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新教材适用·高中必修数学课时提升作业(二十七)圆与圆的位置关系一、选择题(每小题3分,共18分)1.圆C1:x2+y2-4x=0和C2:x2+y2+4y=0的位置关系是()A.外切B.相离C.内切D.相交【解析】选D.两圆化为标准方程为:圆C1:(x-2)2+y2=4,圆C2:x2+(y+2)2=4,所以r1=r2=2,d=|C1C2|=22+22=22,因此|r2-r1|<d<r1+r2,故两圆相交.2.若圆x2+y2=r2和圆(x-3)2+(y+1)2=r2外切,则正实数r的值是()A.10B.102C.5D.5【解析】选B.因为圆心距d=32+(-1)2=10,且两圆外切,所以r+r=d=10,所以r=102.3.(2014·昆明高一检测)两圆C1:x2+y2-4x+2y+1=0与C2:x2+y2+4x-4y-1=0的公切线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选C.r1=2,r2=3,圆心距d=5,由于d=r1+r2,所以两圆外切,故公切线有3条,选C.【举一反三】若本题中圆C1的方程换为“x2+y2-2x+4y-20=0”,圆C2不变,其结论又如何呢?【解析】选B.因为r1=5,r2=3,圆心距d=5.所以|r2-r1|<d<r2+r1,所以两圆相交,故公切线有2条.4.已知圆C1:x2+y2-4x+6y=0和圆C2:x2+y2-6x=0相交于A,B两点,则AB的垂直平分线方程为()A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0【解题指南】利用圆的几何性质求解本题.【解析】选C.圆C1:x2+y2-4x+6y=0的圆心C1为(2,-3),圆C2:x2+y2-6x=0的圆心C2为(3,0),结合圆的几何性质可知AB的垂直平分线所在的直线必过圆心C1和圆心C2,所以所求直线的方程为3x-y-9=0.5.圆x2+y2=1与圆x2+y2+2x+2y+1=0的交点坐标为()A.(1,0)和(0,1)B.(1,0)和(0,-1)C.(-1,0)和(0,-1)D.(-1,0)和(0,1)【解析】选C.由x2+y2=1,x2+y2+2x+2y+1=0,解得x=-1y=0或x=0,y=-1.6.(2014·深圳高一检测)若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长,则a,b应满足的关系式是()A.a2-2a-2b-3=0B.a2+2a+2b+5=0C.a2+2b2+2a+2b+1=0D.3a2+2b2+2a+2b+1=0【解析】选B.利用公共弦始终经过圆(x+1)2+(y+1)2=4的圆心即可求得.两圆的公共弦所在直线方程为:(2a+2)x+(2b+2)y-a2-1=0,它过圆心(-1,-1),代入得a2+2a+2b+5=0.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·菏泽高一检测)圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是_.【解析】两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.答案:4x+3y-2=08.(2014·大连高一检测)若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是_.【解析】因为点A(a,b)在圆x2+y2=4上,所以a2+b2=4.又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,则d=|C1C2|=a2+b2=4=2,所以d=r1+r2,所以两圆外切.答案:外切9.若两圆x2+y2=m和x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,则实数m的取值范围是_.【解析】由于两圆的圆心和半径分别为O1(0,0),r1=m,O2(-3,4),r2=6,它们有公共点,指两圆相切或相交.所以|m-6|32+42m+6,解得1m121.答案:1m121【误区警示】注意由两圆相切或相交得|m-6|32+42m+6时易漏掉绝对值号.三、解答题(每小题10分,共20分)10.判断下列两圆的位置关系.(1)(x+2)2+(y-2)2=1和(x-2)2+(y-5)2=16.(2)x2+y2+6x-7=0和x2+y2+6y-27=0.【解析】(1)根据题意得,两个圆的半径分别为r1=1和r2=4,两圆的圆心距d=2-(-2)2+(5-2)2=5.d=r1+r2,所以两圆外切.(2)将圆的一般方程化为标准方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36.故两圆的半径分别为r1=4和r2=6,两圆的圆心距d=(0+3)2+(-3-0)2=32.显然2<32<10,即|r1-r2|<d<r1+r2,所以两圆相交.11.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求:(1)m取何值时两圆外切.(2)m取何值时两圆内切,此时公切线方程是什么?【解析】两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m.圆心分别为C1(1,3),C2(5,6).半径分别为11和61-m.(1)当两圆外切时,(5-1)2+(6-3)2=11+61-m解得m=25+1011.(2)当两圆内切时,因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5,故有61-m-11=5.解得m=25-1011.因为kC1C2=6-35-1=34,所以两圆公切线的斜率是-43.设切线方程为y=-43x+b,则有|43×1+3-b|432+1=11.解得b=133±5311.经验证,当b=133+5311,直线与后一圆相交,故所求公切线方程为y=-43x+133-5311.即4x+3y+511-13=0.一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知圆C1:(x+1)2+(y-3)2=25,圆C2与圆C1关于点(2,1)对称,则圆C2的方程是()A.(x-3)2+(y-5)2=25B.(x-5)2+(y+1)2=25C.(x-1)2+(y-4)2=25D.(x-3)2+(y+2)2=25【解析】选B.设圆C2上任一点P(x,y),它关于(2,1)的对称点(4-x,2-y)在圆C1上,代入圆C1方程整理得(x-5)2+(y+1)2=25.2.(2014·武汉高一检测)圆x2+y2=16与(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0)在交点处的切线互相垂直,则r=()A.5B.4C.3D.22【解析】选C.设一个交点为P(x0,y0),则x02+y02=16,(x0-4)2+(y0+3)2=r2,所以r2=41-8x0+6y0,因为两切线互相垂直,所以y0x0·y0+3x0-4=-1,所以3y0-4x0=-16.所以r2=41+2(3y0-4x0)=9,所以r=3.3.(2013·重庆高考)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.52-4B.17-1C.6-22D.17【解题指南】根据圆的定义可知|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4,然后利用对称性求解.【解析】选A.由题意知,圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9的圆心分别为C1(2,3),C2(3,4),且|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4,点C1(2,3)关于x轴的对称点为C(2,-3),所以|PC1|+|PC2|=|PC|+|PC2|CC2|=52,即|PM|+|PN|=|PC1|+ |PC2|-452-4.4.已知A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)|(x-5)2+(y-5)2=4,则AB等于()A. B.(0,0)C.(5,5)D.(0,0),(5,5)【解析】选A.集合A是圆O:x2+y2=1上所有点组成的,集合B是圆C:(x-5)2+(y-5)2=4上所有点组成的.又O(0,0),r1=1,C(5,5),r2=2,|OC|=52,所以|OC|>r1+r2=3,所以圆O和圆C外离,无公共点,所以AB=.【变式训练】若集合A=(x,y)|x2+y2=16,集合B=(x,y)|x2+(y-2)2=a-1,当AB=时,求a的取值范围.【解析】由题意知,此题应分三种情况:(1)B=,则a<1.(2)B且B中只有1个元素,则a-1=0,即a=1,x=0,y=2不在集合A中,满足题意.(3)集合B中含有无数个元素,则两个集合所表示的圆内含或外离,圆x2+y2=16的圆心为O1(0,0),半径长为4,圆x2+(y-2)2=a-1的圆心为O2(0,2),半径长为a-1,所以a>1,O1O2=2.两圆内含时,O1O2<4-a-1或O1O2<a-1-4,即2<4-a-1或2<a-1-4,解得1<a<5或a>37;两圆外离时,O1O2>4+a-1,即2>4+a-1,无解.综上所述,a的取值范围是a<5或a>37.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·湖南高考改编)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=_.【解题指南】两圆外切的充要条件是它们的圆心距等于半径和.【解析】圆C1:x2+y2=1的圆心为C10,0,半径为r1=1,圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0的圆心为C23,4,半径为r2=25-m,所以C1C2=5,r1+r2=1+25-m,因为圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,所以5=1+25-m,m=9.答案:96.设m0,则圆x2+y2-2mx+2my-2m2=0与圆x2+y2-8mx-6my+16m2=0的位置关系是_(请填“内含”“内切”“相交”“外切”或“外离”).【解析】两圆化为标准方程为(x-m)2+(y+m)2=4m2,(x-4m)2+(y-3m)2=9m2,圆心距d=(4m-m)2+(3m+m)2=5|m|.又因为r1+r2=2|m|+3|m|=5|m|,所以d=r1+r2,所以两圆外切.答案:外切三、解答题(每小题12分,共24分)7.圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).(1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求公切线方程.(2)若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=22,求圆O2的方程.【解析】(1)由两圆外切,所以|O1O2|=r1+r2,r2=|O1O2|-r1=2(2-1),故圆O2的方程是:(x-2)2+(y-1)2=4(2-1)2,两圆的方程相减,即得两圆公切线的方程x+y+1-22=0.(2)设圆O2的方程为:(x-2)2+(y-1)2=r22,因为圆O1的方程为:x2+(y+1)2=4,此两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在直线的方程:4x+4y+r22-8=0.作O1HAB,则|AH|=12|AB|=2,O1H=2,由圆心O1(0,-1)到直线的距离得|r22-12|42=2,得r22=4或r22=20,故圆O2的方程为:(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.8.(2013·遵义高一检测)如图,已知圆心坐标为M(3,1)的圆M与x轴及直线y=3x均相切,切点分别为A,B,另一圆N与圆M相切,且与x轴及直线y=3x均相切,切点分别为C,D.(1)求圆M和圆N的方程.(2)过B点作MN的平行线l,求直线l被圆N截得的弦的长度.【解析】(1)由于圆M与BOA的两边相切,故M到OA及OB的距离均为圆M的半径,则M在BOA的平分线上,同理,N也在BOA的平分线上,即O,M,N三点共线,且直线ON为BOA的平分线,因为M的坐标为M(3,1),所以M到x轴的距离为1,即:圆M的半径为1,所以圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=1;设圆N的半径为r,由RtOAMRtOCN,得:OMON=MANC,得23+r=1rr=3,OC=33,所以圆N的方程为:(x-33)2+(y-3)2=9.(2)由对称性可知,所求弦长等于过A点的MN的平行线被圆N截得的弦长,此弦所在直线方程为y=33(x-3),即x-3y-3=0,圆心N到该直线的距离d=|33-3·3-3|1+3=32,则弦长=2r2-d2=33.关闭Word文档返回原板块
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