高考复习方案大二轮全国新课标数学 文科高考备考方法策略：专题篇数列 4一类数列的性质及其应用 Word版含答案

一类数列的性质及其应用 定理1 对于正项数列，有：(1)若对N*恒成立，则对N*也恒成立；(2)若对N*恒成立，则对N*也恒成立.证明 (1).(2)同理可证.定理2 对于正项数列，有：(1)若对N*恒成立，则对N*也恒成立；(2)若对N*恒成立，则对N*也恒成立.定理3 对于数列，有：(1)若对N*恒成立，则有对N*也恒成立；(2)若对N*恒成立，则有对N*也恒成立.证明 (1).(2)同理可证.定理4 对于数列，有：(1)若对N*恒成立，则有对N*也恒成立；(2)若对N*恒成立，则有对N*也恒成立.(请读者思考：定理2-1，定理2-3的结论中的等号何时取到？)题1 (高考全国新课标卷理科第17题)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明：.解 (1)略.(2)只证时的情形.易得，所以.由定理2-2(2)，得，所以得欲证成立.题2 (高考全国大纲卷理科第22题)函数f(x)ln(x1)(a1)(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a11，an1ln(an1)，证明：an.解 (1)(1)易知f(x)的定义域为(1，)，f(x).(i)当1a0，所以f(x)在(1，a22a)是增函数；若x(a22a，0)，则f(x)0，所以f(x)在(0，)是增函数(ii)当a2时，若f(x)0，f(x)0成立当且仅当x0，所以f(x)在(1，)是增函数. (iii)当a2时，若x(1，0)，则f(x)0，所以f(x)在(1，0)是增函数；若x(0，a22a)，则f(x)0，所以f(x)在(a22a，)是增函数(2)用数学归纳法易证.当a2时，由(1)的结论知，f(x)在(0，3)上是增函数，所以，即，所以.由定理3(2)，得.当a3时，由(1)的结论知，f(x)在(0，3)上是减函数，所以，即，所以.由定理3(1)，得.所以an.题3 (高考广东卷理科第19题)设数列的前项和为，满足N*，且成等差数列.(1)求的值；(2)求数列的通项公式；(3)证明：对一切正整数，有.解 (1)(过程略).(2)(过程略).(3)只证时的情形.当时，得，把这两式相减，得.由(1),(2)问的答案知，所以N*).所以.由定理2-2(2)，得，所以 得欲证成立.题4 (高考安徽卷理科第21题)设数列满足N*，其中为实数.(1)证明：对任意N*成立的充分必要条件是；(2)设，证明：N*；(3)略.证明 以下用结论(1)证结论(2)：即证，由结论(1)及定理1(2)知，只需证明，理由是.题5 (高考浙江卷理科第22题)已知函数，数列的第一项，以后各项按如下方式决定：曲线在点处的切线与经过两点，的直线平行.当N*时，求证：(1)；(2).证明 以下用结论(1)证结论(2)：因为，可得，所以由定理1(1)及其证明，得.又，对于数列用定理1(2)及其证明，得.题6 (1)(高考陕西卷文科第22(3)题)设，比较与的大小，并说明理由.(2)(华约自主招生数学试题第7题)(i)设，求证：当时，；(ii)若数列满足，求证：数列递减，且.证明 (1)略.(2)(i)略.(ii)易用数学归纳法证得.先证数列递减：由(i)的结论，得，又，所以，即递减.再证.只证时的情形.由(1)的结论，可得.再由定理2-2(1)，得.题7 设数列满足N)，求证：N*).证明 当时，得当时，.当时，得得证明成立.