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第七节双曲线考纲传真1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用(对应学生用书第125页) 基础知识填充1双曲线的定义(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线这两个定点F1，F2叫作双曲线，两焦点之间的距离叫作焦距其中a，c为常数且a0，c0.(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.当2a|F1F2|时，M点不存在2双曲线的标准方程及简单几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形条件2a2c，c2a2b2，a0，b0，c0范围xa或xa且yRya或ya且xR对称性对称轴坐标轴、对称中心原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)渐近线yxyx实轴、虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长度|A1A2|2a；a叫做双曲线的实半轴长线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|2b；b叫做双曲线的虚半轴长焦距|F1F2|2c(c2a2b2)离心率e(1，)，e越接近于时，双曲线开口越大；e越接近于1时，双曲线开口越小3. 等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为e.知识拓展1巧设双曲线方程(1)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可设为(0)(2)等轴双曲线可设为x2y2(0)(3)过已知两个点的双曲线方程可设为1(mn0)2焦点三角形的面积双曲线1(a0，b0)上一点P(x0，y0)与两焦点构成的焦点三角形F1PF2中，若F1PF2，则SF1PF2|PF1|PF2|sin b2.3离心率与渐近线的斜率的关系e21，其中是渐近线的斜率4过焦点垂直于实轴的弦长过焦点垂直于实轴的半弦长为.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2BCD1D依题意，e2，2a，则a21，a1.3(20xx福州质检)若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11B9 C5D3B由题意知a3，b4，c5.由双曲线的定义|PF1|PF2|3|PF2|2a6，|PF2|9.4(20xx全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为()A BCDD因为F是双曲线C：x21的右焦点，所以F(2,0)因为PFx轴，所以可设P的坐标为(2，yP)因为P是C上一点，所以41，解得yP3，所以P(2，3)，|PF|3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以SAPF|PF|131.故选D5(20xx北京高考改编)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则双曲线的方程为_. 【导学号：00090297】x21由于2xy0是1的一条渐近线，2，即b2a，又双曲线的一个焦点为(，0)，则c，由a2b2c2，得a2b25，联立得a21，b24.所求双曲线的方程为x21.(对应学生用书第126页)双曲线的定义及应用(1)(20xx长春模拟)已知双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点若|PF1|PF2|，则F1PF2的面积为()A48B24C12D6(2)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_. 【导学号：00090298】(1)B(2)x21(x1)(1)由双曲线的定义可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此SPF1F2|PF1|PF2|24.(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B，动圆M的半径为r，根据两圆外切的条件得|MC1|1r|MC2|3r所以|MC2|MC1|2所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)规律方法1.应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时需注意定义的转化应用2在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将|PF1|PF2|2a平方，建立与|PF1|PF2|间的联系变式训练1(1)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1()ABCD(2)已知F1，F2为双曲线1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|AF2|的最小值为()A4 B4C2D2(1)A(2)C(1)由e2得c2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|F2A|2A又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a，cosAF2F1.(2)由题意知，|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，|AP|AF1|PF1|，|AP|AF2|的最小值为|AP|AF1|2a2.故选C双曲线的标准方程(1)(20xx天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A1 B1Cy21Dx21(2)(20xx天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()Ay21Bx21C1D1(1)D(2)A(1)根据题意画出草图如图所示.由AOF是边长为2的等边三角形得到AOF60，c|OF|2.又点A在双曲线的渐近线yx上，tan 60.又a2b24，a1，b，双曲线的方程为x21.故选D(2)由焦距为2得c.因为双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，所以.又c2a2b2，解得a2，b1，所以双曲线的方程为y21.规律方法1.确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上；“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法若双曲线的焦点位置不能确定时，可设其方程为Ax2By21(AB0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线方程为_(1)A(2)xy0(1)如图，因为MF1x轴，所以|MF1|.在RtMF1F2中，由sinMF2F1得tanMF2F1.所以，即，即，整理得c2aca20，两边同除以a2得e2e10.解得e(负值舍去)(2)由题设易知A1(a,0)，A2(a,0)，B，C.因为A1BA2C，所以1，整理得aB因此该双曲线的渐近线方程为yx，即xy0.规律方法1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含a，b，c的齐次方程，但一定注意e1这一条件2双曲线中c2a2b2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系.抓住双曲线中“六点”“四线”“两三角形”，研究a，b，c，e间相互关系及转化，简化解题过程变式训练3(1)(20xx全国卷)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()AB2 CD(2)已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为()A2BC1D0(1)D(2)A (1)不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，M点的坐标为.M点在双曲线上，1，ab，ca，e.故选D(2)由已知可得A1(1,0)，F2(2,0)，设点P的坐标为(x，y)(x1)，则(1x，y)(2x，y)x2x2y2，因为x21，即y23(x21)，所以4x2x542，故当x1时，有最小值2.
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