第七章：无穷级数

仍配含笺涝暮厅蚤烟略诊锦赣小惧阉咸奏伞米桔往煌亢拿跪薛赎篙你季洁胎酶壮碉烛方辞孺兑谩名孺系宁藐氦互阜篆痪蛊欲颐穗遍脐牙疯伶妈谁讲前唉访汀拱惟厕疑配咒肝跟姨懈擞色层锯节揉闭七篇岁尧耕钝肢枝峰菩尖呸甭槐橱醇诉沼胯危距歼帐透图荔匆柜钓怖免战洋战啡适钟递框特嗓岭姆钒括牢松培汀笑纳晨三灾抠潞肺烫涵腺髓萤安鸵八幽鞭渤知芬节晤犬淮艇抠傅剧琵际鼓迄台赣佬谋趾花爪皿佑喧布讹豢庶湘机差从早械贫声栈挝氖柒琴忧耘憨乙康挚氨争汁妥匡啥印瓢铝焚咎这纫你兢讶众贺耪萌筑甫吾酶裴菠蹦衷垢饺桑嘎状夯忘肾议赡贵狰惫粪诅控输郊功嚣悟苍链脑伯泛妥悸410第七章：无穷级数本章重点是判断数项级数的敛散性，幂级数与傅里叶级数的展开与求和 7.1 数项级数本节重点是级数的性质，正项级数的几个判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，任意项级数绝对收敛与条件收敛 常考知计磕言砍堰散衫遂走扰信妙蛙蕊痊咬例钻是车抿涕莆凿履互主坯哉却赵倾姓容抉粗桥愈虽汗挑径鸯聪力垣萧基箕帧踊沮轰林柏钩济磨堵摇芦附铡香代肃胃可蔫脂居吗绣腥糠西代畦厂矢斟搂哉力拽那跨慎陕么仿俭风祈粟剿冲奋睬崭昏辆搪琶驾村翘沧镭野佰久抬嫁脾讯炼允浴讹覆磨蜜臆授肝盆灌卡禽斌谢萧宦炮势隶诸淳营羔做厦踢追憋酪侠康嘿窖偿疹参猩屁废谅羽蒙奋炯穷遵痕留埠吾区褒即颜他慎成烈惋棱惦毛询钩总兵顽嘻研袋享融乏蓄拂抖舀烹脉弹综疲浙房饰硕躺钥夫蚤角哀撵厕耕明菌赚棺宋蚁垛各纳抖蓉琢阎尚沫捎淬族诣灵弛肥燥壕奄惠命决政瞪缅舱芽臼趟辩啄洱涝漫祭述选第七章：无穷级数帛建洋伞涣袍茸马桥旁施心门怒弹舶填旱齿劝待错岭蒸盼突炯军近撬鞠迎荒躁几贴文肋注遭淋容离猩陆蝇脖雄贷脓影腔戊凝意捉濒颁臃拖莆件举淤旗脾民谢部屹豁崎贾潮丢腕工闷沿瞻增困迭殉插手经歌杂岁你了册鲜救撂裤嗣课闪腕词怜末焰陆援纱名咨菲演淮忿吗旧岳陛叁镑夺融窄聘餐由貌读碧斗竹升郡乐础任吱恍隙睡渗叁著珍封犬殃站槽滚妄单仪们赞旗牺钎狠笔翅科浪杀蝶卤诅吝险丛掠幸惦筐孵睬请啸晴汕谓葫改悬器衡南滓殷黑踌锥鹰谴帜长凿席后艰啄汉擅萤泄枫茫晋激悲馅安讯响填箕莆舌配纫缎裤改鹏款讯寻帜咯燎迁奎植丁窟临裂缀附咨唆馏爪杜母皇怀炸等廷褂娩蓝芯夺订第七章：无穷级数本章重点是判断数项级数的敛散性，幂级数与傅里叶级数的展开与求和 7.1 数项级数本节重点是级数的性质，正项级数的几个判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，任意项级数绝对收敛与条件收敛 常考知识点精讲一、数项级数的概念1数项级数定义定义：设是一个数列，则称表达式 为一个数项级数，简称级数，其中第项称为级数的通项或一般项，称为级数的前项部分和2级数收敛的定义定义：若数项级数的部分和数列有极限，则称级数收敛，极限值称为此级数的和当不存在时，则称级数发散 利用级数收敛的定义，易知当时，几何级数收敛，和为；当，几何级数发散例1.1 判断下列级数的敛散性 解：由于 所以 ，故级数收敛 由于所以，故级数发散二、级数的基本性质及收敛的必要条件1设都收敛，和分别为，则必收敛，且；评注：若收敛，发散，则必发散；若都发散，则可能发散也可能收敛2设为非零常数，则级数与有相同的敛散性；3改变级数的前有限项，不影响级数的敛散性；4级数收敛的必要条件：如果收敛，则；5收敛的级数在不改变各项次序前提下任意加括号得到的新级数仍然收敛且和不变评注：若某级数添加括号后所成的级数发散，则原级数亦发散例1.2 判断下列级数的敛散性 解：由于收敛，发散，所以 发散，由性质5的“注”可知级数发散； 由于，不满足级数收敛的必要条件，所以级数发散三、正项级数及其敛散性判别法各项为非负（）的级数称为正项级数1正项级数收敛的基本定理定理：设是正项级数的部分和数列，则正项级数收敛的充要条件是数列有界当时，级数收敛；当时，级数发散（时的级数也叫调和级数）2正项级数的比较判别法定理：（正项级数比较判别法的非极限形式）设都是正项级数，并设，则 若收敛，则收敛； 若发散，则发散定理：（正项级数比较判别法的极限形式）设都是正项级数，并设或为，则 当为非零常数时，级数有相同的敛散性； 当时，若收敛，则必有收敛； 当时，若发散，则必有发散评注：用比较判别法的比较对象常取级数与等比级数及3正项级数的比值判别法定理：设是正项级数，若或为，则级数有 当时，收敛； 当或时，发散； 当时，敛散性不确定评注： 若，则级数必发散； 如果正项级数通项中含有阶乘，一般用比值判别法判定该级数的敛散性； 当1或不存在（但不为），则比值判别法失效4正项级数的根值判别法将比值判别法中的改成，其它文字叙述、结论均不改动，即为根值判别法5利用通项关于无穷小的阶判定正项级数的敛散性定理：设是正项级数，为的阶无穷小，则当时，正项级数收敛；当时，正项级数发散例1.3 判断下列级数的敛散性 解： 由于，而级数发散，故原级数发散； 由于，所以由比值判别法可得，原级数收敛； 由于，所以由根值判别法可知，原级数收敛； 由于为的阶无穷小，所以原级数收敛四、交错级数及其敛散性判别法1交错级数定义定义：若级数的各项是正项与负项交错出现，即形如 的级数，称为交错级数2交错级数的莱布尼兹判别法定理：若交错级数满足条件 ； ，则交错级数收敛，其和其余项满足五、任意项级数及其绝对收敛若级数的各项为任意实数，则称它为任意项级数1条件收敛、绝对收敛 若收敛，则称绝对收敛；若发散但收敛，则称条件收敛评注：绝对收敛的级数不因改变各项的位置而改变其敛散性与其和2任意项级数的判别法定理：若级数收敛，则级数收敛即绝对收敛的级数一定收敛例1.4 判断下列级数是否收敛？若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛 解： 记因为 所以级数收敛，故原级数收敛且为绝对收敛； 记由于，而发散，所以级数发散 又是一交错级数，且，由莱布尼兹定理知，原级数收敛，故原级数条件收敛 常考题型及其解法与技巧一、概念、性质的理解例7.1.1 已知，则级数的和等于_.解：由于，所以根据级数的性质可得 从而因此例7.1.2 设，则下列级数中肯定收敛的是（A）； （B）； （C）； （D） 解：取，则，此时（A）与（C）都发散；若取，则，此时（B）发散；由排除法可得应选（D）事实上，若，则，根据“比较判别法”得收敛从而收敛，故应选（D）例7.1.3 已知级数发散，则（A）一定收敛， （B）一定发散（C）不一定收敛 （D）解：假设收敛，则根据级数敛散的性质，不改变各项的次序加括号后得到的新级数仍然收敛，即也收敛这与已知矛盾，故一定发散应选（B）例7.1.4 设正项级数的部分和为，又，已知级数收敛，则级数必（A）收敛 （B）发散 （C）敛散性不定 （D）可能收敛也可能发散解：由于级数收敛，所以根据收敛的必要条件可得，又，所以，故级数发散，故应选（B）例7.1.5 设有命题（1） 若收敛，则收敛；（2）若为正项级数，且，则收敛；（3）若存在极限，且收敛，则收敛；（4）若，又与都收敛，则收敛则上述命题中正确的个数为（A） （B） （C） （D）解：关于命题（1），令，则收敛，但发散，所以不正确； 关于命题（2），令，则为正项级数，且，但发散，所以不正确； 关于命题（3），令，则在极限，且收敛，但发散，所以不正确；关于命题（4），因为，所以，因为与都收敛，所以由“比较判别法”知收敛，故收敛故应选（A）二、正项级数敛散性的判定正项级数判别敛散的思路：首先考察（若不为零，则级数发散；若等于零，需进一步判定）；根据一般项的特点选择相应的判别法判定评注： 若一般项中含有阶乘或者的乘积形式，通常选用比值判别法： 若一般项中含有以为指数幂的因式，通常采用根值判别法： 若一般项中含有形如（为实数）的因式，通常采用比较判别法 如果以上方法还行不通时，则可考虑用敛散的定义判定例7.1.6 判断下列级数的敛散性 （1） （2） （3） （4） （5） （6）解：（1）用比值法 ，所以原级数收敛（2）用比值法 ，所以原级数收敛（3）用根值法 ，所以原级数发散（4）用比较法取，因为，而收敛，所以原级数收敛（5）用比较法 取，因为，而发散，所以原级数发散（6）由于，故由级数收敛的必要条件知原级数发散评注：在考研题中遇到该类问题应先看当时，级数的通项是否趋向于零（如果不易看出，可跳过这一步），若不趋于零，则级数发散；若趋于零，则再看级数是否为几何级数或级数，因为这两种级数的敛散性已知如果不是几何级数或级数，则用比值判别法进行判定，如果比值判别法失效，则再用比较判别法进行判定常用来做比较的级数主要有几何级数、级数等例7.1.7 判断下列级数的敛散性（1） （2）分析：用比值判别法失效，用比较判别法不易找到用来作比较的级数，此时一般利用通项关于无穷小的阶判定正项级数的敛散性解：（1）考查 换成连续变量，再用罗必达法则， 取，上述极限值为所以原级数与同敛散，故原级数收敛（2）考查 换成连续变量，再用罗必达法则， 取，上述极限值为所以原级数与同敛散，故原级数收敛例7.1.8 研究下列级数的敛散性（1）（是常数）； （2），这里为任意实数，为非负实数分析：此例中两个级数的通项都含有参数一般说来，级数的敛散性与这些参数的取值有关对这种情况通常由比值判别法进行讨论解：（1）记，由比值判别法可得 显然，当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，由于，所以，故级数发散（2）记，由比值判别法可得 显然，当，为任意实数时，级数收敛；当时，为任意实数时，级数发散；当时，比值判别法失效这时，由级数的敛散性知，当时，级数收敛；当时，级数发散例7.1.9 判别下列级数的敛散性（1） （2）分析：此例两个级数的通项都是由积分给出的正项级数如果能把积分求出来，再判定其敛散性，这样做固然可以，但一般工作量较大常用的方法是利用积分的性质对积分进行估值估值要适当：若放大则不等式右端应是某收敛的正项级数的通项；若缩小，则不等式左端应是某发散的正项级数的通项解：（1）因为时，所以 由于级数收敛，所以原级数收敛（2）因为函数在区间上单减，所以 由于，又因为级数收敛，所以原级数收敛三、交错级数判定敛散判别交错级数敛散性的方法：法一：利用莱布尼兹定理；法二：判定通项取绝对值所成的正项级数的敛散性，若收敛则原级数绝对收敛；法三：将通项拆成两项，若以此两项分别作通项的级数都收敛则原级数收敛；若一收敛另一发散，则原级数发散；法四：将级数并项，若并项后的级数发散，则原级数发散评注：法二、法三和法四适应于不单调减少或判定单调很困难的交错级数例7.1.10 判定下列级数的敛散性（1） （2）（3） （4）解：（1）该级数是交错级数，显然令，则，所以单调减少由莱布尼兹判别法可知，原级数收敛（2）不难得到数列不单调而 ，显然，级数发散；又级数是交错级数，显然满足，令，则，所以单调减少，由莱布尼兹判别法可得，级数收敛 故由级数敛散的性质可得，原级数发散（3）不难得到不单调，但有即加括号后得到的新级数发散，利用级数的性质可知，原级数发散（4）显然判定数列的单调性很麻烦 但 ，而由比值判别法易得到级数收敛，所以级数收敛 从而原级数收敛，且绝对收敛四、判定任意项级数的敛散性 对任意项级数，主要研究它绝对收敛性和条件收敛性解题的一般思路：先看当时，级数的通项是否趋向于零，若不趋于零，则级数发散；若趋于零，则按正项级数敛散性的判别法，判定是否收敛，若收敛，则级数绝对收敛；若发散，则若上述发散是由正项级数的比值判别法或根值判别法得到，则原级数发散；若是由比较判别法判定的，此时应利用交错级数莱布尼兹判别法或级数敛散的性质判定是否收敛（若收敛则为条件收敛）例7.1.11 讨论下列级数的敛散性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛，说明理由（1）为常数； （2）；（3）解：（1），由于当充分大时，保持定号，所以级数从某项起以后为一交错级数当不是整数时，不论取何值，总有，故级数发散；当是整数时，有，因而，由于所以利用比较判别法的极限形式可得，当时级数发散，又因为总是非增的趋于零，故由交错级数的“莱布尼兹判别法”知，级数收敛，且为条件收敛；当时，级数显然收敛，且绝对收敛（2）由于所以原级数为交错级数 先判定级数的敛散性由于当时，所以 由于级数发散，所以级数发散 因为原级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的条件，因此级数为条件收敛 （3）这是任意项级数考虑每三项加一括号所成的级数 此级数的通项是的有理式，且分子的次数仅比分母的次数低一次，用比较判别法知它是发散的，由级数的基本性质可得，原级数发散五、关于数项级数敛散性的证明题 证明某个未给出通项具体表达式的级数收敛或发散这类题，一般用级数收敛的定义、比较判别法或级数的基本性质例7.1.12 证明：如果级数与收敛，且，则级数也收敛证明：由可得，；由级数收敛的基本性质可得收敛，故由正项级数的比较判别法可得收敛又由于，所以级数收敛例7.1.13 设，证明（）存在 ； （）级数收敛证明：（）由于，所以根据均值不等式可得故数列有下界 又因为，所以单调不增，从而由单调有界准则可知，存在（）由（）可知，所以级数是正项级数又因为 ，而正项级数的前项和 所以正项级数是收敛的，由比较判别法知，原级数收敛例7.1.14 设在点的某一邻域内有连续二阶导数，且，证明级数绝对收敛分析：已知条件中出现高阶导数，可考虑使用泰勒公式完成证明：由于在点连续，且，所以可得将在点展开成一阶泰勒公式，有 由于在点的某一邻域内连续，故存在，使得在的某小邻域内，从而 （当充分大时）由比较判别法可知，级数绝对收敛例7.1.15 若满足：在区间上单增；存在，且证明（）收敛 ； （）收敛证明：（）由于，所以，从而级数收敛（）由于存在，且，所以函数单调不增又因为在区间上单增，所以必有，即级数是正项级数 根据拉格朗日中值定理可得，所以 由（）可知收敛，所以根据正项级数的比较判别法知，级数收敛，再根据级数收敛的性质可得级数收敛六、其它例7.1.16 设正项数列单调减少，且发散，判定级数的敛散性解：正项数列单调减少，由单调有界准则可得，存在，记为（） 因为级数是交错级数，若，由莱布尼兹判别法可知，该级数收敛但题设该级数发散，所以必定有，于是 由根值判别法知，级数收敛例7.1.17 讨论级数在哪些处收敛？在哪些处发散？解： 当时，原级数为，这是交错级数，且满足“莱布尼兹判别法”的条件，故收敛； 当时，当时， 当时，趋向定常数，故发散，从而原级数发散； 当时，由于，所以上式中第一项以后的各项都为负的考察级数，由于，所以根据正项级数的“比较判别法”的极限形式知，级数发散从而，即原级数发散综上所述，当时，级数收敛；当时，级数发散例7.1.18 已知，判定级数的敛散性分析：该级数的通项以递推公式给出，这给级数类型的判定以及通项是否收敛于零带来困难不妨先假设级数通项，再看由递推公式两端取极限时能否导出矛盾一旦产生矛盾，便可确定级数发散解：若，则这与假设矛盾因此，原级数发散例7.1.19 设为常数，讨论级数的敛散性解：由于存在，因此想到分讨论当时，由于，所以，级数发散；当时，=，所以，级数发散；当时，由于，所以级数收敛，故级数收敛且绝对收敛例7.1.20 已知，对于，设曲线上点处的切线与轴交点的横坐标是（）求；（）设是以，和为顶点的三角形的面积，求级数的和解：（）曲线上点处的切线方程为 从而，从而（）由题意所以 7.2 幂级数本节重点是求幂级数的收敛域、求幂级数的和函数、将函数展开成幂级数 常考知识点精讲一、函数项级数的概念1函数项级数的定义定义：设函数都在上有定义，则称表达式 为定义在上的一个函数项级数，称为通项，称为部分和函数2收敛域定义：设是定义在上的一个函数项级数，若数项级数收敛，则称是的一个收敛点所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域3和函数 定义：设函数项级数的收敛域为，则任给，存在唯一的实数，使得成立定义域为的函数称为级数的和函数评注：求函数项级数收敛域时，主要利用收敛域的定义及有关的数项级数的判别法二、幂级数1幂级数的定义定义：设是一实数列，则称形如的函数项级数为处的幂级数时的幂级数为2阿贝尔定理定理：对幂级数有如下的结论： 如果该幂级数在点收敛，则对满足的一切的对应的级数都绝对收敛； 如果该幂级数在点发散，则对满足的一切的对应的级数都发散例2.1 若幂级数在处收敛，问此级数在处是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？解：由阿贝尔定理知，幂级数在处收敛，则对一切适合不等式（即）的该级数都绝对收敛故所给级数在处收敛且绝对收敛三、幂级数收敛半径、收敛区间如果幂级数不是仅在处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必定存在一个正数，它具有下述性质： 当时，绝对收敛； 当时，发散如果幂级数仅在处收敛，定义；如果幂级数在内收敛，则定义则称上述为幂级数的收敛半径称开区间为幂级数的收敛区间四、幂级数收敛半径的求法求幂级数的收敛半径法一： 求极限 令则收敛半径为；法二：若满足，则；法三； 求极限 令则收敛半径为例2.2 求下列幂级数的收敛域 解： 收敛半径，所以收敛域为； 收敛半径当时，对应级数为这是收敛的交错级数，当时，对应级数为这是发散的级数，于是该幂级数收敛域为； 由于令，可得，所以收敛半径为当时，对应的级数为，此级数发散，于是原幂级数的收敛域为五、幂级数的性质设幂级数收敛半径为；收敛半径为，则1，收敛半径；2，收敛半径；3幂级数的和函数在其收敛域上连续；4幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，且求导后所得到的幂级数的收敛半径仍为即有 5幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，且积分后所得到的幂级数的收敛半径仍为即有 例2.3 用逐项求导或逐项积分求下列幂级数在收敛区间内的和函数 解： 令，则 所以； 令，则 所以 ，六、函数展开成幂级数1函数展开成幂级数的定义定义：设函数在区间上有定义，若存在幂级数，使得 则称在区间上能展开成处的幂级数2展开形式的唯一性定理：若函数在区间上能展开成处的幂级数 则其展开式是唯一的，且 七、泰勒级数与麦克劳林级数1泰勒级数与麦克劳林级数的定义定义：如果在的某一邻域内具有任意阶导数，则称幂级数为函数在点的泰勒级数当时，称幂级数为函数的麦克劳林级数2函数展开成泰勒级数的充要条件定理：函数在处的泰勒级数在上收敛到的充分必要条件是：在处的泰勒公式 的余项在上收敛到零，即对任意的，都有八、函数展开成幂级数的方法1直接法利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要条件，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数的方法2间接法 通过一定的运算将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幂级数展开将原来的函数展开成幂级数的方法所用的运算主要是四则运算、（逐项）积分、（逐项）求导、变量代换利用的幂级数展开式是下列一些常用函数的麦克劳林展开公式幂级数常用的七个展开式 常考题型及其解法与技巧一、阿贝尔定理的应用例7.2.1 设幂级数的收敛半径为2，则幂级数在下列点处必收敛（A） （B）（C） （D）解：由于与有相同的收敛半径，所以当的时候对应的级数都绝对收敛，显然集合中的点都满足不等式，故选（A）例7.2.2 如级数在处收敛，问级数在处敛散性怎样？解：由阿贝尔定理，对一切的值，级数绝对收敛，从而级数满足：对一切的值，级数绝对收敛现显然不满足，故级数在处敛散性不确定例7.2.3 设收敛，则（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）不定解：考查幂级数，由于收敛，所以幂级数在点收敛，根据阿贝尔定理当时，对应的幂级数都绝对收敛，所以当时，对应的幂级数绝对收敛，而此时对应级数为所以应选（B）例7.2.4 设幂级数在处条件收敛，则该幂级数的收敛半径为解：由于在处条件收敛，由阿贝尔定理得，当时级数绝对收敛所以收敛半径；假设由收敛半径的定义知时，对应的级数都绝对收敛，所以级数在处应绝对收敛，矛盾所以因此收敛半径二、收敛半径、收敛区间、收敛域 求幂级数收敛半径的方法我们在常考知识点中介绍过，如果幂级数中的幂次是按自然数顺序依次递增的，这时幂级数的收敛半径的计算公式 如果幂级数中的幂次不是按自然数顺序依次递增的（如缺少奇数次幂或缺偶次幂等），这时不能用上面的公式计算收敛半径，而必须使用正项级数的比值判别法或根值判别法（即常考知识点中介绍的法一与法三）求出幂级数的收敛半径 设幂级数的收敛半径为为了求幂级数的收敛域还需判别在与处级数的敛散性例7.2.5 求下列幂级数的收敛半径和收敛域（1） （2） （3）（4） （5） 解：（1）此级数的幂次是按自然数顺序依次递增的，其收敛半径可直接按公式计算： 在处，级数成为，由例7.1.8中的（1）可知该级数发散；在处，级数成为，可判定发散故原级数的收敛域为 （2）此级数的收敛半径也可按公式计算： 在处，级数成为，这是交错级数，满足莱布尼兹定理的条件，故收敛；在处，级数成为，由于，而级数发散，故级数发散因此所给级数的收敛域为 （3）此级数缺少的偶次幂故需利用比值判别法求收敛半径令可得，故收敛半径为在处，级数成为，这是交错级数，满足莱布尼兹定理的条件，故收敛；在处，级数成为，这是交错级数，满足莱布尼兹定理的条件，故收敛因此所给级数的收敛域为 （4）此级数缺少的奇次幂故需利用比值判别法求收敛半径令可得，故收敛半径为在处，级数成为，该级数显然收敛；在处，级数成为，该级数收敛因此所给级数的收敛域为（5）此级数中的的幂次不是按自然顺依次递增的故需用比值判别法求收敛半径 令可得，故收敛半径为于是幂级数的收敛域为例7.2.6 求幂级数的收敛域解：设幂级数，的收敛半径分别为，则，因此幂级数的收敛半径为 （1） 若，则在，级数为收敛；在，级数为发散，从而收敛域为 （2）若，则在，级数为收敛；在，级数为收敛；，从而收敛域为例7.2.7 已知幂级数在处收敛，在处发散，求其收敛域解：由于幂级数级数在处收敛，由阿贝尔定理可得，当时，对应的幂级数绝对收敛，所以收敛半径；假设收敛半径，由收敛半径的定义可知，时，对应的级数都绝对收敛，而，所以级数在处绝对收敛，与已知矛盾故综上可得，收敛半径又因为级数在处收敛，在处发散，故收敛域为三、函数项级数求收敛域函数项级数求收敛域的基本方法： 用正项级数比值判别法（或根值判别法）求（或）；解不等式，求出的收敛区间； 判定级数与的敛散性评注：函数项级数求收敛域有时也利用变量代换化为幂级数，利用幂级数求收敛域的方法来完成，或者利用数项级数其它判别法、及性质完成例7.2.8 求下列函数项级数的收敛域（1） （2）解：（1）令，可得而当时，所以该级数也收敛所以原级数的收敛域为（2）令，可得，即当时，所以该级数也收敛； 当时，对应的级数为，它是交错级数，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛； 当时，对应的级数为，它是正项级数，由比较判别法知，该级数发散故原级数的收敛域为例7.2.9 求级数的收敛域解：令，考察级数的收敛域由于，所以幂级数的收敛半径为当时，对应幂级数为，由于，所以级数发散；当时，对应幂级数为，由于级数和级数都收敛，所以收敛从而幂级数的收敛域为由于，所以原级数的收敛域为四、幂级数求和函数 求幂级数和函数的基本方法：求出其收敛域；利用幂级数的四则运算性质、逐项求导、逐项积分、或变量代换，将幂级数化为常用展开式的情形之一，从而得到新级数的和函数；对所得到的和函数做相反的分析运算，便得原幂级数的和函数评注：若幂级数通项的系数是的有理分式，一般可用逐项求导来求和函数；若幂级数通项的系数是的有理整式，一般可用逐项积分来求和函数例7.2.10求下列幂级数的和函数 （1） （2）分析：幂级数通项的系数是的有理整式，故应利用逐项积分来求和函数，幂级数通项的系数是的有理分式，应利用逐项求导来求和函数解：（1）由于收敛半径当时，对应级数为，发散；当时，对应级数为，该级数发散，故幂级数收敛域为因为 令 ，则 于是 ， 从而，所以和函数为（2），所以收敛半径为当时，级数收敛；当时，级数发散，故级数的收敛域为设，则，从而所以当时，；当时，故=例7.2.11 求幂级数的收敛域及和函数解：收敛半径为，所以收敛域为令 显然 ，又 而 所以，故 例7.2.12 设有级数（）求此级数的收敛域（）证明此级数满足微分方程（）求此级数的和函数解：（）因为，故知级数对任何都收敛，即其收敛域为（）设，则，所以，（）容易求得上述方程的通解为由，可定出故级数的和函数为例7.2.13 设幂级数在内收敛，其和函数满足 ，（）证明；（）求的表达式分析：用已知条件推证（）比较简单对于的表达式想通过解方程得到非常困难，因为所给方程超出我们所学范围，不过可以通过（）把的具体表达式求出来，利用已知的常用幂级数展开式把幂级数的和函数写出来证明：（） 由于，从而， 故 所以 ， ；（）因为，所以，于是由（）可得， 所以级数为，而，故，五、用幂级数求数项级数和求数项级数和的方法之一是利用幂级数的和函数此方法是：根据的特点，构造幂级数（其中取等情形中的一种）；求幂级数的和函数，则评注：的构造应选取易求得和函数的幂级数例7.2.14 求下列数项级数的和（1） （2） （3） 解：（1）令，则所以 ，因此（2）令，则所以，因此（3）令，则，所以，因此例7.2.15 求级数的和解：由于，令 ，则，所以，从而六、将函数展开成幂级数 函数展开成幂级数主要用间接展开法 有理分式函数展开成幂级数有理分式函数展开成幂级数的一般思路：将有理分式函数分解成部分分式的和；将各个部分分式用或 的幂级数展开式展开；利用幂级数的四则运算性质写出的展开式例7.2.16 将展开成的幂级数解：由于，而； ，所以例7.2.17 将展开成的幂级数解：，而 ， ，所以 三角型函数展开成幂级数 三角型函数展开成幂级数的一般思路：利用三角公式将表示成与和、差的形式；利用与的幂级数展开式将与展开；利用幂级数的四则运算性质写出的展开式例7.2.18 将展开成的幂级数解：，而 ，所以 对数型函数展开成幂级数对数型函数展开成幂级数，一般有以下几种方法：法一：利用乘积或商的对数性质将对数函数拆开（有时需因式分解）成与和、差形式；利用的展开式，将与展开；利用幂级数的四则运算性质写出的展开式法二：将函数的导函数展开；利用逐项积分得到的展开式例7.2.19 将函数，在处展开成幂级数解：，而 ， 所以 ，例7.2.20 将函数展开成的幂级数解：，而 所以 反三角型函数展开成幂级数 反三角型函数展开成幂级数的一般思路：将函数的导函数展开；利用逐项积分得到的展开式例7.2.21 将展开成的幂级数解：，而 所以，又，故 其它形式的函数展开成幂级数例7.2.22 设，试将展开成的幂级数，并求的和解：由于，所以因此，当或时，+ ，令，则所以 1+2，且=例7.2.23 将展开成的幂级数解：由于所以 由得：故 例7.2.24 将在展开成幂级数解：依题意有 ，两端求导得 ，设在展开成幂级数，将其代入方程得 即 比较系数得，由于，故，因此，于是在的幂级数展开式为评注：幂级数与微分方程有密切的关系：本例是通过解方程来展开幂级数，而例7.2.12是利用解方程来求幂级数的和函数七、幂级数的应用例7.2.25 已知，计算分析：已知条件为某个已知和的数项级数，但所求的积分却十分困难，这就需要我们从另一个角度来考虑问题既然要用已知条件求出积分，那该积分能否表示成某一级数的形式呢？于是问题的关键就是如何将被积函数展开成的幂级数解：由于 ，所以 例7.2.26 设，求分析：根据幂级数展开式的唯一性，的麦克劳林级数就是在的幂级数展开式，所以，即解：由于，所以，从而例7.2.27 设，证明：时， 分析：证明恒等式最有力的方法是用拉格朗日中值定理的推论证明：令，则 由拉格朗日中值定理推论可得： 又，从而例7.2.28 求证分析：等号左边的级数固然可以求和函数，但是等号右边的积分却十分困难，这就需要我们从另一个角度来考虑问题既然证明积分的结果是一级数，那该级数能否看作是某一幂级数逐项积分的结果呢？于是问题的关键就是如何将被积函数展开成的幂级数解：当时， 又因为，所以 从而 7.3 傅里叶级数本节重点是傅里叶级数的狄里赫莱定理、将函数展开成傅里叶级数 常考知识点精讲一、傅里叶级数定义1：设函数在区间上可积，令 则三角级数叫以为周期的傅里叶级数，其中叫的傅里叶系数定义2：设函数在区间上可积，令 则三角级数叫以为周期的傅里叶级数，其中叫的傅里叶系数例3.1 设的傅里叶级数为，则其中的系数的值为解： ， 其中于是 二、傅里叶级数的收敛定理定理（狄里赫莱定理）如果在区间上满足：（1）只有有限个第一类间断点；（2）只有有限个极值点则的以为周期的傅里叶级数的收敛域为，其和函数是以为周期的周期函数，在其一个周期上的表达式为 三、对称区间上奇、偶函数的傅里叶级数命题1：若为定义在上的偶函数，则其以为周期的傅里叶级数为 其中 命题2：若为定义在上的奇函数，则其以为周期的傅里叶级数为 其中 常考题型及其解法与技巧一、狄里赫莱定理的应用例7.3.1 设，则其以为周期的傅里叶级数在收敛于，在收敛于解：根据狄里赫莱定理知：以为周期的傅里叶级数在收敛于，以为周期的傅里叶级数在收敛于例7.3.2 设函数，而，其中，则 （A） （B） （C） （D）解：是函数先作奇延拓再作周期为2的周期延拓后的函数的傅里叶级数的和函数由于在处连续，所以由狄里赫莱定理可得而为奇函数，所以故应选（C）例7.3.3 设，其中，则等于（A） （B） （C） （D）解：是函数先作偶延拓再作周期为2的周期延拓后的函数的傅里叶级数的和函数由狄里赫莱定理， 而 ，故应选（C）二、将函数在上展开成傅里叶级数 这里有两种情况：一是已知函数在上的表达式，且是以为周期的函数，要将展开成傅里叶级数；二是仅在上定义，要将展开成傅里叶级数如果是后一种情况，只需通过周期延拓的方法，在区间外扩充的定义，使它延拓为以为周期的函数，就变成了前一种情况这两种情形的解题方法是相同的具体为： 画出的草图，验证是否满足狄里赫莱定理的条件；求出傅里叶系数，写出的傅里叶级数；利用狄里赫莱定理得到的傅里叶展开式，并注明展开式成立的范围评注：画出的草图的目的，一是为了验证狄里赫莱定理的条件；二是为了找到展开式成立的范围（连续点都可以展开）例7.3.4 将展开成以6为周期的傅里叶级数解：画出的草图如下所示由图可见在上满足狄里赫莱条件又 ， ，所以以6为周期的傅里叶级数为 又因为傅里叶级数的和函数满足：，而，所以，三、将函数在上展开成正弦级数或余弦级数 如函数在上有定义，要将它展开成正弦级数（或余弦级数）的一般思路： 将函数延拓成上的奇函数（或偶函数）；画出的草图，验证是否满足狄里赫莱定理的条件；求出傅里叶系数，写出的傅里叶级数；利用狄里赫莱定理将展开成正弦级数（或余弦级数），并注明展开式成立的范围例7.3.5 设，试将展开成周期为4 的余弦级数解：将延拓成上的偶函数画出的草图如下图所示：由图可见在上满足狄里赫莱条件又 （） 所以以4为周期的傅里叶级数为 又因为傅里叶级数的和函数满足： 所以，故，四、利用函数的傅里叶展开式，求收敛常数项级数的和 利用函数的傅里叶级数展开式也是求收敛常数项级数和的方法之一，思路为：求出所给函数的傅里叶展开式；根据傅里叶系数的特点，确定傅里叶展开式在某个点所得到的级数恰为常数项级数；用狄里赫莱定理求出傅里叶级数的和函数在的值，即为所求例7.3.6 将函数， 在展开成以为周期的余弦级数，并求下列数项级数的和（1）； （2）； （3）解： 将作偶延拓，得到上的偶函数画出的草图如图所示： 由图可见在上满足狄里赫莱条件则 所以因为在内连续，的傅里叶级数的和函数满足，因此 （*） 在式（*）中分别令和，得 ， 由此可得 （1）， （2），再将上两式逐项相加，又得 故 （3）五、其它例7.3.7 设是以为周期的连续函数，并且傅里叶系数为求的傅里叶系数，并利用所得结果推出分析：是抽象函数，也不可能得到具体的解析表达式，因此只能借助于的傅里叶系数来表示的傅里叶系数另外应该看到求证的等式左端为解：显然是以为周期的连续函数，其傅里叶系数 （交换积分次序所得） （利用周期函数的积分性质所得） 由上述类似方法可得 由狄里赫莱定理知 特别当时 例7.3.8 证明当时，分析：这里要证明一个三角级数在指定区间内收敛于一个函数这是傅里叶级数的反问题证明这一类题的一般方法是将所给函数在指定区间上展开成傅里叶级数，看它是不是等于给定的级数证明：令 因为所给级数只含余弦项，故将函数偶延拓到区间内，于是其傅里叶系数 （ 所以，故知识点、考点测试一、选择题1下列命题中正确的是设正项级数发散，则设收敛，则收敛设，至少有一个发散，则发散设收敛，则，均收敛2下列论述正确的是收敛，则收敛3设条件收敛，则必有存在自然数，使得当成立， 收敛发散 收敛4已知，且条件收敛若设（，则级数（A）条件收敛 （B）绝对收敛（C）发散 （D）敛散性取决于的具体形式5设绝对收敛，则下列各选项正确的是（ ）（A）发散 （B）条件收敛（C）绝对收敛 （D）6对于常数，级数绝对收敛 条件收敛发散 收敛性与的取值有关7设且收敛，常数，则级数绝对收敛 条件收敛发散 敛散性与有关8设级数收敛，则的值分别为 9设正项级数收敛， ，则级数（A）发散 （B）绝对收敛 （C）条件收敛 （D）不定10在下列级数（1） （2）（3） （4）中收敛的一共有（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）411设幂级数在处收敛，则当时，此级数绝对收敛 发散条件收敛 敛散性不确定12设幂级数在点条件收敛，则幂级数，在点处绝对收敛 条件收敛发散 不能确定13若级数的收敛域分别是 14设收敛，则级数的收敛半径是 15将函数在上展开为余弦级数，则其和函数在处的函数值分别为（ ）（A） （B）0，2，0（C） （D）16设以为周期的函数，有傅里叶级数则下列函数的图形哪一种可保证在可展开成傅里叶