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2019人教版精品教学资料·高中选修数学11分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理1通过实例，能总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理(重点)2正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”(易混点)3能利用两个原理解决一些简单的实际问题(难点)基础·初探教材整理1分类加法计数原理阅读教材P2P4图1.11，完成下列问题1完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事()(3)从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种()(4)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种()【解析】(1)×在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的(2)在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事(3)由分类加法计数原理，从甲地去乙地共347(种)不同的交通方式(4)根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8614(种)【答案】(1)×(2)(3)(4)教材整理2分步乘法计数原理阅读教材P4P6练习上面内容，完成下列问题1完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nm×n种不同的方法2完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有Nm1·m2··mn种不同的方法判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()(3)已知x2,3,7，y3，4,8，则x·y可表示不同的值的个数为9个()(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种()【解析】(1)因为在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同(2)×因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成(3)因为x从集合2,3,7中任取一个值共有3个不同的值，y从集合3，4,8中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×39个不同的值(4)×因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有34种不同的夺冠情况【答案】(1)(2)×(3)(4)×质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型分类加法计数原理的应用(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【精彩点拨】(1)按所选组长来自不同年级为分类标准(2)按个位(或十位)取09不同的数字进行分类【自主解答】(1)分四类：从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法；从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法共有不同选法N456722种(2)法一按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8765432136(个)法二按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1234567836(个)1应用分类加法计数原理解题的策略(1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事2利用分类加法计数原理解题的一般思路再练一题1(1)某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()A1种B2种C3种D4种(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个若从三个袋子中任取1个小球，有_种不同的取法. 【导学号：97270000】【解析】(1)分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有213种故选C.(2)有3类不同方案：第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有65415种【答案】(1)C(2)15分步乘法计数原理的应用一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?【精彩点拨】根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理【自主解答】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m110；第二步，有10种拨号方式，所以m210；第三步，有10种拨号方式，所以m310；第四步，有10种拨号方式，所以m410.根据分步乘法计数原理，共可以组成N10×10×10×1010 000个四位数的号码1应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可2利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果再练一题2张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种问：张涛共有多少种不同的理财方式？【解】由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式由分步乘法计数原理，得2×36种探究共研型两个计数原理的辨析探究1某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？【提示】“完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”探究2在探究1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？为什么？【提示】要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配套餐”这件事探究3在探究1中若要配成“一素一汤套餐”试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解吗？你能说明分类加法计数原理与分步乘法计数原理的主要区别吗？【提示】5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.利用分类加法计数原理求解：以选用5种不同的素菜分类：选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法故由加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3333315(种)不同的套餐利用分步乘法计数原理求解：第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法由分步乘法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有5×315(种)不同套餐两个计数原理的主要区别在于分类加法计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步乘法计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？【精彩点拨】从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为4类，然后每一类再分步完成即解答本题可“先分类，后分步”【自主解答】第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×24种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法根据分类加法计数原理，共有42118种选派方法1能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；(2)完成每一步有若干种方法；(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数2利用分步乘法计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉(3)若完成某件事情需n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成再练一题3一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？【解】(1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法根据分类加法计数原理，共有101222种取法(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法根据分步乘法计数原理，共有10×12120种取法构建·体系1现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A7B12C64D81【解析】先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×312(种)不同配法故选B.【答案】B2从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为()A1113 B3429C3×4×224 D以上都不对【解析】分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法所以，共有3429种不同的走法【答案】B3从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是_，其中真分数的个数是_. 【导学号：97270001】【解析】产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×420个分数产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3,5,7时，真分数的个数分别是3,2,1，共有432110个真分数【答案】20104十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有_条【解析】经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×312条【答案】125某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？【解】(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8614(种)坐法(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8614(个)凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13182(种)坐法我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1如图111所示为一个电路图，从左到右可通电的线路共有()图111A6条B5条C9条D4条【解析】从左到右通电线路可分为两类：从上面有3条；从下面有2条由分类加法计数原理知，从左到右通电的线路共有325条【答案】B2有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有()A96种 B24种 C120种 D12种【解析】先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×196种【答案】A3将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有()A53种 B35种C8种 D15种【解析】每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×335种投法【答案】B4如果x，yN，且1x3，xy<7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是()A15 B12C5 D4【解析】利用分类加法计数原理当x1时，y0,1,2,3,4,5，有6个；当x2时，y0,1,2,3,4，有5个；当x3时，y0,1,2,3，有4个据分类加法计数原理可得，共有65415个【答案】A5从集合1,2,3,4,5中任取2个不同的数，作为方程AxBy0的系数A，B的值，则形成的不同直线有() 【导学号：97270002】A18条 B20条C25条 D10条【解析】第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A1，B2时与A2，B4时是相同的方程；当A2，B1时与A4，B2时是相同的方程，故共有5×4218条【答案】A二、填空题6椭圆1的焦点在y轴上，且m1,2,3,4,5，n1,2,3,4,5,6,7，则满足题意的椭圆的个数为_【解析】因为焦点在y轴上，所以0<m<n，考虑m依次取1,2,3,4,5时，符合条件的n值分别有6,5,4,3,2个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6543220个【答案】207某班2016年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为_【解析】将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×742(种)【答案】428如图112，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为_图112【解析】依题意，首先找出B到A的路线，一共有4条，分别是BCDA，信息量最大为3；BEDA，信息量最大为4；BFGA，信息量最大为6；BHGA，信息量最大为6.由分类加法计数原理，单位时间内传递的最大信息量为346619.【答案】19三、解答题9有不同的红球8个，不同的白球7个(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？【解】(1)由分类加法计数原理，从中任取一个球共有8715(种)(2)由分步乘法计数原理，从中任取两个不同颜色的球共有8×756(种)10某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？【解】从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理有2879347种不同的选法(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理有28×7×9×35 292种不同的选法能力提升1.图113一植物园参观路径如图113所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有()A6种B8种C36种 D48种【解析】由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种走法，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种走法，参观完第二个区域后，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×248种不同的参观路线【答案】D2某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择(数字可以重复)某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有() 【导学号：97270003】A180种 B360种C720种 D960种【解析】分五步完成，第i步取第i个号码(i1,2,3,4,5)由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4960种【答案】D3直线方程AxBy0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示_条不同的直线【解析】若A或B中有一个为零时，有2条；当AB0时有5×420条，故共有20222条不同的直线【答案】224已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的点(a，bM)，(1)P可以表示平面上的多少个不同点？(2)P可以表示平面上的多少个第二象限的点？(3)P可以表示多少个不在直线yx上的点？【解】(1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的6×636(个)不同点(2)根据条件需满足a<0，b>0.完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的3×26(个)第二象限的点(3)因为点P不在直线yx上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，P可以表示6×530(个)不在直线yx上的点
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