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人教版高中数学精品资料第一课时两个计数原理及其简单应用预习课本P26，思考并完成以下问题1什么是分类加法计数原理与分步乘法计数原理？2分类加法计数原理与分步乘法计数原理有怎样的区别与联系？1分类加法计数原理2分步乘法计数原理点睛两个原理的区别区别一每类方法都能独立完成这件事它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类方法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复、也不能遗漏1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成()答案：(1)(2)(3)(4)2某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()A1种B2种C3种 D4种答案：C3从10名任课教师，54名同学中，选1人参加元旦文艺演出，共有_种不同的选法答案：644一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有_种不同的取法答案：48分类加法计数原理的应用典例在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_解析(1)法一：根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8765432136(个)法二：分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，8中的一个，故共有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，7中的一个，故共有7个；同理，个位是7的有6个；个位是2的有1个由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8765432136(个)答案36一题多变1变条件若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1357925(个)2变条件，变设问用1,2,3这3个数字可以写出没有重复数字的整数_个解析：分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12,21,23,32,13,31，共6个；第三类为三位整数，有123,132,231,213,321,312，共6个，共写出没有重复数字的整数36615个答案：15利用分类加法计数原理计数时的解题流程分步乘法计数原理的应用典例从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数解(1)三位数有三个数位， 故可分三个步骤完成：第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法依据分步乘法计数原理， 共有43224个满足要求的三位数(2)分三个步骤完成：第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法故共有23212个三位数的偶数利用分步乘法计数原理计数时的解题流程活学活用某商店现有甲种型号电视机10台， 乙种型号电视机8台， 丙种型号电视机12台， 从这三种型号的电视机中各选1台检验， 有多少种不同的选法？解：从这三种型号的电视机中各选1台检验可分三步完成：第一步，从甲种型号中选1台，有10种不同的选法；第二步，从乙种型号中选1台，有8种不同的选法；第三步，从丙种型号中选1台，有12种不同的选法根据分步乘法计数原理，不同的选法共有10812960种两个计数原理的简单综合应用典例在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？解选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选互相搭配，可得四类不同的选法从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有326种选法；从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有326种选法；从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有224种选法；2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法共有664218种选法所以共有18种不同的选法利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律(3)综合问题一般是先分类再分步活学活用某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况为多少种？解：分两类：第一类是甲企业有1人发言，有2种情况，另2个发言人来自其余4家企业，有6种情况，根据分步乘法计数原理可得共有2612(种)情况；另一类是3人全来自其余4家企业，共有4种情况根据分类加法计数原理可得共有12416(种)情况层级一学业水平达标1从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为()A13种B16种C24种 D48种解析：选A应用分类加法计数原理，不同走法数为83213(种)2已知x2,3,7，y31，24,4，则(x，y)可表示不同的点的个数是()A1 B3C6 D9解析：选D这件事可分为两步完成：第一步，在集合2,3,7中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合31，24,4中任取一个值y有3种方法根据分步乘法计数原理知，有339个不同的点3甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有()A6种 B12种C30种 D36种解析：选B甲、乙两人从4门课程中各选修1门，由分步乘法计数原理，可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4312种4已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A40 B16C13 D10解析：选C分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面故可以确定8513个不同的平面5给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有()A8本 B9本C12本 D18本解析：选D需分三步完成，第一步首字符有2种编法，第二步，第二个字符有3种编法，第三步，第三个字符有3种编法，故由分步乘法计数原理知不同编号共有23318种6一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不同走法_种解析：从任一门进有4种不同走法，从任一门出也有4种不同走法，故共有不同走法4416种答案：167将三封信投入4个邮箱，不同的投法有_种解析：第一封信有4种投法，第二封信也有4种投法，第三封信也有4种投法，由分步乘法计数原理知，共有不同投法4364种答案：648如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_种解析：按照焊接点脱落的个数进行分类：第1类，脱落1个，有1,4，共2种；第2类，脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种根据分类加法计数原理，共有264113种焊接点脱落的情况答案：139若x，yN*，且xy6，试求有序自然数对(x，y)的个数解：按x的取值进行分类：x1时，y1,2，5，共构成5个有序自然数对；x2时，y1,2，4，共构成4个有序自然数对；x5时，y1，共构成1个有序自然数对根据分类加法计数原理，共有N5432115个有序自然数对10现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法所以共有不同的选法N7891034(种)(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长所以共有不同的选法N789105 040(种)(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有78种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有810种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910种不同的选法所以，共有不同的选法N787971089810910431(种)层级二应试能力达标1(a1a2)(b1b2)(c1c2c3)完全展开后的项数为()A9B12C18 D24解析：选B每个括号内各取一项相乘才能得到展开式中的一项，由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为223122(2016全国卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18C12 D9解析：选B由题意可知EF有6种走法，FG有3种走法，由分步乘法计数原理知，共6318种走法，故选B3如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为()A26 B24C20 D19解析：选D因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种方法：1253,1264,1267,1286，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：346619，故选D44名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A BC D解析：选D4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有2416(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，所求概率为15圆周上有2n个等分点(n大于2)，任取3个点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为_解析：先在圆周上找一点，因为有2n个等分点，所以应有n条直径，不过该点的直径应有n1条，这n1条直径都可以与该点形成直角三角形，即一个点可形成n1个直角三角形，而这样的点有2n个，所以一共可形成2n(n1)个符合条件的直角三角形答案：2n(n1)6将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有_种解析：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即2143,3142,4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应着3种填法，因此共有填法为339(种)答案：97某校高二共有三个班，各班人数如下表男生人数女生人数总人数高二(1)班302050高二(2)班303060高二(3)班352055(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解：(1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高二(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高二(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高二(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有506055165种不同的选法(2)从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高二(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高二(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高二(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法根据分类加法计数原理知，从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30302080种不同的选法8已知集合Aa1，a2，a3，a4，集合Bb1，b2，其中ai，bj(i1,2,3,4，j1,2)均为实数(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？(2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？解：(1)因为集合A中的每个元素ai(i1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成AB的映射有N2416个(2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均对应同一元素b1或b2的情形此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M16214个
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