高中数学北师大版选修22教案：第1章 高考中的合情推理

2019版数学精品资料（北师大版）高考中的合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，其主要形式有归纳和类比。一、归纳推理例1、（2006广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示）分析：解决本题的关键之一是找出相邻两项的关系，即下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数；其次是求出第一层的通项公式。解：f（1）1，观察图象可知f（2）4，f（3）10，f（4）20，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，通项公式是，所以f（n）f（n1），所以有：f（2）f（1）f（3）f（2）f（4）f（3）f（n）f（n1）以上各式相加得：f（n）f（1）所以应该填：10；点评：求f（n）的通项公式时运用累差法思想求解。可见高考题多数依据课本知识、思想或方法的设计题目。解决问题的关键是找到相邻两项的关系。二、 类比推理（类比）例2、（2006湖北）半径为r的圆的面积，周长，若将r看作上的变量，则， ，式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作看作上的变量，请你写出类似于的式子：_，式可用语言叙述为_.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，.答案： 球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比。结论类比：已知简单命题A的结论去探索新命题B的结论，从而对问题从更高层次上去把握，这类题目能训练学生的信息迁移能力和创造思维能力。例3、（2006上海）已知函数有如下性质：如果常数a>o，那么该函数在上是减函数，在上是增函数。（1） 如果函数的值域为，求b的值；（2） 研究函数（常数在定义域内的单调性，并说明理由；（3） 对函数和（常数作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）。解：（1）函数在上是减函数，在上是增函数，所以该函数在处取得最小值 令，得（2）设，显然函数在上是减函数，在上是增函数，令得，令得或又因为在上是减函数，在上是增函数，于是利用复合函数的单调性知，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，上是增函数。 （3）推广结论：当n是正奇数时，函数（常数是奇函数，故在上是增函数，在是减函数，在上是减函数，在上是增函数。而当n为正偶数时，函数（常数是偶函数，在上是减函数，在是增函数，在上是减函数，在上是增函数。点评：本题设计新颖，层层递进，主要考查函数的单调性、最值，考查分析解决问题的能力。