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时间：45分钟满分：100分班级：_姓名：_学号：_得分：_一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知二面角l的大小是，m，n是异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A. B. C. D.解析：m，n，异面直线m，n所成的角与二面角l相等或互补又异面直线所成角的范围为(0，m，n所成的角为.答案：B2已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B.，4C.，2,4 D4，15解析：，·0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，则解得答案：B3已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析：如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设AA12AB2，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，(0，1,1)，(0，1,2)，cos，.答案：C4如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定解析：分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A1MANa，M(a，a，)，N(a，a，a)(，0，a)又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0)·0.是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.答案：B5如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AFADa，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，(a，a,0)，(0,2a,2a)，(a，a,0)设平面AGC的法向量为n1(x1，y1,1)，由n1(1，1,1)sin.答案：C6过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为()A30° B45° C60° D90°解析：建立如图所示空间直角坐标系，设ABPA1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)由题意，AD平面ABP，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，AECD，又PDCDD，AE平面CDP.(0,1,0)，(0，)分别是平面ABP，平面CDP的法向量，而，45°，平面ABP与平面CDP所成的二面角为45°.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7(2014·南通模拟)设平面与向量a(1,2，4)垂直，平面与向量b(2,3,1)垂直，则平面与的位置关系是_解析：由题知a，b分别是平面，的法向量，又a·b(1)×22×3(4)×10，ab，.答案：垂直8正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a，0,0)，P(0，)则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60°，直线BC与平面PAC所成的角为90°60°30°.答案：30°9如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，沿对角线BD将ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上，若二面角CABD的大小为，则sin的值等于_解析：由题意可求得BO，OC，AO，建立空间直角坐标系如图，则C(，0,0)，B(，0,0)，A(0,0，)，D(，3,0)，(4,3,0)，(，0，)设m(x，y，z)是平面ABD的一个法向量则取z3，x7，y，则m(7，3)又(0,3,0)是平面ABC的一个法向量，cosm，sin .答案：10(2014·临沂期末)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AA12，则二面角C1ABC的余弦值为_解析：如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，(0,1,2)，(，0)设n(x，y，z)为平面ABC1的法向量则取n(，2，1)，取m(0,0,1)，作为平面ABC的法向量则cosm，n.二面角C1ABC的余弦值为.答案：三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11(2014·伽师二中二模)如图，在三棱锥PABC中，PAPB，PAPB，ABBC，BAC30°，平面PAB平面ABC.(1)求证：PA平面PBC；(2)求二面角PACB的余弦值；(3)求异面直线AB和PC所成角的余弦值解：由于平面PAB平面ABC，且PAPB，以AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系PAPB，AB2，PO.又BAC30°，ABBC，BC2，A(0，0)，P(0,0，)，B(0，0)，C(2，0)(1)证明：(0，)，(2,0,0)，·0，PABC.又PAPB，PBBCB，PA平面PBC.(2)作OMAC于点M，连结PM.又PO平面ABC，PMAC，PMO是二面角PACB的平面角在RtAMO中，OMAO·sin30°，M(，0)，从而(，0)，(，)cos，.(3)(0,2，0)，(2，)，cos，.12(2014·南昌一模)如图所示，在底面是矩形的四棱锥，PABCD中，PA底面ABCD，PAAB1，BC2.(1)求证：平面PDC平面PAD；(2)若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；(3)在BC边上是否存在一点G，使得D点到平面PAG的距离为1.若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由解：如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，E(0,1，)，P(0,0,1)(1,0,0)，(0,2,0)，(0,0,1)，(0,1，)，(1,2，1)，(1)证明：平面PDC平面PAD.(2)cos，AE与PC所成角的余弦值为.(3)假设BC边上存在点G满足题设条件，令BGx，则G(1，x,0)，作DQAG，又PADQ，PAAGA，则DQ平面PAG，即DQ1.2SADGS矩形ABCD，|·|·|2，|2，又AG， 则x2，故存在点G，当BG时，点D到平面PAG的距离为1.13(2014·延边质检)如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点(1)求证：AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值解法一：(1)证明：取CE的中点G，连结FG、BG.F为CD的中点，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)证明：ACD等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.(3)在平面CDE内，过F作FHCE于H，连BH.平面BCE平面CDE，FH平面BCE.FBH为BF和平面BCE所成的角设ADDE2AB2a，则FHCF·sin45°a，BF2a，RtFHB中，sinFBH.直线BF和平面BCE所成角的正弦值为.解法二：设ADDE2AB2a，建立如图所示的坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)F为CD的中点，F(a，a,0)(1)证明：(a，a,0)，(a，a，a)，(2a,0，a)()，AF平面，AF平面BCE.(2)证明：(a，a,0)，(a，a,0)，(0,0,2a)，·0，·0，.AF平面CDE，又AF平面BCE，平面BCE平面CDE.(3)设平面BCE的法向量为n(x，y，z)，由n·0，n·0，可得xyz0,2xz0，取n(1，2)又(a，a，a)，设BF和平面BCE所成的角为，则sin.直线BF和平面BCE所成角的正弦值为.
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