个底面半径为 2，高为 2 的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标系描述圆柱侧面以及底面上点的坐标 精讲详析 本题考查柱坐标系的建法以及柱坐标的确定方法解答本题需要建立恰当的柱坐标系，然后根据柱坐标的定义解决相关问题 以圆柱底面圆的圆心为原点，取两条互相垂直的直线为 x 轴 y 轴，以向上的中轴线为 z轴正方向建立柱坐标系 下底面上的点的柱坐标满足(1，1，0)，其中 012，012. 上底面上的点的柱坐标满足(2，2，2)，其中 022，022. 侧面上的点的柱坐标满足(2，3，z)，其中 032，0z2. (1)柱坐标系是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的 (2)解决此类问题的关键是找出这些点所具有的共性和变化的特征 3. 如图，P 为圆柱的上底面与侧面交线上的一点，且 P 点的柱坐标为(6，4，5)，求该圆柱的体积 解：过点 P 作 PP垂直底面，垂足为 P， P(6，4，5)， P点的坐标为(6，4，0) 圆柱底面圆的半径为 6，高为 5. 圆柱的体积为 V625180. 本课时考点在近几年的高考中未出现过 本考题以长方体的外接球为载体考查了柱坐标与直角坐标的转化 考题印证 如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为 A1(4，0，5)，C1(6，2，5)，则此长方体外接球的体积为_ 命题立意 本题主要考查柱坐标与直角坐标的转化以及长方体的外接球的体积的求法 解析 由长方体的两个顶点坐标为 A1(4，0，5)， C1(6，2，5)，可知：OA4，OC6，OO15， 则对角线长为 425262 77. 长方体外接球的半径为772， 球的体积为：43 (772)377 776. 答案：77 776 一、选择题 1柱坐标 P16，3，5 转换为直角坐标为( ) A(5，8，8 3) B(8，8 3，5) C(8 3，8，5) D(4，8 3，5) 解析：选 B 由公式xcos ，ysin ，zz，得x16cos 38，y16sin 38 3，z5. 即 P 点的直角坐标为(8，8 3，5) 2已知点 M 的直角坐标为(3，3，3)，则它的柱坐标为( ) A.3 2，4，3 B.3 2，34，1 C.3 2，54，3 D.3 2，74，1 解析：选 A 由公式xcos ，ysin ，zz，得3cos ，3sin ，3z， 2323218，3 2. cos 22，sin 22. 又0，2)， 4. M 点的柱坐标为(3 2，4，3) 3在柱坐标中，方程 2 表示空间中的( ) A以 x 轴为中心轴，底半径为 2 的圆柱面 B以 y 轴为中心轴，底半径为 2 的圆柱面 C以 z 轴为中心轴，底半径为 2 的圆柱面 D以原点为球心，半径为 2 的球面 解析：选 C 由柱坐标的几何意义可知，方程 2 表示以 z 轴为中心，底面半径为 2的圆柱面 4 空间点 P 的柱坐标为(， z)， 关于点 O(0， 0， 0)的对称的点的坐标为(0)( ) A(，z) B(，z) C(，z) D(，z) 解析：选 C 点 P(，z)关于点 O(0，0，0)的对称点为 P(，z) 二、填空题 5已知点 M 的直角坐标为(1，0，5)，则它的柱坐标为_ 解析： x0，y0，tan 0，0. 12021. 柱坐标为(1，0，5) 答案：(1，0，5) 6点 P 的柱坐标为8，4，2 ，则点 P 与原点的距离为_ 解 析 ： 点 P的 直 角 坐 标 为 (42 ， 42 ， 2) 它 与 原 点 的 距 离 为 ： （4 20）2（4 20）2（20）22 17. 答案：2 17 7设点 M 的直角坐标为(1， 3，4)，则点 M 的柱坐标为_ 解析： x2y212（ 3）22. tan 31 3 又 x0，y0. 53.柱坐标为(2，53，4) 答案：(2，53，4) 8在直角坐标系中，(1，1，1)关于 z 轴对称点的柱坐标为_ 解析：(1，1，1)关于 z 轴的对称点为(1，1，1)，它的柱坐标为( 2，54，1) 答案：( 2，54，1) 三、解答题 9求点 M(1，1，3)关于 xOz 平面对称点的柱坐标 解：点 M(1，1，3)关于 xOz 平面的对称点为(1，1，3) 由变换公式xcos ，ysin ，zz 得，212(1)22， 2. tan 111，又 x0，y0. 74. 其关于 xOz 平面的对称点的柱坐标为( 2，74，3) 10已知点 A 的柱坐标为(1，2)，B 的柱坐标为2，2，1 ，求 A、B 两点间距离 解：由 xcos 得：xcos 1. 由 ysin 得：ysin 0. A 点的直角坐标为(1，0，2) 同理：B 点的直角坐标为(0，2，1) |AB|（10）2（02）2（21）2 6. 故 A、B 两点间的距离为 6. 11. 如图建立柱坐标系， 正四面体 ABCD 的棱长为 2， 求 A、 B、 C、 D 的柱坐标 (O 是BCD的中心) 解：O 是BCD 的中心， 则 OCODOB2332 22 33 AO AC2OC22 63， C(2 33，0，0) D(2 33，23，0) B(2 33，43，0) A(0，0，2 63) 最新精品资料