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2019版数学精品资料（北师大版）温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十四)直线与圆的位置关系一、选择题(每小题3分，共18分)1.设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为()A.±4B.±2C.±2D.±2【解析】选C.直线方程为y-a=x，即x-y+a=0.该直线与圆x2+y2=2相切，所以|a|2=2，所以a=±2.2.圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点到直线y=x-1的最近距离为()A.22B.2-1C.22-1D.1【解析】选C.圆心(-2，1)到直线y=x-1的距离是d=|-2-1-1|2=22.所以圆上的点到直线的最近距离是22-1.【变式训练】已知点P为圆x2+y2-2x-2y+1=0上一点，且点P到直线x-y+m=0距离的最小值为2-1，则m的值为()A.-2B.2C.±2D.±2【解题指南】圆上的点到直线的距离的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径，进而可求出m的值.【解析】选D.圆x2+y2-2x-2y+1=0化为标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1，圆心为(1，1)，半径为1，因为圆上的点P到直线x-y+m=0距离的最小值为2-1，所以圆心到直线的距离等于2，即|1-1+m|2=2，解得m=±2.3.(2014·海淀高一检测)设m>0，则直线2(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为()A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切【解析】选C.因为圆心到直线的距离d=1+m2，圆的半径长r=m.所以d-r=1+m2-m=12(m-2m+1)=12(m-1)20，所以直线与圆的位置关系是相切或相离，故选C.4.(2014·杭州高一检测)平行于直线2x-y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线方程是()A.2x-y+5=0B.2x-y-5=0C.2x+y+5=0或2x+y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0【解析】选D.设切线方程为2x-y+b=0(b1)，则|2×0-0+b|22+(-1)2=5，所以b=±5，故选D.5.(2014·大连高一检测)以点P(-4，3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离，则圆P的半径r的取值范围是()A.(0，2)B.(0，5)C.(0，25)D.(0，10)【解析】选C.P到直线的距离d=|-8+3-5|5=25，因为圆与直线相离，所以0<r<25.6.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2【解析】选B.因为圆心在直线x+y=0上，排除C，D.验证当圆心为(1，-1)时，适合题意.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2013·山东高考)过点(3，1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦，其中最短的弦长为_.【解题指南】过圆内一点的弦，最长的为直径，最短的为垂直于圆心与该点连线的弦.这样圆心到点(3，1)的距离与弦长的一半、半径长构成一个直角三角形.【解析】半径为r=2，圆心为(2，2)，圆心到点(3，1)的距离d=(3-2)2+(1-2)2=2，所求最短弦长为222-(2)2=22.答案：228.(2014·武汉高一检测)已知点M(1，3)，自点M向圆x2+y2=1引切线，则切线方程是_.【解析】当斜率存在时，可以求得方程为4x-3y+5=0；当斜率不存在时，可以求得方程为x=1.答案：x=1或4x-3y+5=0【误区警示】本题在求解中常因漏掉直线斜率不存在时的情形而出错.9.(2014·重庆高考)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a=_.【解题指南】先根据ABC为等边三角形求出圆心到直线的距离然后求解.【解析】因为ABC为等边三角形且半径为2，易知圆心到直线的距离为3.即点(1，a)到直线ax+y-2=0的距离d=a·1+a-2a2+1=3，解得a=4±15.答案：4±15三、解答题(每小题10分，共20分)10.已知圆C：x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P(3，1)，求直线AB的方程.【解析】已知圆的方程可化为(x-2)2+y2=9，可知圆心C的坐标是(2，0)，又知弦AB的中点是P(3，1)，所以kCP=1-03-2=1，而ABCP，所以kAB=-1.故直线AB的方程是y-1=-(x-3)，即x+y-4=0.【一题多解】本题还可用以下方法求解：方法一：由题意可设所求直线的方程为y-1=k(x-3).代入圆的方程，得关于x的二次方程：(1+k2)x2-(6k2-2k+4)x+9k2-6k-4=0，由根与系数的关系，得x1+x2=6k2-2k+41+k2=6，解得k=-1.所以直线AB的方程为x+y-4=0.方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有(x1-2)2+y12=9,(x2-2)2+y22=9,两式相减，得(x2+x1-4)(x2-x1)+(y2-y1)(y2+y1)=0.因为AB的中点坐标为(3，1)，所以x1+x2=6，y1+y2=2.所以y2-y1x2-x1=-1，即直线AB的斜率为-1，故直线AB的方程为x+y-4=0.11.(2014·南通高一检测)已知点P(2，0)及C：x2+y2-6x+4y+4=0.(1)当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程.(2)设过点P的直线与C交于A，B两点，当AB=4时，求以线段AB为直径的圆的方程.【解析】(1)设直线l的斜率为k(k存在)，则方程为y-0=k(x-2)，又C的圆心为(3，-2)，r=3，由|3k-2k+2|k2+1=1，解得k=-34，所以直线l的方程为y=-34(x-2)，即3x+4y-6=0，当k不存在时，l的方程为x=2.综上知直线l的方程为x=2或3x+4y-6=0.(2)由弦心距d=r2-AB22=5，又|CP|=5，知P为AB的中点，故以AB为直径的圆的方程为(x-2)2+y2=4.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·济南高一检测)若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为1，则半径长r的取值范围是()A.(4，6)B.4，6)C.(4，6D.4，6【解析】选A.圆心(3，-5)到直线的距离为d=|4×3-3×(-5)-2|42+(-3)2=5，由图形知4<r<6时满足题意.2.(2013·广东高考)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是()A.x+y-2=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+2=0【解析】选A.由题意知直线方程可设为x+y-c=0(c>0)，则圆心到直线的距离等于半径1，即|0+0-c|12+12=1，c=2，故所求方程为x+y-2=0.3.若曲线x2+y2+2x-6y+1=0上相异两点P，Q关于直线kx+2y-4=0对称，则k的值为()A.1B.-1C.12D.2【解析】选D.由条件知直线kx+2y-4=0是线段PQ的中垂线，所以直线过圆心(-1，3)，所以k=2.4.(2014·天津高一检测)由直线y=x+1上的一点向(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为()A.1B.2C.7D.3【解题指南】切线长的平方等于直线上的点到圆心的距离的平方减去半径的平方，所以当直线上的点到圆心的距离最小时，切线长最小.【解析】选C.设P(x0，y0)为直线y=x+1上一点，圆心C(3，0)到P点的距离为d，切线长为l，则l=d2-1，当d最小时，l最小，当PC垂直于直线y=x+1时，d最小，此时d=22，所以lmin=(22)2-1=7.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014·山东高考)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦的长为23，则圆C的标准方程为_.【解题指南】本题考查了直线与圆的位置关系，可利用圆心到直线的距离、弦长一半、半径构成直角三角形求解.【解析】设圆心a,a2a>0，半径为a.由勾股定理得32+a22=a2，解得a=2.所以圆心为2,1，半径为2，所以圆C的标准方程为x-22+y-12=4.答案：x-22+y-12=4.6.已知圆C：x2+y2=1，点A(-2，0)及点B(2，a)，从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是_.【解析】由题意可得TAC=30°，BH=AHtan 30°=433.所以，a的取值范围是-,-433433,+.答案：-,-433433,+三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2013·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y=2x-4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程.(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.【解题指南】(1)先利用题设中的条件确定圆心坐标，再利用直线与圆相切的几何条件找出等量关系，求出直线的斜率.(2)利用MA=2MO确定点M的轨迹方程，再利用题设中条件分析出两圆的位置关系，求出a的取值范围.【解析】(1)由题设知，圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在.设过A(0，3)的圆C的切线方程为y=kx+3，由题意得，|3k+1|k2+1=1，解得k=0或-34，故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心C在直线y=2x-4上，设C点坐标为(a，2a-4)，所以圆C的方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1.设点M(x，y)，因为MA=2MO，所以x2+(y-3)2=2x2+y2，化简得x2+y2+2y-3=0，即x2+(y+1)2=4，所以点M在以D(0，-1)为圆心，2为半径的圆上.由题意知，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则2-1CD2+1，即1a2+(2a-3)23.由5a2-12a+80，得aR；由5a2-12a0，得0a125.所以圆心C的横坐标a的取值范围为0,125.8.已知圆的圆心在x轴上，圆心横坐标为整数，半径为3.圆与直线4x+3y-1=0相切.(1)求圆的方程.(2)过点P(2，3)的直线l交圆于A，B两点，且|AB|=25.求直线l的方程.【解析】(1)设圆心为M(m，0)，mZ，因为圆与直线4x+3y-1=0相切，所以|4m-1|5=3，即|4m-1|=15，又因为mZ，所以m=4.所以圆的方程为(x-4)2+y2=9.(2)当斜率k不存在时，直线为x=2，此时A(2，5)，B(2，-5)，|AB|=25，满足条件.当斜率k存在时，设直线为y-3=k(x-2)即kx-y+3-2k=0，设圆心(4，0)到直线l的距离为d，所以d=32-(5)2=2.所以d=|4k+3-2k|k2+1=2，解得k=-512，所以直线方程为5x+12y-46=0.综上，直线方程为x=2或5x+12y-46=0.【变式训练】(2014·大连高一检测)设半径为5的圆C满足条件：截y轴所得弦长为6.圆心在第一象限，并且到直线l：x+2y=0的距离为655.(1)求这个圆的方程.(2)求经过P(-1，0)与圆C相切的直线方程.【解析】(1)由题设圆心C(a，b)(a>0，b>0)，半径r=5，因为截y轴弦长为6，所以a2+9=25，因为a>0，所以a=4.由圆心C到直线l：x+2y=0的距离为655，所以d=|4+2b|5=655，因为b>0，所以b=1，所以圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=25.(2)斜率存在时，设切线方程y=k(x+1)，由圆心C到直线y=k(x+1)的距离|5k-1|1+k2=5.所以k=-125，所以切线方程：12x+5y+12=0.斜率不存在时，方程x=-1，也满足题意，由可知切线方程为12x+5y+12=0或x=-1.关闭Word文档返回原板块
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