备战高考黄金100题解读与扩展系列之不等式：专题一 不等式性质的应用 Word版含解析

I题源探究·黄金母题【例1】已知求证：【证明】于是即由，得精彩解读【试题来源】人教版A版必修5第74页例1【母题评析】本题考查了不等式的重要性质作为基础题，不等式性质的应用，是历年来高考的一个常考点【思路方法】熟记不等式常用性质即可！II考场精彩·真题回放【例2】【2016高考新课标I】若，则 ( )A B C D【答案】C【解析】用特殊值法令，得，选项A错误；，选项B错误；，选项C正确；，选项D错误，故选C【命题意图】本题主要考查不等式的性质、指数函数、对数函数、幂函数的性质本题能较好的考查考生分析问题、解决问题的能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解【难点中心】比较指数式或对数式的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同或幂的指数相同，通常利用指数函数或对数函数或幂函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较本题采用特殊值法III理论基础·解题原理1比较法原理：2（反对称性）；3若则（传递性）4若，则；5若，则；若，则；6若，则；7若，则；8若，则；若，则；9若，则；10若，则IV题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解【技能方法】解决此类问题的关键是在不等式的求解证明中，必须在不等式的常见性质体系下进行分析（1）用作差比较法比较数式的大小关键是变形，常将两个代数式作差后变形为常数或平方和的形式或几个因式积的形式等，常有的变形技巧有因式分解、配方、通分、分母（分子）有理化等作差比较法的一般步骤：作差变形与0比较大小下结论（2）当用作差法难以比较数式的大小时，可以试用作商比较法（前提是两个代数式同号）作商比较法的一般步骤：作商变形与1比较大小下结论（3）在运用不等式的性质时，一定要掌握它们成立的条件如两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变，若同乘以（或除以）一个负数，则不等号的方向改变因此在分式不等式中，若不能肯定分母是正数还是负数，则不要轻易去分母又如，同向不等式相乘、不等式两边同时乘方或（或开方）时，要求不等式两边都是正数（4）应用不等式的性质解题的常见类型及方法：注意观察从已知不等式到目标不等式的变化，它是如何变形的，这些变形是否符合不等式的性质及性质的条件；若比较大小的两式是指数或对数模型，注意联想单调性；恰当运用赋值法和淘汰法探究解答选择题、填空题【易错指导】（1）比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据（2）不等式性质的等价性：在不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向还是双向，也就是说每条性质是否具有可逆性（3）由于同向不等式相加或相乘会使范围变大，所以在求有关不等式取值范围的问题时，尽量少用不等式相加或相乘，次数越少越好，最好“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，这是避免出错的一条捷径V举一反三·触类旁通考向1 利用不等式的性质判定大小【例4】【2016高考北京理数】已知，且，则 （ ）A B C D【答案】C【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性【跟踪练习1】【长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学】若实数且，则下列不等式恒成立的是A B C D 【答案】C【解析】根据函数的图像与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选C【跟踪训练2】【2016届河南新乡名校学术联盟高三高考押题四文数学】已知，均为正实数，且，则 （ ）A B C D【答案】A【解析】均为正实数，即，即，即，即，所以，选A考向2 求范围的问题【例5】已知，求的取值范围【答案】；【解析】两式相加得又【名师点睛】利用不等式的性质可以求参数或某些代数式的取值范围，但在变换过程中要注意掌握、准确使用不等式的性质求含有字母的代数式的取值范围时，要注意题设中的条件如本例若忽视，则会导致取值范围变大【跟踪练习】已知，则取值范围是 【答案】【解析】考向3 不等式的性质与充要条件【例6】【2016押题卷2课标卷】已知命题：，命题：“”是”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A B C D【答案】C【解析】根据指数函数的性质可知，命题为真命题；由，所以“”是“”的充要条件，所以命题为假命题，所以为真命题，故选C【跟踪练习】【2016全国大联考1课标卷】设，则是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件