资源描述
8.8立体几何中的向量方法(二)考情分析考查用向量方法求异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的大小基础知识1空间的角(1)异面直线所成的角如图，已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线aa，bb.则把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0的角(3)二面角的平面角来源:如图在二面角l的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则AOB叫做二面角的平面角2空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角满足cos |cosm1，m2|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面的夹角满足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大小()如图，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，()如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos cosn1，n2或cosn1，n2注意事项1.(1)异面直线所成的角的范围是；(2)直线与平面所成角的范围是；(3)二面角的范围是0，2.利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面、的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点题型一求异面直线所成的角【例1】已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA12，求(1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值；解(1)如图建立空间直角坐标系A1xyz，由已知条件：B(1,0,2)，D(0,1,2)，A(0,0,2)，B1(1,0,0)则(1,1,0)，(1,0，2)设异面直线BD与AB1所成角为，cos |cos，|.(2)VAB1D1CVABCDA1B1C1D14VCB1C1D1.【变式1】已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_解析如图建立直角坐标系Dxyz，设DA1，由已知条件A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，C(0,1,0)，(1,0,0)设异面直线AE与BC所成角为.cos |cos，|.答案题型二利用向量求直线与平面所成的角【例2】如图所示，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小解如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)连接BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，即|cos，可得2m.解得m，所以.(1)因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)来源:因为cos，所以，60，可得DP与平面AADD所成的角为30.【变式2】已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点(1)证明：CMSN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小解：设PA1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，S.来源:(1)证明：(1，1，)，因为00，所以CMSN.(2)，设a(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则取x2，得a(2,1，2)因为|cosa，|，所以SN与平面CMN所成角为45.题型三利用向量求二面角【例3】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)若PDAD，求二面角APBC的余弦值 (1)证明因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得BDAD.从而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.又ADPDD.所以BD平面PAD.故PABD.(2)解如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0,0,1)来源:数理化网(1，0)，(0，1)，(1,0,0)设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面PBC的法向量为m，则可取m(0，1，)，则cosm，n.故二面角APBC的余弦值为.【变式3】 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点(1)证明：PC平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小(1)证明如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系APAB2，BCAD2，四边形ABCD是矩形，A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)又E，F分别是AD，PC的中点，E(0，0)，F(1，1)(2,2，2)，(1，1)，(1,0,1)2420，2020.，PCBF，PCEF.又BFEFF，PC平面BEF.(2)解由(1)知平面BEF的一个法向量n1(2,2，2)，平面BAP的一个法向量n2(0,2，0)，n1n28.设平面BEF与平面BAP的夹角为，则cos |cosn1，n2|，45.平面BEF与平面BAP的夹角为45.重难点突破【例4】如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角Q BPC的余弦值解析(1)略 (2)依题意有B(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1)设n(x，y，z)是平面PBC的法向量，则即因此可取n(0，1，2)设m是平面PBQ的法向量，则可取m(1,1, 1)，所以cosm，n.故二面角QBPC的余弦值为.巩固提高1.在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为()A. B. C. D. 答案：A解析：取AC中点E，连接BE，则BEAC，如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(，0)，D(0,0,1)，则A(，1)平面ABC平面AA1C1C，BEAC，BE平面AA1C1C.B(，0,0)为平面AA1C1C的一个法向量，cosA，B，设AD与平面AA1C1C所成的角为，sin|cos|A，B|，故选A.2.在直三棱柱A1B1C1ABC中，BCA90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BCCACC1，则BD1与AF1所成的角的余弦值是()A. B. C. D. 答案：A解析：建立如图所示的坐标系，设BC1，则A(1,0,0)，F1(，0,1)，B(0，1,0)，D1(，1)，即(，0,1)，(，1)cos，.3.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为()答案：A解析：以D为原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图：设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则P(，0，a)，C(0，a,0)，则|MC|，|MP|.由|MP|MC|得x2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线yx的一部分4.已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是_答案：来源:解析：如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，(2,0,4)，(0,2,4)，(0,0,4)，设平面AB1D1的法向量为n(x，y，z)，则即解得x2z且y2z，不妨设n(2，2,1)，设点A1到平面AB1D1的距离为d，则d.5.已知在几何体ABCED中，ACB90，CE平面ABC，平面BCED为梯形，且ACCEBC4，DB1.(1)求异面直线DE与AB所成角的余弦值；(2)试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ，并说明理由解：(1)由题知，CA，CB，CE两两垂直，以C为原点，以CA，CB，CE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则A(4,0,0)，B(0,4,0)，D(0,4,1)，E(0,0,4)，(0，4,3)，(4,4,0)，cos，异面直线DE与AB所成角的余弦值为.(2)设满足题设的点Q存在，其坐标为(0，m，n)，则A(4，m，n)，B(0，m4，n)，E(0，m，n4)，Q(0,4m,1n)AQBQ，m(m4)n20，点Q在ED上，存在R(0)使得，(0，m，n4)(0,4m,1n)，m，n.由得()2，28160，解得4.m，n.满足题设的点Q存在，其坐标为(0，)
展开阅读全文