精修版高中数学人教A版选修44教学案： 第二讲 第2节 第2课时 双曲线、抛物线的参数方程 Word版含答案

精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理 第 2 课时 双曲线、抛物线的参数方程 核心必知 1双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线x2a2y2b21 的参数方程是xasec，ybtan ，规定参数 的取值范围为0，2)且 2，32 (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线y2a2x2b21 的参数方程是xbtan ，yasec 2抛物线的参数方程 (1)抛物线 y22px 的参数方程为x2pt2，y2pt，tR (2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数 问题思考 1在双曲线的参数方程中，的几何意义是什么？ 提示： 参数 是点 M 所对应的圆的半径 OA 的旋转角(称为点 M 的离心角)， 而不是 OM的旋转角 2如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？ 提示：如果 x 对应的参数形式是 asec，则焦点在 x 轴上； 如果 y 对应的参数形式是 asec，则焦点在 y 轴上 3若抛物线的参数方程表示为x2ptan2，y2ptan .则参数 的几何意义是什么？ 提示：参数 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角 在双曲线 x2y21 上求一点 P，使 P 到直线 yx 的距离为 2. 精讲详析 本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出 P 点的坐标，建立方程求解 设 P 的坐标为(sec，tan )，由 P 到直线 xy0 的距离为 2得|sectan |2 2 得|1cos sin cos |2，|1sin |2|cos | 平方得 12sin sin 24(1sin 2)， 即 5sin 22sin 30. 解得 sin 1 或 sin 35. sin 1 时，cos 0(舍去) sin 35时，cos 45. P 的坐标为(54，34)或(54，34) 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的， 因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理 1求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点 证明：设双曲线为 x2y2a2，取顶点 A(a，0)， 弦 BBOx，B(asec ，atan )，则 B(asec ，atan ) kBAatan asec a，kBAatan asec a， kBAkBA1. 以 BB为直径的圆过双曲线的顶点 连接原点 O 和抛物线 2yx2上的动点 M，延长 OM 到 P 点，使|OM|MP|，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线 精讲详析 本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出 M、P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解 设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长线上，且 M 为线段 OP 的中点，抛物线的参数方程为x2t，y2t2，由中点坐标公式得x04t，y04t2， 变形为 y014x20，即 x24y.表示的为抛物线 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时， 常根据需要引入一个中间变量即参数(将 x，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标 2已知抛物线 C：x2t2，y2t(t 为参数)，设 O 为坐标原点，点 M 在抛物线 C 上，且点M 的纵坐标为 2，求点 M 到抛物线焦点的距离 解：由x2t2，y2t得 y22x， 即抛物线的标准方程为 y22x. 又M 点的纵坐标为 2， M 点的横坐标也为 2. 即 M(2，2) 又抛物线的准线方程为 x12. 由抛物线的定义知|MF|2(12)21252. 即点 M 到抛物线焦点的距离为52. 如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线x4sec，y3tan ( 为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离 精讲详析 本题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答本题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即可 x216y291， 右焦点(5，0)，右顶点(4，0) 设椭圆x2a2y2b21，a5，c4，b3. 方程为x225y291. 设椭圆上一点 P(5cos ，3sin )， 双曲线一渐近线为 3x4y0， 点 P 到直线的距离 d|35cos 12sin |5 3| 41sin （）|5(tan 54) dmax3 415. 对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要 3(广东高考)已知两曲线参数方程分别为x 5cos ，ysin (0)和x54t2，yt(tR)，它们的交点坐标为_ 解析：由x 5cos ，ysin (0)得x25y21(y0)， 由x54t2，yt(tR)得 x54y2. 联立方程可得x25y21，x54y2则 5y416y2160， 解得 y245或 y24(舍去)，则 x54y21. 又 y0，所以其交点坐标为(1，2 55) 答案：(1，2 55) 本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化 天津高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义的应用，属低档题 考题印证 (天津高考)已知抛物线的参数方程为x2pt2，y2pt，(t 为参数)，其中 p0，焦点为 F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线， 垂足为E.若|EF|MF|， 点M的横坐标是3， 则p_ 命题立意 本题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用 解析 由题意知，抛物线的普通方程为 y22px(p0)，焦点 F(p2，0)，准线 xp2，设准线与 x 轴的交点为 A.由抛物线定义可得|EM|MF|，所以MEF 是正三角形，在 RtEFA 中，|EF|2|FA|，即 3p22p，得 p2. 答案：2 一、选择题 1下列参数方程(t 为参数)与普通方程 x2y0 表示同一曲线的方程是( ) A.x|t|，yt B.xcos t，ycos 2t C.xtan t，y1cos 2t1cos 2t D.xtan t，y1cos 2t1cos 2t 解析：选 D 注意参数范围，可利用排除法普通方程 x2y0 中的 xR，y0.A 中x|t|0，B 中 xcos t1，1，故排除 A 和 B.而 C 中 y2cos2t2sin2tcot2t1tan2t1x2，即x2y1，故排除 C. 2下列双曲线中，与双曲线x 3sec ，ytan ( 为参数)的离心率和渐近线都相同的是( ) A.y23x291 B.y23x291 C.y23x21 D.y23x21 解析：选 B 由 x 3sec 得，x23cos23（sin 2cos2）cos2 3tan 23， 又ytan ， x23y23，即x23y21. 经验证可知，选项 B 合适 3过点 M(2，4)且与抛物线x2t2，y4t只有一个公共点的直线有( )条( ) A0 B1 C2 D3 解析：选 C 由x2t2y4t得 y28x. 点 M(2，4)在抛物线上 过点 M(2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有 2 条 4方程x2t2t，y2t2t(t 为参数)表示的曲线是( ) A双曲线 B双曲线的上支 C双曲线下支 D圆 解析：选 B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得： x2y2(2t2t)2(2t2t)24， 即 y2x24. 又注意到 2t0，2t2t2 2t2t2，即 y2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为： y2x24(y2) 显然它表示焦点在 y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支 二、填空题 5(陕西高考)圆锥曲线xt2，y2t(t 为参数)的焦点坐标是_ 解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为 y24x，则焦点坐标为(1，0) 答案：(1，0) 6已知抛物线 C：x2t2，y2t(t 为参数)设 O 为坐标原点，点 M 在 C 上运动(点 M 与 O不重合)，P(x，y)是线段 OM 的中点，则点 P 的轨迹普通方程为_ 解析：抛物线的普通方程为 y22x，设点 P(x，y)，点 M 为(x1，y1)(x10)，则 x12x，y12y. 点 M 在抛物线上，且点 M 与 O 不重合， 4y24xy2x.(x0) 答案：y2x(x0) 7双曲线x2 3tan ，y6sec ( 为参数)的两焦点坐标是_ 解析：双曲线x2 3tan ，y6sec ( 为参数)的标准方程为 y236x2121，焦点在 y 轴上，c2a2b248. 焦点坐标为(0，4 3) 答案：(0，4 3) 8(广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1和 C2的参数方程分别为xt，y t(t 为参数)和x 2cos ，y 2sin ( 为参数)，则曲线 C1与 C2的交点坐标为_ 解析：由xt，y t，得 y x，又由x 2cos ，y 2sin ， 得 x2y22. 由y x，x2y22，得x1，y1， 即曲线 C1与 C2的交点坐标为(1，1) 答案：(1，1) 三、解答题 9已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)，A、B 是双曲线同支上相异两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P(x0，0)，求证：|x0|a2b2a. 证明：设 A、B 坐标分别为(asec ，btan )，(asec ，btan )，则中点为 M(a2(sec sec )，b2(tan tan )，于是线段 AB 中垂线方程为 yb2(tan tan ) a（sec sec ）b（tan tan ）xa2(sec sec ) 将 P(x0，0)代入上式，x0a2b22a(sec sec ) A、B 是双曲线同支上的不同两点， |sec sec |2. |x0|a2b2a. 10过点 A(1，0)的直线 l 与抛物线 y28x 交于 M、N 两点，求线段 MN 的中点的轨迹方程 解：设抛物线的参数方程为x8t2，y8t(t 为参数)， 可设 M(8t21，8t1)，N(8t22，8t2)， 则 kMN8t28t18t228t211t1t2. 又设 MN 的中点为 P(x，y)， 则x8t218t222，y8t18t22.kAP4（t1t2）4（t21t22）1. 由 kMNkAP知 t1t218， 又x4（t21t22），y4（t1t2）， 则 y216(t21t222t1t2)16(x414)4(x1) 所求轨迹方程为 y24(x1) 11已知圆 O1：x2(y2)21 上一点 P 与双曲线 x2y21 上一点 Q，求 P、Q 两点距离的最小值 解：设 Q(sec ，tan )，|O1P|1， 又|O1Q|2sec2(tan 2)2 (tan21)(tan24tan 4) 2tan24tan 5 2(tan 1)23. 当 tan 1，即 4时，|O1Q|2取最小值 3， 此时有|O1Q|min 3. 又|PQ|O1Q|O1P| |PQ|min 31. 最新精品资料