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2019年编人教版高中数学第三章3.2第3课时一、选择题1在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)、(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为()A.BC.D以上都不对答案D解析，这个二面角的余弦值为或.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为()ABCD答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)、B(2,2,0)、B1(2,2,2)、E(0,2,1)(2，2,0)、(0,0,2)、(2,0,1)设平面B1BD的法向量为n(x，y，z)n，n，.令y1，则n(1,1,0)cosn，设直线BE与平面B1BD所成角为，则sin|cosn，|.3如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为()A.BC.D答案D解析解法一：，()().而|.同理，|.如令为所求角，则cos.应选D.解法二：如图以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)、M(1，1)、C(0,1,0)、N(1,1，)，(1,0,0)(0，1)，(1,1，)(0,1,0)(1,0，)故0101，|，|.cos.4(2015河南洛阳市高二期末测试)正四棱锥SABCD中，SAAB2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为()A.BC.D答案C解析建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得A(1，1,0)、C(1,1,0)、B(1,1,0)、S(0,0，)(2，2,0)，(1，1，)，(1，1，)设平面SBC的一个法向量n(x，y，z)，则，令z，得x0，y2，n(0,2，)设直线AC与平面SBC所成的角为，则sin|cosn，|.5已知向量n(2,0,1)为平面的法向量，点A(1,2,1)在内，则 P(1,2,2)到的距离为()A.BC2D.答案A解析(2,0,3)，点P到平面的距离为d.6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为BB1的中点，则|MN|的长为()A.aBaC.aDa答案A解析设a，b，c，则|a|b|c|a，abbcca 0，由条件知，()()()(2ac)(cab)abc，|22(2abc)2(4|a|2|b|2|c|24ab2acbc)，|a.二、填空题7如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB4cm，AC6cm，BD8cm，CD2cm，则这个二面角的度数为_.答案60解析设，CAAB，ABBD，0，180，|2()2|2|2|22|cos(180)(2)2624282268(cos)，cos，60.因此，所求二面角的度数为60.8如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，点D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为_.答案解析解法一：取AC、A1C1的中点M、M1，连接MM1、BM.过D作DNBM，则容易证明DN平面AA1C1C.连接AN，则DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角在RtDAN中，sinDAN.解法二：取AC、A1C1中点O、E，则OBAC，OE平面ABC，以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，在正三角形ABC中，BMAB，A，B，D，又平面AA1C1C的法向量为e(0,1,0)，设直线AD与平面AA1C1C所成角为，则sin|cos，e|.解法三：设b，a，c，由条件知ab，ac0，bc0，又cb，平面AA1C1C的法向量(ab)设直线AD与平面AA1C1C成角为，则sin|cos，|，(cb)(ab)acabbc|b|2.|2(cb)2|c|2|b|22bc2，|，|2(ab)2(|a|2|b|22ab)，|，sin.三、解答题9如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点.(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长解析(1)以A为原点，、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa，则A(0,0,0)、D(0,1,0)、D1(0,1,1)、E(，1,0)、B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(，1，1)，(a,0,1)，(，1,0)011(1)10，B1E AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE.此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n ，n，得，取x1，得平面B1AE的一个法向量n(1，a)要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.(3)连接A1D、B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.B1CA1D，AD1B1C.又由(1)知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1，是平面A1B1E的一个法向量，此时(0,1,1)设与n所成的角为，则cos .二面角AB1EA1的大小为30，|cos|cos30，即.解得a2，即AB的长为2.10(2015福建理，17)如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，ABBEEC2，G、F分别是线段BE、DC的中点.(1)求证：GF平面ADE；(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值解析解法一：(1)如图，取AE的中点H，连接HG、HD，又G是BE的中点， 所以GHAB，且GHAB.又F是CD中点，所以DFCD，由四边形ABCD是矩形得，ABCD，ABCD，所以GHDF，且GHDF.从而四边形HGFD是平行四边形，所以GFDH.又DH平面ADE，GF平面ADE, 所以GF平面ADE. (2)如图，在平面BEC内，过点B作BQEC，因为BECE，所以BQBE.又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ.以B为原点，分别以BE、BQ、BA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)、B(0,0,0)、E(2,0,0)、F(2,2，1)因为AB平面BEC，所以BA(0,0,2)为平面BEC的法向量设n(x，y，z)为平面AEF的法向量又AE(2,0，2)、AF(2,2，1)，由，得，取z2，得n(2，1,2)从而cos n，BA， 所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为. 解法二：(1)如图，取AB中点M，连接MG、MF，又G是BE的中点，可知GMAE， 又AE平面ADE, GM平面ADE，所以GM平面ADE. 在矩形ABCD中，由M、F分别是AB、CD的中点得MFAD. 又AD平面ADE, MF平面ADE，所以MF平面ADE. 又因为GMMFM，GM平面GMF，MF平面GMF， 所以平面GMF平面ADE，因为GF平面GMF，所以GF平面ADE. (2)同解法一.一、选择题1已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.BC.D答案A解析如图，连接C1O，过C作CMC1O.BD平面C1CO，BDCM，C1OBDO，CM平面BC1D，CDM即为CD与平面BDC1所成的角，令AB1，AA12，CO，C1O，由CMC1OCC1CO得，CM，sinCDM.2把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，EOF的大小为()A(0，90)B90C120D(60，120)答案C解析()，()，()|2.又|，cos，.EOF120，故选C.3正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小为()A30B60C120D150答案C解析如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz，设正方体的棱长为a，则A(a，a,0)，B(a,0,0)，D1(0，a，a)，B1(a,0，a)，(0，a,0)，(a，a，a)，(0,0，a)，设平面ABD1的法向量为n(x，y，z)，则n(x，y，z)(0，a,0)ay0，n(x，y，z)(a，a，a)axayaz0，a0，y0，xz，令z1，则n(1,0,1)，同理平面B1BD1的法向量m(1，1,0)，cosn，m，而二面角ABD1B1为钝角，故为120.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于()A. B C D答案D解析解法一：如图，过F作BD的平行线交AC于M，则MGF即为所求设正方体棱长为1，MF，GF，sinMGF.解法二：如图，分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC1A1的一个法向量为n(1,1,0)，F(，0,0)、G(1,1，)，设直线FG与平面A1ACC1所成角，则sin|cosn，|.二、填空题5在正方体ABCDA1B1C1D1中，则A1B与平面A1B1CD所成角的大小为_.答案30解析解法一：连接BC1，设与B1C交于O点，连接A1O.BC1B1C，A1B1BC1，A1B1B1CB1，BC1平面A1B1C，A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O.OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角，设正方体的棱长为1.在RtA1OB中，A1B，BO，sinOA1B.OA1B30.即A1B与平面A1B1CD所成的角为30.解法二：以D为原点，DA、DC、DD1分别x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0,1)、C(0,1,0)(1,0,1)、(0,1,0)设平面A1B1CD的一个法向量为n(x，y，z)，则，令z1得x1.n(1,0，1)，又B(1,1,0)，(0,1，1)，cosn，.n，60，A1B与平面A1B1CD所成的角为30.6(2015浙江理，13)如图，在三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M、N分别为AD、BC的中点，则异面直线AN、CM所成的角的余弦值是_.答案解析如图，连接DN，取DN中点P，连接PM、PC，则可知PMC即为异面直线AN、CM所成角(或其补角)易得PMAN，PC，CM2，cosPMC，即异面直线AN、CM所成角的余弦值为.三、解答题7(2016北京理，17)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由解析(1)因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，所以ABPD.又PAPD，所以PD平面PAB.(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PAPD，所以POAD.因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以POCO.因为ACCD，所以COAD.如图建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，1,0)，P(0,0,1)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即，令z2，则x1，y2.所以n(1，2,2)又(1,1，1)，所以cos.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(3)设M是棱PA上一点，则存在0,1，使得.因此点M(0,1，)，(1，)因为BM平面PCD，所以要使BM平面PCD，则n0，即(1，)(1，2,2)0，解得.所以在棱PA上存在点M，使得BM平面PCD，此时.8(2015陕西理，18)如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2.图1图2(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值解析(1)在题图1中，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以BEAC，即在题图2中，BEOA1，BEOC，从而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B(，0,0)、E(，0,0)、A(0,0，)、C(0，0)，得BC(，0)、A1C(0，)，CDBE(，0,0)设平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD夹角为，则，得，取n1(1,1,1)；又，得，取n2(0,1,1)，从而cos |cosn1，n2|，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.
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