精修版高中数学人教A版选修44教学案： 第二讲 第4节 渐开线与摆线 Word版含答案

精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理 核心必知 1渐开线的概念及产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切， 逐渐展开， 铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆 2摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹， 圆的摆线又叫旋轮线 3圆的渐开线和摆线的参数方程 (1)圆的渐开线方程：xr（cos sin ），yr（sin cos ）( 为参数) (2)摆线的参数方程：xr（sin ），yr（1cos ）( 为参数) 问题思考 1渐开线方程中，字母 r 和参数 的几何意义是什么？ 提示：字母 r 是指基圆的半径，参数 是指绳子外端运动时绳子上的定点 M 相对于圆心的张角 2摆线的参数方程中，字母 r 和参数 的几何意义是什么？ 提示：字母 r 是指定圆的半径， 参数 是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小 求半径为 4 的圆的渐开线的参数方程 精讲详析 本题考查圆的渐开线的参数方程的求法，解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OAAM，按渐开线定义，弧AM0的长和线段 AM 的长相等，记和 x 轴正向所夹的角为 (以弧度为单位)，则|AM|AM04 作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角和向量知识，得(4cos ，4sin )， 由几何知识知MAB，(4sin ，4cos )， 得 (4cos 4sin ，4sin 4cos ) (4(cos sin )，4(sin cos ) 又(x，y)，因此有x4（cos sin ），y4（sin cos ）， 这就是所求圆的渐开线的参数方程 解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程， 将问题归结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y) (2)取定运动中产生的某一角度为参数 (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式 (4)用向量运算得到的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程 1基圆直径为 10，求其渐开线的参数方程 解：取 为参数，为基圆上点与原点的连线与 x 轴正方向的夹角 直径为 10，半径 r5. 代入圆的渐开线的参数方程得：x5（cos sin ），y5（sin cos ）， 这就是所求的圆的渐开线的参数方程 求半径为 2 的圆的摆线的参数方程(如图所示，开始时定点 M 在原点 O 处，取圆滚动时转过的角度 ，(以弧度为单位)为参数) 精讲详析 本题考查圆的摆线的参数方程的求法解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可 当圆滚过 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，ABM. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧AM的长相等，它们的长都等于 2，从而 B 点坐标为(2，2) 向量(2，2)， 向量(2sin ，2cos )，(2sin ，2cos )， (22sin ，22cos ) (2(sin )，2(1cos ) 动点 M 的坐标为(x，y)，向量(x，y) 所以x2（sin ），y2（1cos ）. 这就是所求摆线的参数方程 2圆的半径为 r，沿 x 轴正向滚动，圆与 x 轴相切于原点 O.圆上点 M 起始处沿顺时针已偏转 角试求点 M 的轨迹方程 解：xMr r cos ()2rsin ()， yMrr sin (2) r1cos () 点 M 的参数方程为 xrsin （），yr1cos （）.( 为参数) 设圆的半径为 8，沿 x 轴正向滚动，开始时圆与 x 轴相切于原点 O，记圆上动点为 M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时 M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标 y 的最大值，说明该曲线的对称轴 精讲详析 本题考查摆线的参数方程的求法及应用解答本题需要先分析题意，搞清M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值 轨迹曲线的参数方程为x8（tsin t），y8（1cos t），(0t2) 即 t时，即 x8时，y 有最大值 16. 曲线的对称轴为 x8. 摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方 3当 2、时，求出渐开线xcos sin ，ysin cos 上对应的点 A、B，并求出 A、B 间的距离 解：将 2代入xcos sin ，ysin cos ， 得 xcos 22sin 2022， ysin 22cos 21. A(2，1) 将 ，代入xcos sin ，ysin cos ， 得 xcos sin 1，ysin cos . B(1，) |AB|（21）2（1）2 5422. 本课时考点是圆的渐开线或摆线的参数方程的应用， 近几年的高考题中还未出现过 本考题以填空题的形式对圆的摆线的参数方程的应用进行了考查，属低档题 考题印证 摆线xtsin t，y1cos t(0t2)与直线 y1 的交点的直角坐标为_ 命题立意 本题主要考查摆线方程及其参数的几何意义 解析 由题设得 11cos t，解得 t12，t232. 对应交点的坐标为x121，y11，x2321，y21， 交点为(21，1)，(321，1) 答案：(21，1)，(321，1) 一、选择题 1关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A只有圆才有渐开线 B渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形 C正方形也可以有渐开线 D对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 解析：选 C 本题主要考查渐开线和摆线的基本概念不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同 2.r5（sin ），y5（1cos ）( 为参数)表示的是( ) A半径为 5 的圆的渐开线的参数方程 B半径为 5 的圆的摆线的参数方程 C直径为 5 的圆的渐开线的参数方程 D直径为 5 的圆的摆线的参数方程 解析：选 B 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知 B 正确 3 已知一个圆的参数方程为x3cos ，y3sin ( 为参数)， 那么圆的摆线方程中参数取2对应的点 A 与点 B32，2 之间的距离为( ) A.21 B. 2 C. 10 D. 321 解析：选 C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为 3，那么它的摆线的参数方程为x3（sin ），y3（1cos ）( 为参数)， 把 2代入参数方程中可得x3（21），y3， 即 A(3(21)，3) |AB|3（21）322（32）2 10. 4已知一个圆的摆线过点(1，0)，则摆线的参数方程为( ) A.x12k（sin ），y12k（1cos ） B.x1k（sin ），y1k（1cos ） C.x12k（sin ），y12k（1cos ） D.x1k（sin ），y1k（1cos ） 解析：选 A 圆的摆线的参数方程为xr（sin ），yr（1cos ）， 令 r(1cos )0，得：2k，代入 xr(sin )， 得：xr(2ksin 2k)，又过(1，0)， r(2ksin 2k)1，r12k， 又 r0，kN. 二、填空题 5已知圆的渐开线的参数方程是xcos sin ，ysin cos ( 为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是_，当参数4时对应的曲线上的点的坐标为_ 解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为 1，故直径为 2.求当 4时对应的坐标只需把4代入曲线的参数方程，得 x2228，y2228，由此可得对应的坐标为(2228，2228) 答案：2 (2228，2228) 6 我 们 知 道 关 于 直 线 y x 对 称 的 两 个 函 数 互 为 反 函 数 ， 则 圆 的 摆 线xr（sin ），yr（1cos ）( 为参数)关于直线 yx 对称的曲线的参数方程为_ 解析：关于直线 yx 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了 x 与 y 的互换，所以要写出摆线方程关于 yx 对称的曲线方程，只需把其中的 x，y 互换 答案：xr（1cos ），yr（sin ）( 为参数) 7渐开线x6（cos sin ），y6（sin cos ）( 为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为_ 解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径 r6，其方程为 x2y236，把基圆的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为(12x)2y236，整理可得x2144y2361，这是一个焦点在 x 轴上的椭圆c a2b2 144366 3，故焦点坐标为(6 3，0)和(6 3，0) 答案：(6 3，0)和(6 3，0) 8圆的渐开线x 2（cos ttsin t），y 2（sin ttcos t）上与 t4对应的点的直角坐标为_ 解析：对应点的直角坐标为 x 2（cos 44sin 4） 2（22422）14y 2（sin 44cos 4） 2（22422）14 t4对应的点的直角坐标为(14，14) 答案：(14，14) 三、解答题 9半径为 r 的圆沿直轨道滚动，M 在起始处和原点重合，当 M 转过53和72时，求点M 的坐标 解：由摆线方程可知： 53时，xM103 36r，yM12r； 72时，xM12r(72)，yMr. 点 M 的坐标分别是(103 36，12r)、(12r(72)，r) 10.如图 ABCD 是边长为 1 的正方形，曲线 AEFGH叫做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH的圆心依次按 B、C、D、A 循环，它们依次相连接，求曲线 AEFGH的长 解：根据渐开线的定义可知，AE是半径为 1 的14圆周长，长度为2，继续旋转可得EF是半径为 2 的14圆周长，长度为；FG是半径为 3 的14圆周长，长度为32；GH是半径为 4 的14圆周长，长度为 2.所以曲线 AEFGH 的长是 5. 11已知圆 C 的参数方程是x16cos ，y26sin ( 为参数)，直线 l 的普通方程是 xy6 20. (1)如果把圆心平移到原点 O，请问平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程 (3)求摆线和 x 轴的交点 解：(1)圆 C 平移后圆心为 O(0，0)，它到直线 xy6 20 的距离为 d6 226，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的 (2)由于圆的半径是 6，所以可得摆线方程是 x66sin ，y66cos ，(为参数) (3)令 y0， 得 66cos 0cos 1， 所以 2k(kZ) 代入 x66sin ，得 x12k(kZ)，即圆的摆线和 x 轴的交点为(12k，0)(kZ) 最新精品资料