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线段的垂直平分线线段的垂直平分线(1)用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成 如图，如图，A、B表示两个仓库，要在表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置么位置? AB线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质： 定理：定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等点的距离相等 已知：如图，直线已知：如图，直线MNAB，垂足是，垂足是C，且，且AC=BC，P是是MN上的点上的点求证：求证：PA=PBNAPBCM证明：证明：MNAB， PCA=PCB=90 AC=BC，PC=PC, PCA PCB(SAS) ； PA=PB(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) 用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成你能写出上面这个定理的逆命题吗你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗它是真命题吗? 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上即到线段两个端点的个点在这条线段的垂直平分线上即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假如当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明 已知：线段已知：线段AB，点，点P是平面内一点且是平面内一点且PA=PB求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上证明：过点证明：过点P作已知线段作已知线段AB的垂线的垂线PC，PA=PB，PC=PC， RtPAC RtPBC(HL) AC=BC， 即即P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上CBPA证法二：取证法二：取AB的中点的中点C，过，过P,C作直线作直线 AP=BP，PC=PC.AC=CB， APC BPC(SSS) PCA=PCB(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等) 又又PCA+PCB=180， PCA=PCB=90，即，即PCAB P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上CBPA已知：线段已知：线段AB，点，点P是平面内一点且是平面内一点且PA=PB求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上CBPA已知：线段已知：线段AB，点，点P是平面内一点且是平面内一点且PA=PB求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上证法三：过证法三：过P点作点作APB的角平分线交的角平分线交AB于点于点C AP=BP，APC=BPC，PC=PC， APC BPC(SAS) AC=BC，PCA=PCB 又又PCA+PCB=180PCA=PCB=90 P点在线段点在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上线段垂直平分线的判定：线段垂直平分线的判定： 定理：定理：到线段两个端点的距离相等的点在到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上想一想，做一做想一想，做一做已知：如图已知：如图 1-18，在，在 ABC 中，中，AB = AC，O 是是 ABC 内一点，且内一点，且 OB = OC.求证：直线求证：直线 AO 垂直平分线段垂直平分线段BC证明：延长证明：延长AO交交BC于点于点D，在在ABO和和ACO中，中， ABAC ，AOAO ，OBOC ，ABO ACO（SSS），），BAO=CAO，AB=AC，AOBCBD=CD.即直线即直线 AO 垂直平分线段垂直平分线段BC课堂小结课堂小结, 畅谈收获：畅谈收获：一、线段垂直平分线的性质定理一、线段垂直平分线的性质定理二、线段垂直平分线的判定定理二、线段垂直平分线的判定定理 三、用尺规作线段的垂直平分线三、用尺规作线段的垂直平分线 线段的垂直平分线线段的垂直平分线(2) 习题习题17的第的第1题：利用尺规作三角形三条边的垂题：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么直平分线，当作完此题时你发现了什么? 用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成 发现：三角形三边的垂直平发现：三角形三边的垂直平分线交于一点这一点到三角形分线交于一点这一点到三角形三个顶点的距离相等三个顶点的距离相等 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论现同样的结论?与同伴交流与同伴交流 QPNMFECBAO 证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点.用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成已知：在已知：在ABC中，设中，设AB、BC的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点O.求证：求证：O点在点在AC的垂直平分线上的垂直平分线上证明：连接证明：连接AO，BO，CO 点点P在线段在线段AB的垂直平分线上，的垂直平分线上， OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等个端点的距离相等) 同理同理OB=OCOA=OC O点在点在AC的垂直平分线上的垂直平分线上(到线段两个端到线段两个端点距离相等的点点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上) AB、BC、AC的垂直平分线相交于点的垂直平分线相交于点OCBAO 定理：定理：三角形三边的垂直平分线相三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。离相等。三角形三边的垂直平分线的性质定理三角形三边的垂直平分线的性质定理 议一议议一议 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗形吗?如果能，能作几个如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗所作出的三角形都全等吗?已知：三角形的一条边已知：三角形的一条边a和这边上的高和这边上的高h求作：求作：ABC，使，使BC=a，BC边上的高为边上的高为h这样的三角形有无数多个观察还可以发现这些三角形不都全等这样的三角形有无数多个观察还可以发现这些三角形不都全等 1ADCBAah( )DCBAah1ADCBAah1A议一议议一议 (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗吗?如果能，能作几个如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗所作出的三角形都全等吗? 这样的等腰三角形也有无数多个根这样的等腰三角形也有无数多个根据线段垂直平分线上的点到线段两个端据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形得到一个等腰三角形 如图所示，这些三角形不都全等如图所示，这些三角形不都全等 议一议议一议 (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗出等腰三角形吗?能作几个能作几个? 这样的等腰三角形应该只有两这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧已知底边的两侧 你能尝试着用尺规作出这个三你能尝试着用尺规作出这个三角形吗角形吗?已知底边及底边上的高，求作等腰三角形已知底边及底边上的高，求作等腰三角形已知：线段已知：线段a、h求作：求作：ABC，使，使AB=AC，BC=a，高，高AD=h作法：作法：1作作BC=a； 2作线段作线段BC的垂直平分线的垂直平分线MN交交BC于于D点；点； 3以以D为圆心，为圆心，h长为半径作弧交长为半径作弧交MN于于A点；点； 4连接连接AB、AC ABC就是所求作的三角形就是所求作的三角形NMDCBahA课内拓展延伸课内拓展延伸求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段已知：线段已知：线段a求作：等腰直角三角形求作：等腰直角三角形ABC使使BC=a 作法：作法：1作线段作线段BC=a2作线段作线段BC的垂直平分线的垂直平分线L，交，交BC于点于点D3在在L上作线段上作线段DA，使，使DA=DB4连接连接AB，ACABC为所求的等腰直角三角形为所求的等腰直角三角形 这节课有何收获？这节课有何收获？
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