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第4讲二次函数与幂函数考纲展示命题探究1二次函数解析式的三种形式(1)一般式：yax2bxc(a0)(2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，其中(h，k)为抛物线顶点坐标(3)两点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标2二次函数的图象与性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)yax2bxc(a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_(2)已知f(x)ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1,2a，则yf(x)的值域为_答案(1)(0,8)(2)解析(1)由题意知，(a)28a0，解得0a4ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()ABCD(2)已知对任意的a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值总大于0，则x的取值范围是()A1x3Bx3C1x2Dx3解析(1)因为图象与x轴有两个交点，所以b24ac0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1,2ab0，错误；结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a.又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确(2)f(x)x2(a4)x42a(x2)a(x24x4)记g(a)(x2)a(x24x4)，由题意可得即解得x3.故选B.答案(1)B(2)B【解题法】二次函数问题的求解策略(1)二次函数的最值问题一般先配方，通过对称轴，开口方向等特征求得，有时需要讨论，如动轴定区间问题和定轴动区间问题(2)与二次函数图象有关的问题采用数形结合的方法，需尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标轴的交点要标清楚1.如果函数f(x)(m2)x2(n8)x1(m0，n0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为()A16B18C25 D.答案B解析由已知得f(x)(m2)xn8，又对任意的x，f(x)0，所以，即，画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 令mnt，则当n0时，t0，当n0时，m.由线性规划的相关知识知，只有当直线2mn12与曲线m相切时，t取得最大值由，解得n6，t18，所以(mn)max18，选B.2已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)f(1)，则()Aa0,4ab0Ba0,2ab0Daf(1)，f(x)先减后增，a0，选A.3两个二次函数f(x)ax2bxc与g(x)bx2axc的图象可能是()答案D解析函数f(x)图象的对称轴为x，函数g(x)图象的对称轴为x，显然与同号，故两个函数图象的对称轴应该在y轴的同侧，只有D满足故选D.4若函数f(x)cos2xasinx在区间上是减函数，则a的取值范围是_答案(，2解析f(x)cos2xasinx12sin2xasinx，令tsinx，x，则t，原函数化为y2t2at1，由题意及复合函数单调性的判定可知y2t2at1在上是减函数，结合抛物线图象可知，所以a2.5.已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，则a的值为_答案2或1解析f(x)(xa)2a2a1，在x0,1时，当a1时，f(x)maxf(1)a；当0a0，当非零实数a，b满足4a22ab4b2c0且使|2ab|最大时，的最小值为_答案2解析设2abt，则2atb，由已知得关于b的方程(tb)2b(tb)4b2c0有解，即6b23tbt2c0有解故9t224(t2c)0，所以t2c，所以|t|max，此时ct2，bt，2atb，所以a.故88222.7已知函数f(x)|x23x|，xR.若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_答案(0,1)(9，)解析在同一坐标系中分别作出函数f(x)与ya|x1|的图象，由图知，当a0时，两函数的图象只有2个交点，当a0.若曲线yx23x(3x0)与直线ya(x1)(x1)相切，联立方程得x2(3a)xa0，则由0得a1(a9舍去)，因此当0a0)与直线ya(x1)(x1)相切，联立方程得x2(3a)xa0，则由0可得a9(a1舍去)，因此当a9时，f(x)的图象与ya|x1|的图象有4个交点，故当方程有4个互异实数根时，实数a的取值范围是(0,1)(9，)1幂函数的定义一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数2五种幂函数图象的比较3幂函数的性质比较注意点的大小对幂函数图象的影响幂函数在第一象限的图象中，以直线x1为分界，当0x1时，越大，图象越高(即图象离x轴越远，不包含yx0).1思维辨析(1)函数y2x是幂函数()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(3)当n0时，幂函数yxn是定义域上的增函数()(5)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)()答案(1)(2)(3)(4)(5)2当x(1，)时，下列函数中图象全在直线yx下方的增函数是()AyxByx2Cyx3Dyx1答案A解析yx2，yx3在x(1，)时，图象不在直线yx下方，排除B、C，而yx1是(，0)，(0，)上的减函数3已知f(x)x，若0ab1，则下列各式中正确的是()Af(a)f(b)ffBfff(b)f(a)Cf(a)f(b)ffDff(a)ff(b)答案C解析因为函数f(x)x在(0，)上是增函数，又0ab0)，g(x)logax的图象可能是()(2)若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()AabcBcabCbcaDba0，所以f(x)xa在(0，)上为增函数，故A不符合；在B中，由f(x)的图象知a1，由g(x)的图象知0a1，矛盾，故B不符合；在C中，由f(x)的图象知0a1，矛盾，故C不符合；在D中，由f(x)的图象知0a1，由g(x)的图象知0ab，因为yx是减函数，所以ac，所以ba0Bx|xR，且x0，选A项2下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()Ayx，yx2，yx，yx1Byx3，yx2，yx，yx1Cyx2，yx3，yx，yx1Dyx，yx，yx2，yx1答案B解析的图象关于y轴对称，应为偶函数，故排除选项C、D.由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A.选B.3若f(x)xx，则满足f(x)0的x的取值范围是_答案(0,1)解析令y1x，y2x，则f(x)0即为y1y2.函数y1x，y2x的图象如图所示，由图象知：当0x1时，y1y2，所以满足f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是()A(0,2)B(2，)C(0，) D.错解正解二次函数图象开口向上，对称轴为x，又x1,1时，f(x)x2ax0恒成立，即f(x)最小值0.当1，即a2时，f(1)1a0，解得a，与a2矛盾；当1，即a2时，f(1)1a0，解得a2，与a2矛盾；当11，即2a0，解得0a0.f(x)2xb，令f(x)0，得x0，即导函数f(x)的图象与x轴的交点位于x轴正半轴上，且斜率为正，故选A.32016枣强中学周测定义域为R的函数f(x)满足f(x1)2f(x)，且当x0,1时，f(x)x2x，则当x2，1时，f(x)的最小值为()ABCD0答案A解析设x2，1，则x20,1，则f(x2)(x2)2(x2)x23x2，又f(x2)f(x1)12f(x1)4f(x)，f(x)(x23x2)当x时，取到最小值为.4. 2016冀州中学预测对任意实数a，b定义运算“”：ab设f(x)(x21)(4x)，若函数yf(x)k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是()A(2,1)B0,1C2,0)D2,1)答案D解析解不等式x21(4x)1，得x2或x3.所以f(x)其图象如下图实线所示，由图可知，当2k1时，函数yf(x)k的图象与x轴恰有三个不同交点，故选D.52016衡水中学期末幂函数f(x)x的图象过点(2,4)，那么函数f(x)的单调递增区间是()A(2，)B1，)C0，)D(，2)答案C解析因为函数过点(2,4)，所以42，2，故f(x)x2，单调增区间为0，)，选C.62016武邑中学期中设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若ac，则函数f(x)的图象不可能是()答案D解析由A、B、C、D四个选项知，图象与x轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x1，x2，若只有一个交点，则x1x2.因为ac，所以x1x21，比较四个选项，可知选项D的x11，x21，所以D不满足故选D.7. 2016衡水中学期中已知函数f(x)asinxcos2xa(aR，a0)，若对任意xR都有f(x)0，则a的取值范围是()A.B1,0)(0,1C(0,1D1,3答案C解析化简函数得f(x)sin2xasinxa.令tsinx(1t1)，则g(t)t2ata，问题转化为使g(t)在1,1上恒有g(t)0，即解得00，即0，即0，且a0，a1.从而f(x)2x23x2.112016冀州中学月考已知二次函数图象的对称轴为x，截x轴所得的弦长为4，且过点(0，1)，求函数的解析式解二次函数图象的对称轴为x，可设所求函数的解析式为f(x)a(x)2b.二次函数f(x)的图象截x轴所得的弦长为4，f(x)过点(2,0)和(2,0)又二次函数f(x)的图象过点(0，1)，解得.f(x)(x)22.即f(x)x2x1.122016衡水中学周测已知函数f(x)ax22ax2b(a0)在区间2,3上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b0时，f(x)在2,3上为增函数，故当a0时，f(x)在2,3上为减函数，故a1，b0或a1，b3.(2)b1，a1，b0，即f(x)x22x2，g(x)x22x22mxx2(22m)x2.若g(x)在2,4上单调，则2或4，2m2或2m6，即m1或mlog26.故m的取值范围是(，1log26，)能力组13.2016枣强中学一轮检测已知函数f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在区间(5，3)上()A先减后增B先增后减C单调递减D单调递增答案D解析当m1时，f(x)2x3不是偶函数；当m1时，f(x)为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y轴，故需m0，此时f(x)x23，其图象的开口向下，所以函数f(x)在(5，3)上单调递增，故选D.142016武邑中学模拟函数f(x)ax2ax1在R上恒满足f(x)0，则a的取值范围是()Aa0Ba4C4a0D4a0答案D解析当a0时，f(x)1在R上恒有f(x)0；当a0时，f(x)在R上恒有f(x)0，4a0.综上可知：4a0.152016冀州中学预测当0xg(x)f(x)解析如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知，h(x)g(x)f(x)162016枣强中学周测是否存在实数a，使函数f(x)x22axa的定义域为1,1时，值域为2,2？若存在，求a的值；若不存在，说明理由解f(x)(xa)2aa2.当a1时，f(x)在1,1上为增函数，a1(舍去)；当1a0时，a1；当01时，f(x)在1,1上为减函数，a不存在综上可得a1.
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