人教版 高中数学 第二章 随机变量及其分布本章小结选修23

2019 人教版精品教学资料高中选修数学 高中数学 第二章 随机变量及其分布本章小结 新人教 A 版选修 2-3 知识点一 条件概率 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础， 计算条件概率时， 必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率 一般地， 计算条件概率常有两种方法： (1)P(B|A)P（AB）P（A）； (2)P(B|A)n（AB）n（A）.在古典概型下，n(AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n(A)是指事件A发生的基本事件个数 例 1 有 20 件产品，其中 5 件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽 2 件，求： (1)第一次抽到次品的概率； (2)第一次和第二次都抽到次品的概率； (3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率 解析：设第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B. (1)第一次抽到次品的概率P(A)52014. (2)P(AB)P(A)P(B)119. (3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A)11914419. 知识点二 求相互独立事件的概率 1相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解 2特别注意以下两公式的使用前提： (1)若A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)，反之不成立 (2)若A，B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)，反之成立 设对某目标进行三次相互独立的射击，各次的命中率分别为 0.2、0.6、0.3，试求： (1)在三次射击中恰有一次命中的概率； (2)在三次射击中至少有一次命中的概率 解析：设“第i次射击命中目标”为事件Ai(i1，2，3)，由题意A1、A2、A3相互独立 (1)恰有一次命中的概率为PP(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3) P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3)0.2(10.6)(10.3)(10.2)0.6(10.3)(10.2)(10.6)0.30.488. (2)至少有一次命中的概率为 P1P(A1 A2 A3)1(10.2)(10.6)(10.3)0.776. 知识点三 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数， 它们反映了随机变量取值的平均值及其稳定性，期望与方差在实际优化问题中有大量的应用，关键要将实际问题数学化，然后求出它们的概率分布列，同时，要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的期望、方差公式以及期望与方差的线性性质，如E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X) 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量、，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于 6 环，且甲射中的 10，9，8，7 环的概率分别为 0.5、3a、a、0.1，乙射中 10，9，8 环的概率分别为 0.3，0.3，0.2. (1)求、的分布列； (2)求、的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术 解析：(1)依题意，0.53aa0.11 解得a0.1. 因为乙射中 10，9，8 环的概率分别为 0.3，0.3，0.2，所以乙射中 7 环的概率为 1(0.30.30.2)0.2. 所以、的分布列分别为： 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)可得 E()100.590.380.170.19.2(环)； E()100.390.380.270.28.7(环)； D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96； D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21. 由于E()E()，说明甲平均射中的环数比乙高； 又因为D()D()，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定所以，甲比乙的技术好 知识点四 正态分布 对于正态分布问题， 课标要求不是很高， 只要求了解正态分布中最基础的知识， 主要是： (1)掌握正态分布曲线函数关系式； (2)理解正态分布曲线的性质； (3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率 某地数学考试的成绩X服从正态分布， 某密度函数曲线如下图所示， 成绩X位于区间(52，68的概率为多少？ 解析：设成绩XN(，2)， 则正态分布的密度函数，(x)12e， 由图可知，60，8.P(52X68)P(|X60|8)P(|X|)0.682 6. 一、选择题 1(2013广东卷)已知离散型随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 35 310 110 则X的数学期望E(X)(A) A.32 B2 C.52 D3 解析：E(X)13523103110151032，故选 A. 2(2013景德镇高二期末)已知某离散型随机变量X服从的分布列如下： X 0 1 P m 2m 则随机变量X的方差D(X)等于(B) A.19 B.29 C.13 D.23 解析：由m2m1 得，m13，E(X)01312323，D(X)02321312322329，故选 B. 3若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是10，12，则该随机变量的方差等于(C) A10 B100 C.2 D.2 解析：由正态分布密度曲线上的最高点10，12知1212，D(X)22. 4(2014兰州一诊)随机变量X的分布列为： X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 则E(5X4)等于(A) A15 B11 C2.2 D2.3 解析：E(X)10.420.340.32.2，E(5X4)5E(X)411415. 能力提升 5甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率是(A) A.34 B.23 C.45 D.710 6已知一次考试共有 60 名同学参加，考生成绩XN(110，52)，据此估计，大约有 57 人的分数所在的区间为(C) A(90，100 B(95，125 C(100，120 D(105，115 解析：因为XN(110，52)，所以110，5.57600.95P(2X2)P(100X120)，所以X(100，120故选 C. 7把 10 个骰子全部投出，设出现 6 点的骰子的个数为X，则P(X2)(D) AC210162568 BC110165695610 CC11016569C210126568 D以上都不对 解析：P(X2)P(X0)P(X1)P(X2)C0101605610C11016569C210162568.故选 D. 8(2014成都调研)已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c3，2，1，0，1，2，3，在这些抛物线中，记随机变量X为“|ab|的取值”，则X的数学期望E(X)为(A) A.89 B.35 C.25 D.13 解析：对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有 2C13C13C17126(条)，X的可能取值有 0，1，2.P(X0)6712613，P(X1)8712649，P(X2)4712629，故E(X)01314922989. 9将一颗骰子连掷 100 次，则点 6 出现次数X的均值E(X)_ 解析：这是 100 次独立重复试验，XB100，16，E(X)10016503. 答案：503 10某射手射击所得环数的分布列如下： 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知的期望E()8.9，则y的值为_ 解析：由分布列可得x0.6y且 7x0.82.710y8.9，解得y0.4. 答案：0.4 11将一个大正方形平均分成 9 个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为A，投中最上面 3 个小正方形或正中间的 1 个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)_ 解析：根据几何概型，得P(AB)19，P(B)49，所以P(A|B)P（AB）P（B）14. 答案：14 12(2014浙江卷)随机变量的取值为 0，1，2.若P(0)15，E()1，则D()_ 解析：设P(1)x，P(2)y， 则xy45，x2y1x35，y15， 所以D()(01)215(11)235(21)21525. 答案：25 13 (2013广东珠海高二下学期期末)在一次购物抽奖活动中， 假设某 6 张券中有一等奖券1 张， 可获价值 50 元的奖品； 有二等奖券 1 张， 每张可获价值 20 元的奖品； 其余 4 张没有奖 某顾客从此 6 张中任抽 1 张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客参加此活动可能获得的奖品价值的期望值 解析：(1)P2613，即该顾客中奖的概率为13. (2)X的所有可能值为：0，20，50(元)， 且P(X0)C14C164623，P(X20)C11C1616，P(X50)C11C1616， 故X的分布列为： X 0 20 50 P 23 16 16 E(X)02320165016706353. 所以该顾客参加此活动可能获得奖品价值的期望值是353元 14 坛子里放着 5 个相同大小、 相同形状的咸鸭蛋， 其中有 3 个是绿皮的， 2 个是白皮的 如果不放回地依次拿出 2 个鸭蛋，求： (1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)第 1 次和第 2 次都拿到绿皮鸭蛋的概率； (3)在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率 解析：设第 1 次拿出绿皮鸭蛋为事件A，第 2 次拿出绿皮鸭蛋为事件B，则第 1 次和第 2 次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB. (1)从 5 个鸭蛋中不放回地依次拿出 2 个的基本事件数为()A2520. 又(A)A13A1412. 于是P(A)（A）（）122035. (2)因为(AB)A236， 所以P(AB)（AB）（）620310. (3)解法一：由(1)(2)可得，在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)P（AB）P（A）3103512. 解法二：因为(AB)6，(A)12， 所以P(B|A)（AB）（A）61212. 15(2014甘肃省三诊)甲、乙、丙、丁 4 名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学 (1)求甲、乙两人都被分到A社区的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率； (3)设随机变量为四名同学中到A社区的人数，求的分布列和E()的值 解析：(1)记甲、乙两人同时到A社区为事件M，那么P(M)A22C24A33118， 即甲、乙两人同时到A社区的概率是118. (2)记甲、乙两人在同一社区为事件E，那么 P(E)A33C24A3316， 所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是 P(E)1P(E)56. (3)随机变量可能取的值为 1，2.事件“i(i1，2)”是指有i个同学到A社区，则p(2)C24A22C24A3313. 所以p(1)1p(2)23， 的分布列是： 1 2 p 23 13 E()12321343. 16(2014陕西卷)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： 作物产量(kg) 300 500 概 率 0.5 0.5 作物市场价格(元/kg) 6 10 概 率 0.4 0.6 (1)设X表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求X的分布列； (2)若在这块地上连续3季种植此作物， 求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率 解析：(1)设A表示事件“作物产量为 300 kg”，B表示事件“作物市场价格为 6 元/kg”， 由题设知P(A)0.5，P(B)0.4， 利润产量 市场价格成本， X所有可能的取值为 5001010004000，500610002000， 3001010002000，30061000800. P(X4000)P(A)P(B)(10.5)(10.4)0.3， P(X2000)P(A)P(B)P(A)P(B)(10.5)0.40.5(10.4)0.5， P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2， 所以X的分布列为： X 4000 2000 800 P 0.3 0.5 0.2 (2)设Ci表示事件“第i季利润不少于 2000 元”(i1，2，3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)P(X4000)P(X2000)0.30.50.8(i1，2，3)，3 季的利润均不少于 2000 元的概率为 P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512； 3 季中有 2 季利润不少于 2000 元的概率为 P(C1C2C3)P(C1C2C3)P(C1C2C3)30.820.20.384，所以，这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为 0.5120.3840.896.