江苏省邳州是运河中学学校—学第二学期高考数学模拟试卷含答案

江苏省邳州是运河中学学校20122013学年度第二学期高考数学模拟试卷（二） 参考答案与评分标准 20130225一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上1已知全集U=R，集合，则 答案：2已知复数z=(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第 象限 答案：三3已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是 答案：48.4定义在R上的函数，对任意xR都有，当 时，则 答案：5已知命题：“正数a的平方不等于0”，命题：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则是的 （从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）开始结束Yn1输入x输出xnn+1x2x+1n3N（第8题）答案：否命题6已知双曲线的一个焦点与圆x2+y210x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为 答案：7若Sn为等差数列an的前n项和，S9=36，S13=104，则a5与a7的等比中项为 答案：8已知实数x1，9，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为 答案：9在ABC中，若AB=1，AC=，则= 答案：10已知，若，且，则的最大值为 答案：211曲线在点(1，f(1)处的切线方程为 答案：(第12题)O12如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时则该物体5s时刻的位移为 cm 答案：1.513已知直线y=ax+3与圆相交于A，B两点，点在直线y=2x上，且PA=PB,则的取值范围为 答案：14设P(x，y)为函数图象上一动点，记，则当m最小时，点 P的坐标为 答案：(2，3)二、解答题：本大题共6小题，共计90分请把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15(本题满分14分)ABCDEFA1B1C1(第15题)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点求证：（1）平面ABC；（2）平面AEF平面A1AD解：（1）连结ABCDEFA1B1C1(第15题)因为分别是侧面和侧面的对角线的交点，所以分别是的中点所以 3分又平面中，平面中，故平面 6分（2）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面，所以故由，得 8分又因为是棱的中点，且为正三角形，所以故由，得 10分而，平面，所以平面12分又平面，故平面平面14分16.（本题满分14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求角C的大小；（2）若ABC的外接圆直径为1，求的取值范围解：(1)因为，即，所以，即 ，得 4分所以，或(不成立)即 , 得 7分(2)由因， 8分故= 11分，故14分17.（本题满分14分）ABCD（第17题）P某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用如图所示，为长方形薄板，沿AC折叠后，交DC于点P当ADP的面积最大时最节能，凹多边形的面积最大时制冷效果最好（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？解：（1）由题意，因，故 2分设，则因，故由 ，得 ，5分（2）记的面积为，则 6分，当且仅当(1，2)时，S1取得最大值8分故当薄板长为米，宽为米时，节能效果最好 9分（3）记的面积为，则，10分于是，11分关于的函数在上递增，在上递减所以当时，取得最大值 13分故当薄板长为米，宽为米时，制冷效果最好 14分18.（本题满分16分）已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且（1）求a1；（2）证明数列an为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由解：(1)令n=1，则a1=S1=0 3分(2)由，即， 得 ，得 于是， +，得，即 7分又a1=0，a2=1，a2a1=1，所以，数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以，an=n1 9分(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是， 11分所以，()易知(p，q)=(2，3)为方程()的一组解 13分当p3，且pN*时，<0，故数列(p3)为递减数列，于是<0，所以此时方程()无正整数解综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列 16分注 在得到式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分但在做除法过程中未对n2的情形予以说明的，扣1分19.（本题满分16分）已知左焦点为F(1，0)的椭圆过点E(1，)过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标解：依题设c=1，且右焦点(1，0)所以，2a=，b2=a2c2=2，故所求的椭圆的标准方程为 4分(2)设A(，)，B(，)，则，得 所以，k1= 9分(3)依题设，k1k2设M(,)，直线AB的方程为y1=k1(x1)，即y=k1x+(1k1)，亦即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得 于是， 11分同理，当k1k20时，直线MN的斜率k=13分直线MN的方程为，即 ，亦即 此时直线过定点 15分当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点综上，直线MN恒过定点，且坐标为 16分20.（本题满分16分）已知函数且x1)（1）若函数在上为减函数，求实数a的最小值；（2）若，使f(x1)成立，求实数a的取值范围解：（1）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立 2分所以当时，又，故当，即时，所以于是，故a的最小值为 6分（2）命题“若使成立”等价于“当时，有” 7分由（1），当时， 问题等价于：“当时，有” 8分当时，由（1），在上为减函数，则=，故 10分当时，由于在上为增函数，故的值域为，即(i)若，即，在恒成立，故在上为增函数，于是，=，不合 12分(ii)若，即，由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，为减函数；当时，为增函数；所以，=，所以，与矛盾，不合 15分综上，得 16分附加题参考答案与评分标准21【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲ABEFDCO(第21A题)如图，ABC是O的内接三角形，若AD是ABC的高，AE是O的直径，F是的中点求证：（1）； （2）证明：（1）连，则，又，所以ABEADC，所以 5分（2）连，是的中点，由(1)，得， 10分B选修42：矩阵与变换已知曲线，在矩阵M对应的变换作用下得到曲线，在矩阵N对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程解：设A=NM，则A， 3分设是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线上的对应的点为，则 ， 即 7分又点在曲线上， ，即10分C选修44：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数，tR)试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大解：曲线C的普通方程是 2分直线l的普通方程是 4分设点M的直角坐标是，则点M到直线l的距离是 7分因为，所以当，即Z)，即Z)时，d取得最大值 此时综上，点M的极坐标为时，该点到直线l的距离最大 10分注 凡给出点M的直角坐标为，不扣分D选修45：不等式选讲已知且，求的最大值解：, 2分且，即，, 5分,当且仅当时，等号成立 10分ORPxyQM（第22题）22(本小题满分10分)解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤如图，已知定点R(0，3)，动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使，且（1）求动点M的轨迹C1；（2）圆C2： ，过点(0，1)的直线l依次交C1于A，D两点（从左到右），交C2于B，C两点（从左到右），求证：为定值解：（1）法一：设M(x，y)，P(x1，0)，Q(0，y2)，则由及R(0，3)，得化简，得 4分所以，动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线 5分法二：设M(x，y)由，得 所以，由，得 ，即化简得 4分所以，动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线 5分（2）证明：由题意，得 ，C2的圆心即为抛物线C1的焦点F设，则 7分同理 设直线的方程为 由得，即所以， 10分23(本小题满分10分)解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知数列an满足：（1）若，求数列an的通项公式；（2）若，试证明：对，an是4的倍数解：(1)当时，令，则因为奇数，也是奇数且只能为，所以，即 3分 (2)当时， 4分下面利用数学归纳法来证明：an是4的倍数当时，命题成立；设当时，命题成立，则存在N*，使得，其中，当时，命题成立由数学归纳法原理知命题对成立 10分东方学校20122013模拟试卷二数学讲评建议第1题 考查集合运算注意集合的规范表示法，重视集合的交并补的运算第2题 考查复数的基本概念及几何意义对复数的概念宜适当疏理，防止出现知识盲点第3题 考查常见几何体的表面积与体积的计算应熟练掌握常见几何体的表面积的计算，灵活应用等体积法计算点面距第4题 本题考查一般函数的性质周期性在解题中的应用第5题 本题考查简易逻辑的知识应注意四种命题及其关系，注意全称命题与特称性命题的转换第6题 本题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识对双曲线的讲评不宜过分引申第7题 本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算 法一 用性质S9=9a5= -36，S13= 13a7= -104，于是a5= -4，a7= -8，等比中项为 法二 用基本量S9=9a1+36d= -36，S13=13a1+78d= -104，解得a1=4，d= -2下同法一第8题 本题主要考查算法及几何概型等知识 法一 输出值为由题意：，故法二 当输入x=1时，可输出x=15；当输入x=9时，可输出y=79于是当输入x的取值范围为1，9时，输出x的取值范围为15，79，所求概率为第9题 本题主要考查向量与解三角形的有关知识 满足的A，B，C构成直角三角形的三个顶点，且A为直角，于是=1第10题 本题主要考查对数与线性规划的基础知识及简单运算讲评时应强调对数的真数应大于0强调对数函数的单调性与底数a之间的关系第11题 本题主要考查基本初等函数的求导公式及其导数的几何意义 在方程中，令x=0，则得 讲评时应注意强调“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别第12题 本题主要考查三角函数及其应用考题取自教材的例题教学中应关注课本，以及有关重要数学模型的应用，讲评时还要强调单位书写等问题 S(t)=，求S(5)= -1.5即可第13题 本题主要考查直线与圆的有关知识 圆心C(-1，0)到直线l：y=ax+3的距离为，解得a>0或a< 由PA=PB，CA=CB，得PCl，于是，进而可求出x0的取值范围第14题 考查灵活运用所学知识分析问题与解决问题的能力，考查运用基本不等式解决问题讲评时应注意加强对学生运用整体法观察问题解决问题能力的培养 法一 当且仅当，即时m取得最小，此时点的坐标为法二 当且仅当时取得最小值下略第15题 本题主要考查空间点线面的位置关系，考查逻辑推理能力以及空间想象能力讲评时应注意强调规范化的表达注意所用解题依据都应来自于课本的有关定义、公理、定理等第16题 本题主要考查三角函数及解三角形的有关知识，涉及两角和与差的三角公式、正余弦定理等讲评时，应适当渗透切化弦、化同名、边角互化、减少变量等策略，同时注意三角形内本身一些关系在解决问题时的应用，例如两边之和大于第三边，sin(A+B)=sinC，面积公式及等积变换等 (2)法一：由因，故=，故法二：由正弦定理得：由余弦定理得：，故 因为，所以又，故，得因此，第17题 本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力试题以常见的图形为载体，再现对基本不等式、导数等的考查讲评时，应注意强调解决应用问题的一般步骤与思维规律，教学中应帮助学生克服解决应用题时的畏惧心理，在学生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心 在使用基本不等式应注意验证取等号的条件，使用导数时应谨慎决断最值的取值情况第18题 本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及基本运算，考查创新能力两个基本数列属C能要求，属高考必考之内容，属各级各类考试之重点 第(3)问中，若数列an为等差数列，则数列(k>0且k1)为等比数列；反之若数列an为等比数列，则数列(a>0且a1)为等差数列 第(3)问中，如果将问题改为“是否存在正整数m，p，q(其中m<p<q)，使bm，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(m，p，q)；若不存在，说明理由”那么，答案仍然只有唯一组解此时，在解题时，只须添加当m2时，说明方程组无解即可，其说明思路与原题的解题思路基本相同 对于第(2)问，在得到关系式：后，亦可将其变形为，并进而使用累乘法(迭乘法)，先行得到数列an的通项公式，最后使用等差数列的定义证明其为等差数列亦可但需要说明n2 考虑到这是全市的第一次大考，又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的第一次大规模的检测，因而在评分标准的制定上，始终本着让学生多得分的原则，例如本题中的第(1)问4分，不设置任何的障碍，基本让学生能得分第19题 本题主要考查直线与椭圆的基础知识，考查计算能力与独立分析问题与解决问题的能力讲评本题时，要注意对学生耐挫能力的培养 第（2）问，亦可设所求直线方程为y-1=k1(x-1)，与椭圆方程联立，消去一个变量或x或y，然后利用根与系数的关系，求出中点坐标与k1的关系，进而求出k1的值 第（3）问，可有一般的情形：过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，则两动弦的中点所在直线过定值此结论在抛物线中也成立另外，也可以求过两中点所在直线的斜率的最值 近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势：多考一点“算”，少考一点“想”第20题 本题主要考查函数与导数的知识，考查运用所学数学知识分析问题与解决问题的能力 第（2）可另解为： 命题“若使成立”等价于“，使” 由（1），当时，于是 故，使，即，使所以当时，记，则因，故，于是恒成立所以，在上为减函数， 所以， 所以，