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第二节等差数列及其前n项和 考纲传真1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系(对应学生用书第69页) 基础知识填充1等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就为等差数列，这个常数为等差数列的公差，公差通常用字母d表示数学语言表达式：an1and(nN，d为常数)，或anan1d(n2，d为常数)(2)如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A.2等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)D通项公式的推广：anam(nm)d(m，nN)，(2)等差数列的前n项和公式Snna1d(其中nN，a1为首项，d为公差，an为第n项)3等差数列的有关性质已知数列an是等差数列，Sn是an的前n项和(1)若mnpq(m，n，p，qN)，则有amanapaq.(2)等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列4等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)知识拓展1等差数列前n项和的最值在等差数列an中，若a10，d0，则Sn有最大值，即所有正项之和最大，若a10，d0，则Sn有最小值，即所有负项之和最小2两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，则有.3等差数列an的前n项和为Sn，则数列也是等差数列基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()答案(1)(2)(3)(4)2等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a30，则公差d等于()A1B1C2D2D依题意得S33a26，即a22，故da3a22，故选D3(20xx全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A5B7 C9D11Aa1a3a53a33a31，S55a35.4(20xx全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100B99 C98D97C法一：an是等差数列，设其公差为d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199198.故选C法二：an是等差数列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差数列an中，a5，a10，a15，a100成等差数列，且公差da10a5835.故a100a5(201)598.故选C5(教材改编)在100以内的正整数中有_个能被6整除的数. 【导学号：00090161】16由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列an，则a16，d6，得an6(n1)66n.由an6n100，即n1616，则在100以内有16个能被6整除的数(对应学生用书第70页)等差数列的基本运算(1)(20xx郑州模拟)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10()ABC10D12(2)(20xx昆明模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，S1122，a412，若am30，则m() 【导学号：00090162】A9B10 C11D15(1)B(2)B(1)公差为1，S88a118a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.(2)设等差数列an的公差为d，依题意解得ama1(m1)d7m4030，m10.规律方法1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用2数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法变式训练1(1)(20xx娄底模拟)已知数列an是首项为1，公差为d(dN*)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是()A2B3 C4D5(2)设Sn为等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_.(1)B(2)72(1)数列an是首项为1，公差为d(dN*)的等差数列，an1(n1)d，81是该数列中的一项，811(n1)d，n1，d，nN*，d是80的因数，故d不可能是3.故选B(2)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知，得解得S16163(1)72.等差数列的判定与证明已知数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列(2)求数列an中的通项公式an.解(1)证明：因为an2(n2，nN*)，bn.所以n2时，bnbn11.5分又b1，所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列.7分(2)由(1)知，bnn，9分则an11.12分规律方法1.等差数列的四种判断方法：(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(解答题)(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(解答题)(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(小题)(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列(小题)2用定义证明等差数列时，常采用两个式子an1and和anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2”，否则n1时，a0无定义变式训练2(1)若an是公差为1的等差数列，则a2n12a2n是()A公差为3的等差数列B公差为4的等差数列C公差为6的等差数列D公差为9的等差数列(2)在数列an中，若a11，a2，(nN*)，则该数列的通项为()AanBanCanDan(1)B(2)A(1)anna11a2n12na12，a2n2na11a2n12a2n4n2a13因此数列a2n12an是公差为4的等差数列，故选B(2)由已知式可得，知是首项为1，公差为211的等差数列，所以n，即an.等差数列的性质及应用(1)(20xx江西红色七校联考)设等差数列an的前n项和为Sn，若2a75a9，则S9的值为()A27B36 C45D54(2)(20xx洛阳统考)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63B45 C36D27(3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014，6，则S2 017_.(1)C(2)B(3)4 034(1)由2a75a9得a5a95a9，所以a55，所以S99a545.(2)由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，即a7a8a945，故选B(3)由等差数列的性质可得也为等差数列设其公差为D则6d6，d1.故2 016d2 0142 0162，S2 01722 0174 034.规律方法应用等差数列的性质应注意两点(1)在等差数列an中，若mnpq2k(m、n、p、q、kN*)，则amanapaq2ak是常用的性质(2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口变式训练3(1)在等差数列an中，a3a927a6，Sn表示数列an的前n项和，则S11()A18B99 C198D297(2)设等差数列an的前n项和为Sn，且S510，S1030，则S15()A60B70 C90D40(3)(20xx佛山模拟)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_. 【导学号：00090163】(1)B(2)A(3)10(1)由a3a927a6得2a627a6，所以a69所以S1111a699.(2)因为数列an为等差数列，所以S5，S10S5，S15S10也成等差数列，设S15x，则10,20，x30成等差数列，所以22010(x30)，所以x60，即S1560.(3)因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.等差数列的前n项和及其最值(1)设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.(2)等差数列an中，设Sn为其前n项和，且a10，S3S11，则当n为多少时，Sn取得最大值(1)130由an2n10(nN*)知an是以8为首项，2为公差的等差数列，又由an2n100得n5，n5时，an0，当n5时，an0，|a1|a2|a15|S152S5130.(2)法一：由S3S11，可得3a1d11a1d，4分即da1.7分从而Snn2n(n7)2a1，因为a10，所以0，S3S11可知d0，a80，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；(2)当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.变式训练4(1)(20xx孝义模拟)在等差数列an中，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使Sn达到最大值的n是()A21B20 C19D18(2)已知等差数列an的前三项和为3，前三项的积为8.求等差数列an的通项公式；若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和Tn. 【导学号：00090164】B(1)因为a1a3a53a3105，a2a4a63a499，所以a335，a433，所以d2，a139.由ana1(n1)d392(n1)412n0，解得n，所以当n20时Sn达到最大值，故选B(2)设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12D由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列；当an3n7时，a2，a3，a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件故|an|3n7|记数列3n7的前n项和为Sn，则Snn2n当n2时，Tn|a1|a2|an|(a1a2an)n2n当n3时，Tn|a1|a2|a3|an|(a1a2)(a3a4an)Sn2S2n2n10综上知：Tn
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