小学奥数平面几何五种面积模型(等积鸟头蝶形相似共边)

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形.相似（含金字塔模型和沙漏模型）.共 边（含燕尾模型和风筝模型）.掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等.面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比； 如右图SSaib夹在一组平行线之间的等积变形，如右图A C F B；反之.如果S qmSr,则可知直线AB平行于CD.等底等高而两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等.面积比 等于它们的高之比.二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.BB如图在ABC中.D,E分别是AB,AC上的点如图 （或D在BA的延长线上.E在AC上）. 则 S戒：= （AB x AC）: （AD x AE）三、蝶形定理任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”储、：S? = Sq : S3 或者 x S3 = S. x S4 AO OC = （ + S2）:（S4 + S3） 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途 径.通过构造模型.一方面可以使不规则四边形的面积关系与 四边形内的三角形相联系；另一方面.也可以得到与面积对应 的对角线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）：（Dw G =a2 :b: Sj: S3: S?: S$ = a，: F: ab: ab ;S的对应份数为（a + b）2 .（二）沙漏模型=;AB AC BC AG Sdes S3c = AF - ： AG .四、相似模型（一）金字塔模型所谓的相似三角形.就是形状相同.大小不同的三角形（只要其形状不改变.不论大小怎 样改变它们都相似）,与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比;相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC中.AD. BE, CF相交于同一点那么SaaBO -=:上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为AAB。和 AACO的形状很象燕子的尾巴.所以这个定理被称为燕尾定理.该定 理在许多几何题目中都有着广泛的运用.它的特殊性在于.它可以 存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之 间提供互相联系的途径.典型例题例I如图，正方形月86的边长为6, ae = L5,cf=2.长方形分由的面积为【解析】连接。区。尸则长方形属劭的面积是三角形座面积的二倍. 三角形际的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积.S.def =6x6-L5x6 + 2-2x6 + 2-4.5x4 + 2 = 16.5,所以长方形切谢面积为33.【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为1。厘米，那么长 方形的宽为几厘米?BFB【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形 可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积 的一半.证明：连接AG.（我们通过aAEG把这两个长方形和正方形联系在一起）.在正方形ABCD中，S皿=：x ABx边上的高，SAABG=1s阳CD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理，S/.ABG = EFGB ，正方形ABCD与长方形EFGB面积相等. 长方形的宽=8x8 + 10 = 6.4 （厘米）.【例21长方形ABCD的面积为36cm, E. F. G为各边中点，H为AD边上任意一点, 问阴影部分面积是多少？【解析】解法S -IsaFHB - T、CHBSDHG = T SDHC+ S、cHD ) = x36 = 18；而SHB + S18Hp + Shg =彩 +SAEBF =lxBExBF =lx（lxAB）x（lx BC） = 1x36 = 4.5.皿 22 228所以阴影部分的面积是：=18-8=18-4.5 = 13.5可得：S立于解法二s特殊点法.找H的特殊点.把H点与D点重合.那么图形就可变成右图：D(H)，影=Sqcd - Sued - abef - S、cfd这样阴影部分的面积就是ADEF的面积.根据鸟头定理.则有:= 36- X x 36- - X X x 36- X x 36 = 13.5.【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边二等分，另 一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积.【解析】（法1）特殊点法.由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法.假设P点 与A点重合.则阴影部分变为如上中图所示.图中的两个阴影三角形的面积分别 占正方形面积的！和1 ,所以阴影部分的面积为6晨（1+ 1） = 15平方厘米.464 6（法2）连接PA、PC .由于APAD与APBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的同理可知左、右两个阴影三角 4形的面积之和等于正方形ABCD面积的L 所以阴影部分的面积为62x（2 + 3 = 15 64 6平方厘米.【例31如所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70, AB = 8, AD = 15,四边形EFGO的面积为【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和.进而求出四边形EFGO的面积.由于长方形ABCD的面积为15x8 = 120 .所以三角形BOC的面积为120x1 = 30.所以三角形AOE和DOG的面积之和为120x3-70 = 20;4又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120x(99 = 30,所以四边形 EFGO的面积为30-20 = 10.另解：从整体上来看.四边形EFGO的面积=三角形AFC面积+三角形BFD面积- 白色部分的面积，而三角形AFC面积+三角形BFD面积为长方形面积的一半，即 60.白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积.B|J 120-70 = 50 ,所以 四边形的面积为60-50 = 10.【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36, E是AD的三等分点，AE = 2ED,则阴影部分 的面积为【解析】如图.连接OE.根据蝶形定理.(：皿=5乂00-SCAE - SACDE =1:1.所以 S0Hx = SA0ED OM : MA.= Sbqe : Sraf = Srhf : S1HAe = 1:4 .所以 oem = T oea 又SOED =二乂=$形阳9 =3 SAOEA = 2Saoed = 6 ,所以阴影部分面积为: 3 43xl + 6xl = 2.7.25【例4】已知ABC为等边三角形，面积为400, D、E、F分别为三边的中点，已知甲、 乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.(丙是三角形HBC)【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线, 也就与对应的边平行.根据面积比例模型.三角形ABN和三角形AMC的面积都 等于三角形ABC的一半，即为200.根据图形的容斥关系，有 $内=+ Sajc -,B|J400-S1M= 200+ 200Sq1Hx,所以 $丙=1Hn .所以又圣I 彩 + S1ADF = S甲 + S乙 + Sq1Hx %影=S” + S乙 + S内一 SxADF = 143 x 400 = 43 .【例5】如图，已知CD = 5, DE = 7, EF=15, FG = 6,线段AB将图形分成两部分，左 边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是._ 7，AADG 9 AAED = AADG，Zo于是:21287 G 12 cKbf=65； 8+ SCBF = 38.可得Sudg=40.故三角形adg的面积是40.【例6】如图在瓯 中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD AB = 2：5 ,AE： AC=4:7 ,=16平方j?米，求ABC的面积.【解析】连接AF BD.根据题意可知，CF =5+7 + 15 = 27; DG = 7 + 15 + 6 = 28 ;所以，Sbef S3cBp , S1HS3cHl: , S3g = S【解析】连接 BE , SAADE :SAABE = AD : AB=2：5 = (2x4):(5x4),Saabe；SAabc = AE：AC = 4:7 = (4x5)：(7x5) 所 以 SA2SDE ： SAABC = (2x4):(7x5) 设 $皿=8份则S皿=35份.S.qe=16平方厘米,所以1份是2平方厘米.35份 就是70平方厘米.4阳。的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理. 共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之 比.【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的 面积等于L那么三角形ABC的面积是多少？AB 【解析】连接BE.EC = 3AE ，S皿=3S曲又；AB = 5AD S gE = S abe - 5 = +15*AABC =15$皿=15【巩固】如图,三角形，力被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD = DC = 4,BE = 3, AE = 6, 乙部分面积是甲部分面积的几倍？【解析】连接AD.;BE = 3 , AE = 6, * AB = 3BE S ABr) = 3S bde又 BD = DC=4, S 诋=2业) S 必=6bde $乙=5s I .【例7】如图在瓯中，D在BA的延长线上，E在AC上9且AB：AD = 5:2,AE:EC = 3:2,【解析】连接 BE g SAADE :SAABE = AD: AB = 2:5 = (2x3)：(5x3)Sz.abe：SAaBC =AE：AC = 3：(3 + 2) = (3x5):(3 + 2)x5,所以 S皿：S4e =(3x2):5x(3 + 2) = 6:25 设 Sr =6 份，则 S的=25 份,S皿=12 平方厘米.所以1份是2平方厘米.25份就是50平方厘米.AABC的面积是50平 方厘米.由此我们得到一个重要的定理.共角定理：共角三角形的面积比等于对 应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例8】 如图，平行四边形ABCD, BE = AB , CF = 2CB , GD = 3DC, HA=4AD ,平行 四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.【解析】连接AC、BD.根据共角定理在 ABC 和 ABFE 中,ZABC 与 ZFBE 互补. SAABC _ AB BC _ 1x1 _ 1,* SAFBE -BEBF -173-3 ,又 S皿=1 所以 SAFBE = 3 .同理可得Sadho=15, S回=8.所以降gh = S何 + SAcrG + SADHG + SABEF + S皿p =8 + 8+15+3+2 = 36 .所以上=2=_L.Sefgh 36 18【例9如图所示的四边形的面积等于多少?【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形.难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转.使长为13的两条边重合.此时三角形OAB将 旋转到三角形OCD的位置.这样.通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的 正方形，且这个正方形的面积就是原来匹边形的面积.因此.原来四边形的面积为12x12 = 144.（也可以用勾股定理）【例10如图所示，AABC中，ZABC = 90 , AB = 3 , BC = 5 ,以AC为一边向AABC外作 正方形ACDE,中心为O,求AOBC的面积.【解析】如图.将AOAB沿着O点顺时针旋转90。，到达AOCF的位置.由于 NABC = 90 ZAOC = 90 . 所以 NOAB +/OCB = 180 , 而 NOCF = NOAB 所以NOCF+NOCB = 180。,那么B、C、F三点在一条直线上.由于OB = OF , ZBOF = ZAOC = 90。，所以ABOF是等腰直角三角形，且斜边BF为 5 + 3 = 8,所以它的面积为殷=16.4根据面积比例模型.AOBC的面积为16x2 = 10.8【例11如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE, NAEB = 90。，AC.BD交于O.已知AE、BE的长分别为3cm、5cm ,求三角形OBE的面积.【解析】如图.连接DE.以A点为中心.将AADE顺时针旋转90。到AABF的位置.那么NEAF = NEAB+ZBAF =NEAB+NDAE = 90。 而/AEB也是90。 所以四边形 AFBE是直角梯形.且AF=AE = 3,所以梯形AFBE的面积为：(3 + 5)x3xl = 12 (cnr).又因为AABE是直角三角形，根据勾股定理，AB: = AE 11s + BE2 = 32 +52 = 34 ,所以 sabd =；砥2 =17 (cm2).那么 S皿=S皿一(S* + s1AoE) = S =17-12 = 5 (cm2),所以 Sobe = _ SppE = 2.5 (cm:).【例12如下图,六边形ABCDEF中，AB=ED, AF=CD, BC = EF ,且有AB平行于ED , AF平行于CD, BC平行于EF ,对角线FD垂直于BD,已知FD = 24厘米，BD = 18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米?【解析】如图，我们将ABCD平移使得CD与AF重合，将ADEF平移使得ED与AB重合.这样EF、BC都重合到图中的人6了.这样就组成了一个长方形BGFD,它的面积与 原六边形的面积相等.显然长方形BGFD的面积为24x18 = 432平方厘米.所以六 边形ABCDEF的面积为432平方厘米.【例13如图，三角形ABC的面积是1, E是AC的中点,点D在BC上，且BD:DC = 1:2, AD与BE交于点F则四边形DFEC的面积等于【解析】方法一：连接CF 根据燕尾定理，由=黑;bAACF DC -Sabf 阳Sbf EC 图所标设 ABDF = 1 份，则 ,dcf = 2 份 9= 3 份，S但=S4efc = 3 份，如方法二：连接DE.由题目条件可得到回=-S2.ABC1 71BFADC=-XjS=- 所以荏=：.ABDZade1-311111 1-X-X-XSABC =77,长方形ABCD的面积是2平方米，EC = 2DE , F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?【解析】设Sadef米.TC 5 G5=1份.则根据燕尾定理其他面积如图所示+影=丘SABCD =平方厘【例1。四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0 （如图所示）.如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的;，且AO = 2, DO = 3 ,那么CO的长度是DO的长度的倍.ADBC BCAD【解析】在本题中.四边形ABCD为任意四边形.对于这种“不良四边形无外乎两种处 理方法：利用已知条件.向己有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来 改造不良四边形.看到题目中给出条件S皿：$ - =1:3 .这可以向模型一蝶形定 理靠拢.于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化 为边的关系，可以得到第二种解法.但是第二种解法需要一个中介来改造这个” 不良四边形”.于是可以作AH垂直BD于H-CG垂直BD于G面积比转化为高 之比.再应用结论：三角形高相同.则面积之比等于底边之比.得出结果.请老 师注意比较两种解法.使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使 用蝶形定理解决问题.解法一：AO:OC = S3：S皿=1:3 , /. OC = 2x3 = 6 , /. OC :OD = 6: 3 = 2:1 .解法二：作AHJ.BD于H. CGLBD于G.,*= ABCD AH = -CG S_0D =3，AO = ko ，OC = 2x3 = 6 OC :OD = 6:3【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形, 求t二角形BGC的面积,AG:GC = ?JD n【解析】根据蝶形定理，Sb0cxi = 2x3.那么S改根据蝶形定理，AG:GC = (l + 2):(3 + 6) = l:3 .【例15如图，平行四边形ABCD的对角线交于。点lsadoc，3 = 2:1 .其中三个三角形的面积己知，jc = 6 ；CEF、AOEF、AODF、ABOE 的面积依次是2、4、4和6.求求OCF的面积；求GCE的面积ADBE C【解析】根据题意可知，ZXBCD的面积为2 + 4 + 4 + 6 = 16 , 是16 + 2 = 8.所以OCF的面积为8-4 = 4;)那么BCO和ACDO的面积都由于BCO的面积为8.BOE的面积为6.所以OCE的面积为8-6 = 2.根据蝶形定理.E :G =FC Goa：eS= c=2. 所以Sag c a ? = g =P c1 c 2那么 SGCE = SCEF =X 2 = J .【例16如图，长方形ABCD中，BE:EC = 2:3, DF:FC = 1：2,三角形DFG的面积为2平 方厘米，求长方形ABCD的面积.【解析】连接AE. FE.因为BE:EC = 2:3DF:FC = l:2.所以SDEF=qx：x ；匕方也应口 =1S长方行0c口.因为 S S 长方形, AG : GF = ；：W = 5：1.所以 S 而)=5s 8F = 10 平方厘米,/ JLU所以S AFD =12平方厘米.因为S&Dn;S泅e，所以长方形ABCD的面积6是72平方厘米.【例17如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.【解析】因为M是AD边上的中点，所以AM:BC=1：2,根据梯形蝶形定理可以知道ASiG :SAABG :SAMCG :SABCG =1 :Gx2):Gx2):2 = 1:2:2:4 设 S4a g 豆 1 份,则 SmcdI +2 =份，所以正方形的面积为1+2 + 2 + 4 + 3 = 12份.即影=2 + 2 = 4 份,所以，影：S正方形=1：3.所以S阴影=1平方厘米.【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米.AD【解析】连接DE.根据题意可知BE:AD = 1:2,根据蝶形定理得S梯形=（1 + 2下=9 （平方 厘米） Secd=3 （平方厘米）.那么3cD= 12（平方厘米）.【例18】已知ABCD是平行四边形，BC:CE = 3:2,三角形ODE的面积为6平方厘米.则平方厘米.阴影部分的面积是【解析】连接AC.由于ABCD是平行四边形.BC:CE = 3：2,所以CE：AD = 2：3根据梯形蝶形定理.SCOE：SAOD=22:2x3:2x3:32 =4:6:6:9 ,所以S aoc = 6（平方厘米），S/口=9（平方厘米），又5阳0 = 5 md = 6 + 9=15（平方 厘米），阴影部分面积为6 + 15 = 21（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位, 平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【分析】连接AE.由于AD与BC是平行的.所以AECD也是梯形，那么Saocd = Soae. 根据蝶形定理 SaOCD x SaOAE = SaOCE x SaOAD =4x9 = 36,故 S、0cd =36. 所以工ocd=6（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位,平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.【解析】连接AE.由于AD与BC是平行的.所以AECD也是梯形，那么2.口 = Sg . 根据蝶形定理. SOCD X= Sa0cH X SAOAD=2x8 = 16 ,故原0cd=16,所以Jd=4（平方厘米）.另解：在平行四边形ABED中，Se=：S abed =Jx（16 + 8） = 12（平方厘米），所以 Saaoe = Saade -Sd = 12-8 = 4 （平方厘米）根据蝶形定理.阴影部分的面积为8x2 + 4 = 4（平方厘米）.平方厘米，那么余下的四边形。FBC的面积为平方厘米.【例19】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8【解析】连接DE、CF .四边形EDCF为梯形.所以“smSfoc，又根据蝶形定理.S“ OD 所以 .iEOD , S4 0c=Sjof Sod =2x8 = 16 所以 = 4（平方厘米）.S皿=4 + 8 = 12 （平方厘米）.那么长方形ABCD的面积为12x2 = 24平方 厘米,四边形OFBC的面积为24-5-2-8 = 9（平方厘米）.【例20如图，AABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG的面积48, AK:KB = 1:3,则ABKD的面积是多少？【解析】由于DEFG是正方形,所以DA与BC平行,那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC + . ABDK和AACK的面积是相等的.而AK：KB = 1:3所以AACK的面积是AABC 面积的一二1,那么ABDK的面积也是AABC面积的2 .1 + 3 44由于AABC是等腰直角三角形.如果过A作BC的垂线,M为垂足.那么M是BC的 中点.而且AM = DE ,可见AABM和AACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半. 所以AABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48.那么ABDK的面积为48x1 = 12 .4【例21下中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB, BC ,CD, DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数已，那么，（m+n）的值等于11【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形,不方便直接求面积.观察发现两个 图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部 分的面积.如下图所示,在左图中连接EG.设AG与DE的交点为M.左图中AEGD为长方形.可知AAMD的面积为长方形AEGD面积的所以三角形 4AMD的面积为f= L又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图2 4 8中阴影部分的面积为1-葭4M.82BAHDE如上图所示，在右图中连接AC、EF ,没AF、EC的交点为N.可知EF / AC且AC = 2EF.那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的L 所以 4三角形BEF的面积为梯形AEFC的面积为二二=3.2 4 82 8 8在梯形AEFC中，由于EF:AC = 1:2 .根据梯形蝶形定理.其四部分的面积比为： 1x2:1x2:22=1:2:2:4.所以三角形EFN的面积为,i=.那么四边 8 1 + 2 + 2 + 4 24形BENF的面积为L = L而右图中四个空白四边形的面积是相等的.所以右 8 24 6图中阴影部分的面积为1-1x4 = L6 3那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11 = 3:2.即上=?.2 3n 2那么 m+n = 3 + 2 = 5 .【例22如图，2瓯中，DE, FG, BC互相平行，AD = DF=FB, 9A AADE ： jrtDEGF ： %1FGCB =-【解析】设S八3=1份，根据面积比等于相似比的平方，所以 aade : AF = 1 ： 4 g SAADE : S皿=AD,: AB- =1:9,因此.=4份，S瓯=9份g进而有SpqwH.DEGF = 3份，、吗过彬FGCB = 份，所以S&qr . %t H DEGF S吗【巩固】如图,DE 平行 BC,且 AD = 2, AB = 5 ,AE = 4 ,求AC的长.A【解析】由金字塔模型得AD： AB= AE: AC = DE:BC = 2:5 .所以AC =4 + 2x5 = 10【巩固】如图，瓯中，DE, FG, MN, PQ, BC互相平 行，AD = DF =FM = N1P = PB,贝!)S/.ADE ：，边乃DE5 ： %边脂FGNM ：边形MNQP ： iiPQCB =【解析】设 Sa2E =1 份，SAade:SAafg = AD:AF2=1:4 ,因此 AAFG = 4份，进而有际边形DEGF = 3份，同理有 %边形F G N而5份9即边形MNQP = 7份，、q边形pqcb = 9份. 所以有ADE : 4川边杉DEGF : q边形FGNM : 可边形MNQP :、四边形PQCB = 1 ： 3 ： 5 ： 7 ： 9【例23如图，已知正方形ABCD的边长为4, F是BC边的中点，E是DC边上的点，且 DE：EC = 1:3, AF与BE相交于点G,求S皿【解析】方法一：连接AE.延长AFDC两条线交于点M.构造出两个沙漏.所以有AB CM = BF :FC = 1:1 ,因此CM = 4.根据题意有CE = 3.再根据另一个沙漏有4432GB GE= AB EM=4:7,所以 S 皿=S _ =_x(4x4 + 2) =.4+7 -迎 1111方法二：连接 AE,EF ,分别求 =4x2-2 = 4 .saaef =4x4-4x1 + 2-3x24-2-4 = 7， 根 据蝶 形 定理4432S4A :氏 Sf 声 P 所以 SABG=yyX (4x4 + 2)=打.【例24如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1. E、F是AB、AD的中点，BF 交EC于M,求ABMG的面积.FD BC FHAD的中点$得EF /BD ,而EB:CD=BG:GD = 1:2所以CH:CF=GH:EF=2：3 并得G、H是BD的三等分点$所以BG = GH,所以BG:EF=BM:MF=2:3,所以 BZ = BF, = - SXABD = - X - S=-；522 24,1212 11乂因为 BG = - BD 所以 S1HMe = -x x S1H池=txx - = 33 53 5 4 30解法二:延长CE交DA于I,如右图，可得，AI：BC = AE:EB = 1:1 ,从而可以确定M的点的位置.2i5,2 12 11可得 S1G =x；Sabdf =7x7x7S5 35 3 4BM :MF =BC:IF =2:3 BM = -BF , BG = BD (鸟头定理)cm ,请问四边形PQRS【例 25如图，ABCD为正方形，AM = NB=DE = FC = lcm且MN = 2的面积为多少?MN DCMQ = QC = 1mC,所以 PQ = LmC -1MC = 1mC 9 所以 Sspqr 占 Sq讣的 L 22366i2所以 SSPQr = - x1xQ + 1 + 2) =二(cm2). 63(法2)如图，连结AE9则S的=1x4x4 = 8(cm).2k RB ER而一=,AB EFr-r- K| RB AB2216 / _ 2 所以= 2 9 S1ABR = S2kAm = - x3 = (cm*).TST c c 11/ 2 m 兴MN NIPRO Sq1so = x 3x4x = 3 (cm) 内内=,22DC PC所以MP=1mC.则Iz=、2x4x1 = 3(cm2),阴影部分面积等于 3a 23 3o c o c 1642 z 2SgBR 5qR - 5八做 + 5AMsp = 3 3+ = Vcm ).【例26】如右图，三角形ABC中9 BD:DC = 4:9, CE：EA=4:3,求AF:FB.【解析】根据燕尾定理得7/8：$4必=BD:CD = 4:9 = 12:27aob - $八30c = AE * CE = 3:4 = 12:16（都有AAOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 S在：S=27:16=AF:FB【点评】本题关键是把AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法.在我们用比例解题中屡见不鲜.如果能掌握它的转化本质.我们就能达到解奥数题四两拨千斤 的巨大力量！【巩1如右图，三角形ABC中,BD:DC = 3:4 , AE:CE = 5:6, 求 AF:FB.【解析】根据燕尾定理得Sa*b：S皿=BD:CD = 3:4 = 15:20 aob - *aboc = AE :CE = 5:6 = 15:18 （都有AAOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以 2在：SaB0c =20:18 = 10:9= AF ：FB【巩固】如右图，三角形ABC中，BD DC = 2:3 , EA:CE = 5:4,求AFFB.【解析】根据燕尾定理得SA0B : SAB0C = AE :CE = 5:4 = 10:8（都有AAOB的面积要统一,所以找最小公倍数）所以 SAAOC : S.BOC =15:8= AF :FB【点评】本题关键是把AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法.在我们用比例解 题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化木质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤 的巨大力量！【例27】如右图，三角形ABC中，AF :FB=BD :DC = CE：AE = 3:2,且三角形ABC的面积 是1,则三角形ABE的面积为，三角形AGE的面积为，三角形GHI 的面积为.【分析】连接AH、BI、CG.22、由于 CE:AE = 3：2 所以 AE = ：AC,故 S皿= S1ABe =-所以根据燕尾定理.Swg ：S皿=CD:BD = 2:3, Scg:S:bq=CE:EA=3i2 ,SjACG : SBG : S2BC0 = 4 ： 6 ： 9 tG 一历S1BCG919那么 Swe =S、AGC =2 48x = ；5 19 95同样分析可得 Sw, =2 ,则 gHI S= 1H 期 , EG:EB=Smg：S3：b=4：19 , 91 JBL d-X/VvJ所以 EG:GH :HB = 4 510 .同样分析可得 AG :GI : ID = 10:5:4 .5G 521G 5G 5 11明 以 SsRTF = SABAE = x - = - S、ghi = S = x - = 皿 10 . 10 5 5 1GHI 19 皿 19 5 19【巩固】如右图，三角形ABC中，AF：FB = BD :DC=CE : AE=3：2,且三角形GHI的面积是1,求三角形ABC的面积.【解析】连接8G, S谢=6份根据燕尾定理，SAA3C :SABGC = AF:FB = 3:2 = 6:4, SAABG :SAAGC = BD:DC = 3:2 = 9 6得Sabgc=4（份），S皿=9（份）.则S必=19（份）,因此声纹=,同理连接月八一得星码 = ,9淳=所以匡幽9-6-6-6=J_ abc 19 SAABC 19S瓯1919三角形 附的面积是1.所以三角形4%的面积是19【巩固】如图， AADC 中 BD = 2DA, CE _ 2EB ,AT2FC,那么AADC的面积是阴影三角形面积的倍.【分析】如图.连接AI.根据燕尾定理.S 皿1sHi =BD:AD = 2:1 SaBCI:Saabi=CF:AF=1:2.22所以，=1：2：4 那么，=- -= 1+2+47同理可知AACG和AABH的面积也都等于AABC面积的：，所以阴影三角形的面积等于AABC面积的1-2x3 =，所以AABC的面积是阴影三角形面积的7倍.7 7【巩固】如图在ABC中DC_EA_FB_1 . GHI的面积砧拈DB EC FA_ 2 1 AABCWO!【解析】连接5G设1份.根据燕尾定理xjc :Sb0c =4:FB =2:1, SAabg :S必=BD:DC = 2:1,得S雄=2 （份）S皿=4（份），则S皿=7（份），因此沁=）同埋连接月八CH得 SAABC Szabh _ Sbjc _ 所以 Sghi _ 2- 2-2 _ 1S血 7 SAABC 7 SAabc 77【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形.虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得 至r的.即再重复一次解题思路.因此我们有对称法作辅助线.【例28】如图，三角形ABC的面积是1, BD = DE = EC , CF=FG = GA,三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?问理，SABPM= =五，所以*边形PQMN2 397-35-70【解析】设BG与AD交于点凡BG与AE交于点Q. BF与AD交于点、M. BF与AE交于点、N.连 接 CP. CQ. CM. CN.根据燕尾定理，Szabp:Sacbp=AG:GC = 1:2 , Sz:SA7CI=BD:CD = 1:2 ,设 $=1（份），则 S而=l + 2 + 2 = 5 （份）.所以 S3Hp =：问理可得，SA BQ = , S诋J = L,而8G =L,所以 SAPQ = - L 1 21=_ 1 _ 3 _ 9 _ 5斗WGNED 一丁行一记一石 7 21M功形NFCE二,一弓一至二不，、边花GFNQ二一五一% =不【巩固】如图，AABC的面积为1,点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三 等分点，那么四边形JKIH的面积是多少？【解析】连接CK、CI、CJ .L S 1+2+4 7 的根据燕尾定理.S :S.=CD:BD = 1:2 , S所以Sk：S叩：Sj必=1:2:4，那么S皿k =类似分析可得XS-：S-=AF：CF=2：H SwSqBDd 可得。三那么，sCGKJ=l 810 4 21 84根据对称性.可知四边形CEHJ的面积也为那么四边形JKIH周围的图形的面 84积之和为SCGKJ X2+SI+SAABE= X2 + + - = 所以四边形JKIH的面积为CGKJ2GI AABE 酷 小 370,6191 70 7(【例29】右图，瓯中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG 交于M, AF与BG交于N,已知ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方 厘米，则 ABC的回积是多少平方厘米？【解析】连接CM、CN.根据燕尾定理.Sa:SACB,vI = AG:GC = 1:1, SAabm:Saacm=BD:CD = 1:3,所以S/.ABM =S必；再根据燕尾定理,S码;：S4CBN =，所以 SABX ： SapBj； = SCBN ： Spbj = 4 ： 3 ,所以AN：NF=4:3.那么昆空_ = 1x?-=三，所以S“c 2 4+3 7“FCG_ 5 1_ 5Saafc = - x-Saabc =saabc /乙。根据题意,有为八次-S次=7.2.可得S诋=336 （平方厘米） 528【例30如图，面积为1的三角形加C中，D、氏尸、6乂/分别是加、BC、CA的三 等分点,求阴影部分面积.【解析】三角形在开会.那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI与CD的交点、为M. AF与CD的交点、为NBI与AF的交点为P, BI与CE的交 点为Q,连接,BN、CP求。叱心!：在瓯中根据燕尾定理.1ABM :SACBS1 = AI:CI = 1:2 SAA：M :SACBM = AD:BD = 1:2设 Shm=1（份）则=2 （份），SAACM =1（）, S际=4（份），所以 S.d1ABM = - S皿所以 SQM = 3=立 S处,= SAABC ,所以鼠边 F ADNH = （ + R）S皿= A ABC 1Z 12o同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC面积的16求S,地孙D0QE：在 ABC中-根据燕尾定理S心：S4=BF -CF =1:2 SABCN = AD:BD = 1:2,所以 sAADN =SAabx = - xs皿=sAABC.问理 sABEQ在 瓯中，根据燕尾定理 S加：SaquBFiCFnlN, SAABP ： SACBP = AI CI = 1:2A N S ba p同理另外两个五边形面积是ZSABC面积的看所以10570【例31如图，面积为1的三角形抽。中，D、氏尺6从/分别是必BC. CA的三 等分点,求中心六边形面积.DID【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为M R、P、S、M 0.连接以 在瓯中根据燕尾定理，S：S“r = BG：CG. = 2:1, SaaBR : ACBR. = N ： CI = 1 ： 2所以S题=尹abc 向理s心=-sAAK sACQB =s曲所以a=一泻_湾,同理S,根据容斥原理.和上题结果sASN =亍1 1 131已知4DEF的面积为7平方厘米，BE = CE,AD = 2BD,CF=3AF ,求ABC的面积.【解析】S.皿e ：S必= (BDxBE):(BAxBC) = (lxl);(2x3) = l：6,S.CEF =(CExCF):(CBxCA) = (lx3):(2x4) = 3:8SA/OF : SqBC =(ADx AF):(ABx AC) = (2xl)：(3x4) = l：6设 s迎=24 份，贝份.S皿=4 份.S3=9 份，S回=24-4-4-9 = 7 份，恰好是7平方厘米，所以S皿=24平方厘米练习2.如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA= AB , CB=BF, DC=CG, HD = DA,求四边形ABCD的面积.【解析】连接BD.由共角定理得头即：Smgf 问理S.1Abd - S般=1:2,即S般=2s八皿 所以 $乙曲 + SACGF = 2(Sacbd + SAadb) = 2s四边引皿口即 SacGF = 2sCBB连接AC，同理可以得到SADHG + S曲=2s唳彬丽口% 边出 ETGH = AAHE + ACGF + AHDG + ABEF + &iiq，ABCD = MiiABCD所以 *ii3BCD = 66 + 5 = 13.2 平方米练习3.正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是 平方厘米.【解析】欲求四边形BGHF的面积须求出AEBG和ACHF的面积.由题意可得到：EG:GC = EB CD = 1:2 所以可得：S =5将AB、DF延长交于M点，可得：BM:DC=MF :FD = BF :FC = 1:1 , i2而 EH :HC = EM:CD = (_AB+AB):CD = 3:2 得CH=：CE , 25_1 21而 CF = BC 所以 S、cHF = x She = g jbceSm =1x1aBxBC = -x120 = 30 皿2 2411774川山杉K3iF =，2HBe - - S1HBe EBC = EBC =百 X 3。= 14 本题也可以用地定理|来做.连接EF.确定H的位置(也就是FH HD)同样 也能解出.练习4.如图，已知 AB=AE = 4cm, BC = DC , ZBAE = ZBCD = 90 , AC = 10cm , 则 Saak +SacE + SCDE =011r 【解析】将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90 ，构成三角形AEC，和ADC g 再连接 AC,显然 AC J. ACL AC1 ArC , AC = A，C = AC所以 ACAC 是 正方形.三角形AEC，和三角形A，DC关于正方形的中心O中心对称.在中心对称 图形ACAC，中有如下等量关系：S1AEC = 2A DC, ；SAEU = S3DC ；所以 S3ABe + She + S、cde = S3U + She + S1CDE = iS mac = ；x10x10 = 50cin2 .练习，如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四 边形BGHF的面积是 平方厘米.【解析】连接BH,根据沙漏模型得BG GD = 1:2,设SbhcmI份，根据燕尾定理切=2份, S.= 2份因此S-G +2 +2 ）x ：份， f万5 ，所以Sb f亘12。ZxO ：（平方厘米）.练习6.如,AABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三:等分点，若AABC的面积为1,那么四边形CDMF的面积是【解析】由于点D是边AC的中点点E、F是边BC的三等分点.如果能求出BN、NM、 MD三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来.其中当然也包括四边 形CDMF的面积.连接CM、CN .根据燕尾定理，Ssb：m工cB：F=CE,而Sac%2S,所以 Swi = 2sgi = 4s皿, 那么 BM = 4DM 即 BM = |bD.w a c BM BF4 2 14147那人 =-x xSabcd =-x-x- = 埠q边形CDMF =- - = 另解：得出S2ABM =2S生= 4sMM后。可得S.m =S1ABp = 丁 =正则%必彬CD*= 5-5,=- = -.练习7.如右图,三角形ABC中，AF :FB=BD：DC = CE: AE = 4:3,且三角形ABC的面积是 74,求角形GHI的面积.Sa Anr : SA= AF : FB = 4:3 = 12:9【解析】连接G, S/*=12份根据燕尾定理，SAabg := BD: DC = 4:3 = 16:12得又bgc=9（份），5八皿=16（份），则S收= 9 + 12 + 16 = 37 （份），因此也”=同理连接月八。/得4=高沁=与所以沁= abc 37 SAabc 37S由S八 ABC37-12 -12-12_ 1-37371237 1三角形月勿的面积是74,所以三角形砂的面积是74、=2月测备选【备选1】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角