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解析几何 H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程20H1，H5，H82013新课标全国卷 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1(ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值20解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1.1.由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxnn0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()A. B. C1 D29B解析 直线ya(x3)过定点(3，0) .画出可行域如图，易得A(1，2a)，B(3，0)，C(1，2). 作出直线y2x，平移易知直线过A点时直线在y轴上的截距最小，即2(2a)1a .答案为B.H2两直线的位置关系与点到直线的距离8H22013湖南卷 在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图11所示)，若光线QR经过ABC的重心，则AP等于()图11A2 B1C. D.8D解析 不妨设APm(0m4)，建立坐标系，设AB为x轴，AC为y轴，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，Q(xQ，yQ)，R(0，yR)，P(m，0)，可知ABC的重心为G，根据反射性质，可知P关于y轴的对称点P1(m，0)在直线QR上，P关于xy4的对称点P2(4，4m)在直线RQ上，则QR的方程为，将G代入可得3m24m0，即m或m0(舍)，选D.12H2，E12013新课标全国卷 已知点A(1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A(0，1) B.C. D.12B解析 方法一：易得ABC面积为1，利用极限位置和特值法当a0时，易得b1；当a时，易得b；当a1时，易得b1.故选B.方法二：(直接法) y ，yaxb与x 轴交于，结合图形与a0 ，(ab)2a(a1)0a.a0，0b，当a0时，极限位置易得b1，故答案为B.7H2，H42013重庆卷 已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A5 4 B. 1C62 D.7A解析 如图，作圆C1关于x轴的对称圆C1：(x2)2(y3)21，则|PM|PN|PN|PM|.由图可知当C2，N，P，M，C1在同一直线上时，|PM|PN|PN|PM|取得最小值，即为|C1C2|135 4，故选A.图13H3圆的方程20H3，H10，H8，H52013新课标全国卷 已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.20解：由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M, N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R2，所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|2 .若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4，0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得1，解得k.当k时，将yx代入1，并整理得7x28x80.解得x1，2.所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|2 或|AB|.21F2、F3、H3、H5，H82013重庆卷 如图19所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P，过P，P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，若PQPQ，求圆Q的标准方程图1921解：(1)由题意知点A(c，2)在椭圆上，则1，从而e21.由e得b28，从而a216.故该椭圆的标准方程为1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4，4)设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当xx1时取得最小值又因x1(4，4)，所以上式当x2x0时取得最小值，从而x12x0，且|QP|28x.因为PQPQ，且P(x1，y1)，所以(x1x0，y1)(x1x0，y1)0，即(x1x0)2y0.由椭圆方程及x12x0得x80，解得x1，x0，从而|QP|28x.故这样的圆有两个，其标准方程分别为y2，y2.H4直线与圆、圆与圆的位置关系9H42013江西卷 过点(，0)引直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A. BC D9B解析 AB：yk(x)，k0，圆心到直线的距离d1，得1k0，|AB|22，SAOB|AB|d，1k0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x11C解析 抛物线焦点为F，0 ，由抛物线的定义，设M5，设N点坐标为(0，2)因为圆过点N(0，2)，故NFNM1，设t，则式可化为t24 t80t2 p210p160p2或p8 .图1521H4，H52013浙江卷 如图15所示，点P(0，1)是椭圆C1：1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2y24的直径l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求ABD面积取得最大值时直线l1的方程21解：(1)由题意得所以椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆C2：x2y24，故点O到直线l1的距离d，所以|AB|2 2 .又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0.故x0，所以|PD|.设ABD的面积为S，则S|AB|PD|，所以S，当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1.7H2，H42013重庆卷 已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A5 4 B. 1C62 D.7A解析 如图，作圆C1关于x轴的对称圆C1：(x2)2(y3)21，则|PM|PN|PN|PM|.由图可知当C2，N，P，M，C1在同一直线上时，|PM|PN|PN|PM|取得最小值，即为|C1C2|135 4，故选A.图13H5椭圆及其几何性质20H3，H10，H8，H52013新课标全国卷 已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.20解：由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M, N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R2，所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|2 .若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4，0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得1，解得k.当k时，将yx代入1，并整理得7x28x80.解得x1，2.所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|2 或|AB|.10H52013新课标全国卷 已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.110D解析 由题意知kAB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0.由AB的中点是(1，1)知，联立a2b29，解得a218，b29，故椭圆E的方程为1.18H5、H8、H92013安徽卷 设椭圆E：1的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上18解：(1)因为焦距为1，所以2a21，解得a2.故椭圆E的方程为1.(2)设P(x0，y0)，F1(c，0)，F2(c，0)，其中c.由题设知x0c，则直线F1P的斜率kF1P，直线F2P的斜率kF2P，故直线F2P的方程为y(xc)x0时，y，即点Q的坐标为0，.因此，直线F1Q的斜率为kF1Q.由于F1PF1Q，所以kF1PkF1Q1.化简得yx(2a21)将代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y01a2，即点P在定直线xy1上14H5，H82013福建卷 椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_14.1解析 如图，MF1F2中，MF1F260，MF2F130，F1MF290，又|F1F2|2c，|MF1|c，|MF2|c，2a|MF1|MF2|cc，得e1.12H52013江苏卷 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为1(a0，b0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2d1，则椭圆C的离心率为_12.解析 由题意知F(c，0)，l：x，不妨设B(0，b)，则直线BF：1，即bxcybc0.于是d1，d2c.由d2d1，得6，化简得6c4a2c2a40，即6e4e210，解得e2或e2(舍去)，故e，故椭圆C的离心率为.20.图17H5，H82013江西卷 如图17所示，椭圆C：1(ab0)经过点P，离心率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由解：(1)由P在椭圆上得1，依题设知a2c，则b23c2，代入解得c21，a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)，代入椭圆方程3x24y212并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2，在方程中令x4得，M的坐标为(4，3k)从而k1，k2，k3k，注意到A，F，B共线，则有kkAFkBF，即有k，所以k1k22k，代入得k1k22k2k1.又k3k，所以k1k22k3，故存在常数2符合题意方法二：设B(x0，y0)(x01)，则直线FB的方程为：y(x1)令x4，求得M.从而直线PM的斜率为k3，联立得A，则直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，所以k1k22k3，故存在常数2符合题意19H5，H102013北京卷 已知A，B，C是椭圆W：y21上的三个点，O是坐标原点(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由19解：(1)椭圆W：y21的右顶点B的坐标为(2，0)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得m21，即m.所以菱形OABC的面积是|OB|AC|22|m|.(2)假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为ykxm(k0，m0)由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.因为k1，所以AC与OB不垂直所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形15H52013辽宁卷 已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，联结AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离心率e_15.解析 设椭圆的右焦点为Q，在三角形ABF中利用余弦定理可以得到|BF|8，利用椭圆的对称性可以得到|AQ|8，则FAQ为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到2a14，2c10，得e.15H52013全国卷 记不等式组所表示的平面区域为D.若直线ya(x1)与D有公共点，则a的取值范围是_15.解析 已知不等式组表示的平面区域如图12中的三角形ABC及其内部，直线ya(x1)是过点(1，0)斜率为a的直线，该直线与区域D有公共点时，a的最小值为MA的斜率，最大值为MB的斜率，其中点A(1，1)，B(0，4)，故MA的斜率等于，MB的斜率等于4，故实数a的取值范围是.8H5、H82013全国卷 椭圆C：1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是()A. B. C. D.8B解析 椭圆的左、右顶点分别为(2，0)，(2，0)，设P(x0，y0)，则kPA1kPA2，而1，即y(4x)，所以kPA1kPA2，所以kPA1.22H52013山东卷 椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，联结PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k0，试证明为定值，并求出这个定值22解：(1)由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程1，得y.由题意知 1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)方法一：设P(x0，y0)(y00)又F1(，0)，F2(，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为lPF1：y0x(x0)yy00，lPF2：y0x(x0)yy00.由题意知.由于点P在椭圆上，所以y1，所以 .因为m，2x02，可得.所以mx0.因此m.方法二：设P(x0，y0)当0x02时，当x0时，直线PF2的斜率不存在，易知P，或P.若P，则直线PF1的方程为x4 y0.由题意得m，因为m，所以m.若P，同理可得m.当x0时，设直线PF1，PF2的方程分别为yk1(x)，yk2(x)由题意知，所以.因为y1，并且k1，k2，所以，即.因为m，0x02且x0，所以.整理得m，故0m且m.综合可得0m.当2x00时，同理可得mb0)的两个焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，且椭圆C经过点P.(1)求椭圆C的离心率；(2)设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程20解：(1)由椭圆定义知，|PF1|PF2|2 .所以a，又由已知，c1，所以椭圆C的离心率e.(2)由(1)知，椭圆C的方程为y21.设点Q的坐标为(x，y)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0，1)，(0，1)两点，此时点Q的坐标为.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2.因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx12)，(x2，kx22)，则|AM|2(1k2)x，|AN|2(1k2)x.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.由，得，即.将ykx2代入y21中，得(2k21)x28kx60.由(8k)24(2k21)60，得k2.由可知，x1x2，x1x2，代入中并化简，得x2.因为点Q在直线ykx2上，所以k，代入中并化简，得10(y2)23x218.由及k2，可知0x2b0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若8，求k的值18解：(1)设F(c，0)，由，知ac.过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆的方程有1，解得y.于是，解得b.又a2c2b2，从而a，c1，所以所求椭圆的方程为1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1，0)得直线CD的方程为yk(x1)由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260，可得x1x2，x1x2.因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.20H1，H5，H82013新课标全国卷 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1(ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值20解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1.1.由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxnnb0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2y24的直径l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求ABD面积取得最大值时直线l1的方程21解：(1)由题意得所以椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆C2：x2y24，故点O到直线l1的距离d，所以|AB|2 2 .又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0.故x0，所以|PD|.设ABD的面积为S，则S|AB|PD|，所以S，当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1.图129H5，H62013浙江卷 如图12，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. B. C. D.9D解析 设双曲线实半轴长为a，焦半距为c，|AF1|m，|AF2|n，由题意知c，2mn(mn)2(m2n2)4，(mn)2m2n22mn8，2amn2 ，a，则双曲线的离心率e，选择D.21F2、F3、H3、H5，H82013重庆卷 如图19所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P，过P，P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，若PQPQ，求圆Q的标准方程图1921解：(1)由题意知点A(c，2)在椭圆上，则1，从而e21.由e得b28，从而a216.故该椭圆的标准方程为1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4，4)设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当xx1时取得最小值又因x1(4，4)，所以上式当x2x0时取得最小值，从而x12x0，且|QP|28x.因为PQPQ，且P(x1，y1)，所以(x1x0，y1)(x1x0，y1)0，即(x1x0)2y0.由椭圆方程及x12x0得x80，解得x1，x0，从而|QP|28x.故这样的圆有两个，其标准方程分别为y2，y2.H6双曲线及其几何性质4H62013新课标全国卷 已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx4C解析 离心率，所以.由双曲线方程知焦点在x轴上，故渐近线方程为yx.6H62013北京卷 若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2x ByxCyx Dyx6B解析 由离心率为，可知ca，c23a2，b22a2，ba，双曲线的渐近线方程为yxx.3H62013福建卷 双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于()A. B. C. D.3C解析 取一顶点(2，0)，一条渐近线x2y0，d ，故选C.7H62013广东卷 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.17B解析 设双曲线方程为1，由题知：c3，e，解得a2，b2c2a2945，故C的方程是1.5H62013湖北卷 已知00，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为_14.解析 若最小角为F1PF2，由对称性设|PF1|PF2|，由|PF1|PF2|6a，|PF1|PF2|2a，得|PF1|4a，|PF2|2a，此时|PF2|PF2|，由|PF1|PF2|6a，|PF1|PF2|2a，得|PF1|4a，|PF2|2a，由余弦定理可得4a216a24c224a2ccos 30，即3a22 acc20，解得ca，即e.3H62013江苏卷 双曲线1的两条渐近线的方程为_3yx解析 令0，得渐近线方程为yx.14H62013江西卷 抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_146解析 由题知三角形边长为p，得点B，代入双曲线方程得p6.21H6、H8、D32013全国卷 已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y2与C的两个交点间的距离为.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列21解：(1)由题设知3，即9，故b28a2.所以C的方程为8x2y28a2.将y2代入上式，求得x.由题设知，2 ，解得a21.所以a1，b2 .(2)证明：由(1)知，F1(3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2y28.由题意可设l的方程为yk(x3)，|k|2 ，代入并化简得(k28)x26k2x9k280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x11，x21，x1x2，x1x2.于是|AF1|(3x11)，|BF1|3x21.由|AF1|BF1|得(3x11)3x21，即x1x2.故，解得k2，从而x1x2.由于|AF2|13x1，|BF2|3x21，故|AB|AF2|BF2|23(x1x2)4，|AF2|BF2|3(x1x2)9x1x2116.因而|AF2|BF2|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列11H6、H72013山东卷 抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A. B. C. D.11D解析 抛物线C1：yx2的焦点坐标为，双曲线y21的右焦点坐标为，连线的方程为y，联立 得2x2p2x2p20.设点M的横坐标为a，则在点M处切线的斜率为y|xa.又双曲线y21的渐近线方程为y0，其与切线平行，即ap，代入2x2p2x2p20得，p或p0(舍去)11H62013陕西卷 双曲线1的离心率为，则m等于_119解析 由a216，b2m，则c216m，则e，则m9.6H6，H72013四川卷 抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.6B解析 抛物线y24x的焦点坐标为F(1，0)，双曲线x21的渐近线为xy0，故点F到xy0的距离d.5H6，H72013天津卷 已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1 B. C2 D35C解析 双曲线的离心率e2，解得，联立得y.又因为SOAB，将代入解得p2.图129H5，H62013浙江卷 如图12，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. B. C. D.9D解析 设双曲线实半轴长为a，焦半距为c，|AF1|m，|AF2|n，由题意知c，2mn(mn)2(m2n2)4，(mn)2m2n22mn8，2amn2 ，a，则双曲线的离心率e，选择D.H7抛物线及其几何性质13H72013安徽卷 已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_131，)解析 方法一：设直线ya与y轴交于M点，若抛物线yx2上存在C点使得ACB90，只要以|AB|为直径的圆与抛物线yx2有除A、B外的交点即可，即使|AM|MO|，所以a，所以a1或a0，因为由题意知a0，所以a1.方法二：设C(m，m2)，由已知可令A(，a)，B(，a)，则(m，m2a)，(m，m2a)，因为，所以m2am42am2a20，可得(m2a)(m21a)0，解得m2a0且m2a10，故a1，)18H7，H82013福建卷 如图15所示，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10，0)，点C的坐标为(0，10)分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，A9和B1，B2，B9，联结OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN*，1i9)(1)求证：点Pi(iN*，1i9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若OCM与OCN的面积比为41，求直线l的方程图1518解：(1)方法一：依题意，过Ai(iN*，1i9)且与x轴垂直的直线方程为xi，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为yx.设Pi的坐标为(x，y)，由得yx2，即x210y.所以点Pi(iN*，1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x210y.方法二：点Pi(iN*，1i9)都在抛物线E：x210y上证明如下：过Ai(iN*，1i9)且与x轴垂直的直线方程为xi，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为yx.由解得Pi的坐标为，因为点Pi的坐标都满足方程x210y，所以点Pi(iN*，1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x210y.(2)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx10.由得x210kx1000.此时100k24000，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则因为SOCM4SOCN，所以|x1|4|x2|.又x1x20)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A. B. C. D.11D解析 抛物线C1：yx2的焦点坐标为，双曲线y21的右焦点坐标为，连线的方程为y，联立 得2x2p2x2p20.设点M的横坐标为a，则在点M处切线的斜率为y|xa).又双曲线y21的渐近线方程为y0，其与切线平行，即ap，代入2x2p2x2p20得，p或p0(舍去)20H7，H82013陕西卷 已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点20解：(1)如图所示，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|，又|O1A|，.化简得y28x(x0)又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20，其中32kb640.由求根公式得，x1x2，x1x2.因为x轴是PBQ的角平分线，所以.即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将，代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1，0)6H6，H72013四川卷 抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.6B解析 抛物线y24x的焦点坐标为F(1，0)，双曲线x21的渐近线为xy0，故点F到xy0的距离d.5H6，H72013天津卷 已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1 B. C2 D35C解析 双曲线的离心率e2，解得，联立得y.又因为SOAB，将代入解得p2.11H7，H42013新课标全国卷 设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x11C解析 抛物线焦点为F，0 ，由抛物线的定义，设M5，设N点坐标为(0，2)因为圆过点N(0，2)，故NFNM1，设t，则式可化为t24 t80t2 p210p160p2或p8 .H8直线与圆锥曲线(AB课时作业)20H3，H10，H8，H52013新课标全国卷 已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.20解：由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M, N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R2，所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|2 .若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4，0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得1，解得k.当k时，将yx代入1，并整理得7x28x80.解得x1，2.所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|2 或|AB|.18H5、H8、H92013安徽卷 设椭圆E：1的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上18解：(1)因为焦距为1，所以2a21，解得a2.故椭圆E的方程为1.(2)设P(x0，y0)，F1(c，0)，F2(c，0)，其中c.由题设知x0c，则直线F1P的斜率kF1P，直线F2P的斜率kF2P，故直线F2P的方程为y(xc)x0时，y，即点Q的坐标为0，.因此，直线F1Q的斜率为kF1Q.由于F1PF1Q，所以kF1PkF1Q1.化简得yx(2a21)将代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y01a2，即点P在定直线xy1上18H7，H82013福建卷 如图15所示，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10，0)，点C的坐标为(0，10)分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，A9和B1，B2，B9，联结OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN*，1i9)(1)求证：点Pi(iN*，1i9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若OCM与OCN的面积比为41，求直线l的方程图1518解：(1)方法一：依题意，过Ai(iN*，1i9)且与x轴垂直的直线方程为xi，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为yx.设Pi的坐标为(x，y)，由得yx2，即x210y.所以点Pi(iN*，1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x210y.方法二：点Pi(iN*，1i9)都在抛物线E：x210y上证明如下：过Ai(iN*，1i9)且与x轴垂直的直线方程为xi，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为yx.由解得Pi的坐标为，因为点Pi的坐标都满足方程x210y，所以点Pi(iN*，1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x210y.(2)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx10.由得x210kx1000.此时100k24000，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则因为SOCM4SOCN，所以|x1|4|x2|.又x1x2b0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_
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