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新编数学北师大版精品资料§3条件概率与独立事件 条件概率100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格令A产品的长度合格，B产品的质量合格，AB产品的长度、质量都合格问题1：试求P(A)，P(B)，P(AB)提示：P(A)，P(B)，P(AB).问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格概率提示：若用A|B表示上述事件，则A|B发生相当于从90件产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B).问题3：如何理解问题2?提示：在质量合格的情况下，长度又合格，即事件B发生的条件下事件A发生问题4：试探求P(B)，P(AB)，P(A|B)间的关系提示：P(A|B).条件概率(1)概念事件B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)(2)公式P(A|B)(其中，AB也可记成AB)(3)当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A).独立事件有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A从甲箱里摸出白球，B从乙箱里摸出白球问题1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？提示：不影响问题2：试求P(A)，P(B)，P(AB)提示：P(A)，P(B)，P(AB).问题3：P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？提示：P(AB)P(A)·P(B)×.问题4：P(B|A)与P(B)相等吗？提示：相等，由P(B|A)，可得P(B|A)P(B)独立事件(1)概念：对两个事件A，B，如果P(AB)P(A)P(B)，则称A，B相互独立(2)推广：若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立(3)拓展：若A1，A2，An相互独立，则有P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)1由条件概率的定义知，P(B|A)与P(A|B)是不同的；另外，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为P(B|A)，其值不一定等于P(B)2事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率 条件概率例1盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个求：(1)取两次，两次都取得一等品的概率，(2)取两次，第二次取得一等品的概率；(3)取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率思路点拨由于是不放回地从中取产品，所以第二次抽取受到第一次的影响，因而是条件概率，应用条件概率中的乘法公式求解精解详析记Ai为第i次取到一等品，其中i1,2.(1)取两次，两次都取得一等品的概率，P(A1A2)P(A1)·P(A2|A1)×.(2)取两次，第二次取得一等品，则第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品，则P(A2)P(A2)P(A1A2)××.(3)取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为P(|A2).一点通求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数二是直接根据定义计算，P(B|A)，特别要注意P(AB)的求法1抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为1,2,3,4,5,6，记事件A2,3,5，B1,2,4,5,6，则P(A|B)()A.B.C. D.解析：P(B)，P(AB)，P(A|B).答案：C2已知P(A|B)，P(B)，则P(AB)_.解析：P(A|B)，P(AB)P(A|B)P(B)×.答案：3甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设“甲地为雨天”为事件A，“乙地为雨天”为事件B，由题意，得P(A)0.20，P(B)0.18，P(AB)0.12.(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是P(A|B)0.67.(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是P(B|A)0.60.独立事件的判断例2一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩，对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩思路点拨先写出家庭中有两个小孩的所有可能情形，需注意基本事件(男，女)，(女，男)是不同的，然后分别求出A，B所含的基本事件数，由于生男生女具有等可能性，故可借助古典概型来求P(A)，P(B)及P(AB)的概率，最后分析P(AB)是否等于P(A)P(B)精解详析(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有4个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率都为.A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，P(A)，P(B)，P(AB).P(A)P(B)P(AB)事件A，B不相互独立(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件于是P(A)，P(B)，P(AB)，显然有P(AB)P(A)P(B)成立，从而事件A与B是相互独立的一点通(1)利用相互独立事件的定义(即P(AB)P(A)·P(B)可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法判断，因此我们必须熟练掌握(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件4若A与B相互独立，则下面不是相互独立事件的是()AA与 BA与C.与B D.与解析：当A，B相互独立时，A与，与B以及与都是相互独立的，而A与是对立事件，不相互独立答案：A5从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A“抽得老K”，B“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立解：抽到老K的概率为P(A)，抽到红牌的概率P(B)，故P(A)P(B)×，事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老K或方块老K”，故P(AB)，从而有P(A)P(B)P(AB)，因此A与B互为独立事件.独立事件的概率例3(10分)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲，乙，丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大？思路点拨若用A，B，C表示甲，乙，丙三人100米跑的成绩合格，则事件A，B，C相互独立精解详析记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)，P(B)，P(C).(3分)设恰有k人合格的概率为Pk(k0,1,2,3)(1)三人都合格的概率：P3P(ABC)P(A)P(B)P(C)××.(5分)(2)三人都不合格的概率：P0P()P()P()P()××.(7分)(3)恰有两人合格的概率：P2P(AB)P(AC)P(BC)××××××.恰有一人合格的概率：P11P0P2P31.结合(1)(2)可知P1最大所以出现恰有1人合格的概率最大 (10分)一点通(1)公式P(AB)P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(2)求相互独立事件同时发生的概率的程序：首先确定各事件之间是相互独立的；确定这些事件可以同时发生；求出每个事件发生的概率，再求其积6先后抛掷一枚骰子两次，则两次都出现奇数点的概率为_答案：7(北京高考改编)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客观比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”则CAB，A，B独立根据投篮统计数据，P(A)，P(B).P(C)(A)P(B)××.所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.8一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第一次取出的2 个球都是白球，第二次取出的2个球都是红球的概率；(2)第一次取出的2 个球1个是白球、1个是红球，第二次取出的2个球都是白球的概率解：记“第一次取出的2 个球都是白球”事件为A，“第二次取出的2个球都是红球”为事件B，“第一次取出的2个球1个是白球、1个是红球”为事件C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件(1)P(AB)P(A)P(B)··.故第一次取出的2个球都是白球，第二次取出的2个球都是红球的概率是.(2)P(CA)P(C)P(A)··.故第一次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第二次取出的2个球都是白球的概率是.1计算条件概率要明确：(1)准确理解条件概率的概念：条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约；(2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A发生”“事件A发生并且事件B也发生”“事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系2互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系名称区别联系定义事件个数互斥事件在一次试验中不能同时发生的事件两个或两个以上两事件互斥，但不一定对立；反之一定成立；两事件独立，则不一定互斥(或对立)；两事件互斥(或对立)，则不相互独立对立事件在一次试验中不能同时发生但必有一个发生的事件两个独立事件一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个或两个以上 1抛掷一颗骰子一次，A表示事件：“出现偶数点”，B表示事件：“出现3点或6点”，则事件A与B的关系是()A相互互斥事件B相互独立事件C既相互互斥又相互独立事件D既不互斥又不独立事件解析：A2,4,6，B3,6，AB6，所以P(A)，P(B)，P(AB)×，所以A与B是相互独立事件答案：B2设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为()A.B.C. D.解析：由题意知：P(AB)，P(B|A)，P(A).答案：B3某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为()A0.02 B0.08C0.18 D0.72解析：设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B|A，则P(A)0.8，P(B|A)0.9，由条件概率公式，得P(AB)P(B|A)·P(A)0.9×0.80.72.答案：D4从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)()A. B.C. D.解析：设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P(A)，P(B).又A，B相互独立，则，也相互独立，则P( )P()P()×，故至少有一项合格的概率为P1P( ).答案：D5有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为_，问题得到解决的概率为_解析：甲、乙两人都未能解决为×，问题得到解决就是至少有1 人能解决问题P1.答案：6从编号为1,2，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为_解析：令事件A选出的4个球中含4号球，B选出的4个球中最大号码为6，依题意可知n(A)C84，n(AB)C6，P(B|A).答案：71号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？解：“最后从2号箱中取出的是红球”为事件A，“从1号箱中取出的是红球”为事件B.P(B)，P()1P(B)，(1)P(A|B)，(2)P(A|)，P(A)P(AB)P(A)P(A|B)P(B)P(A|)P()××.8一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对密码的概率；(2)如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过2次就按对密码的概率解：(1)设“第i次按对密码”为事件Ai(i1,2)，则事件AA1(1A2)表示不超过2次就按对密码因为事件A1与1A2互斥，由概率加法公式，得P(A)P(A1)P(1A2).(2)用B表示“最后一位数字是偶数”这个事件，则A|BA1|B(1A2)|B.P(A|B)P(A1|B)P(1A2)|B).
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