浙江高考数学理二轮专题训练：第1部分 专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形选择、填空题型

高考数学精品复习资料 2019.5 考 点考 情三角函数的概念及诱导公式1.对三角变换公式注重基础考查，并在综合试题中作为一种工具考查，主要考查利用各种三角公式进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想如浙江T6等2.正弦定理和余弦定理及解三角形问题是高考考查的重点，单独命题的频率较高，主要涉及以下几个问题：(1)边和角的计算；(2)三角形形状的判断；(3)面积的计算；(4)有关范围的问题如辽宁T6，天津T6等.同角三角函数基本关系式两角和与差的三角函数倍角公式解三角形问题三角恒等变换与向量相结合问题1(20xx·浙江高考)已知R，sin 2cos ，则tan 2()A.B.C D解析：选C两边平方，再同时除以cos2，得3tan28tan 30，tan 3或tan ，代入tan 2，得到tan 2.2(20xx·辽宁高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且a>b，则B()A. B.C.D.解析：选A由正弦定理可得sin Asin Bcos Csin C·sin Bcos Asin B，因为sin B0，所以sin Acos Csin Ccos A，即sin(AC)，故sin B，因为a>b，所以B.3(20xx·天津高考)在ABC中，ABC，AB，BC3，则sin BAC()A. B.C.D.解析：选C由余弦定理可得AC2922×3××5，所以AC.再由正弦定理得，所以sin A.4(20xx·福建高考)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_解析：因为sinBAC，且ADAC，所以sin，所以cosBAD，在BAD中，由余弦定理，得BD .答案：1两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(±)sin cos ±cos sin .cos(±)cos cos sin sin .tan(±) .(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin cos .cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.2两个定理(1)正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C; sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C.(2)余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos A，cos B，cos C.变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.热点一三角变换与求值例1(1)(20xx·重庆高考)4cos 50°tan 40°()A.B.C. D21(2)若tan，且<<0，则()A BC D.(3)若cos(2)，sin(2)，0<<<<，则的值为_自主解答(1)4cos 50°tan 40°4cos 50°.(2)由tan，得tan .又<<0，所以sin .故2sin .(3)cos(2)且<2<，sin(2).sin(2)且<2<，cos(2).cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)××.< <，.答案(1)C(2)A(3)规律·总结1化简求值的方法与思路三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一，通过三角恒等变换，化繁为简，便于化简求值，其基本思路为：找差异，化同名(同角)，化简求值2解决条件求值应关注的三点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小1在ABC中，若tan Atan Btan Atan B1，则cos C的值是()A B. C. D解析：选B由tan Atan Btan Atan B1，可得1，即tan(AB)1，所以AB，则C，cos C.2已知cos，sin，且<<，0<<，则cos _.解析：因为<<，0<<，则<<，<<0，<<0，所以<<，<<.又cos<0，sin>0，所以<<，0<<.则sin ，cos ，故cos coscoscossinsin××.答案：热点二利用正弦、余弦定理解三角形例2(1)(20xx·湖南高考)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于()A. B. C. D.(2)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a80，b100，A30°，则此三角形()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是直角三角形，也可能是锐角三角形(3)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2 cos 2C，且ab5，c，则ABC的面积为_自主解答(1)由已知及正弦定理得2sin Asin Bsin B，因为sin B>0，所以sin A.又A，所以A.(2)依题意得，sin B<，因此0°<B<60°或120°<B<150°.若0°<B<60°，则C180°(B30°)>90°，此时ABC是钝角三角形；若120°<B<150°，此时ABC仍是钝角三角形因此，此三角形一定是钝角三角形(3)因为4sin2 cos 2C，所以21cos(AB)2cos2C1，22cos C2cos2C1，cos2Ccos C0，解得cos C.根据余弦定理，有cos C，则aba2b27，故3aba2b22ab7(ab)2725718，所以ab6，所以ABC的面积SABCabsin C×6×.答案(1)A(2)C(3)将本例(1)中“2asin Bb”改为“2bcos Bacos Cccos A，且b23ac，角C所对的边长为c”，如何求解？解：因为2bcos Bacos Cccos A，根据正弦定理可得，2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A，即sin 2Bsin(AC)sin B，故B.因为b23ac，所以sin2B3sin Asin C，即23××cos(AC)cos(AC)，得cos(AC)0，即AC或CA，又AC，得A或. 规律·总结解三角形问题的方法(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理；(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理3已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，若acos Casin Cbc，则角A的值为()A30° B45°C60° D120°解析：选C由acos Casin Cbc及正弦定理，得sin Acos C×sin Asin Csin Bsin C，由三角形内角和定理知，sin Acos Csin Asin Csin(AC)sin C，化简得sin Acos A1，即sin(A30°).由于0°<A<180°，所以30°<A30°<150°，所以A30°30°，故A60°.4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a2bcos C”是“ABC是等腰三角形”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选A若a2bcos C，由正弦定理得sin A 2sin B·cos C，即sin(BC)2sin Bcos C，所以sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，即sin Bcos Ccos BsinC0，所以sin(BC)0，即BC，所以ABC是等腰三角形若ABC是等腰三角形，当AB时，a2bcos C不一定成立，所以“a2bcos C”是“ABC是等腰三角形”的充分不必要条件热点三解三角形与实际应用问题例3(1)(20xx·青岛模拟)如图所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan 等于()A.B.C. D.(2)如图所示，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为1 km的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该航船在A处，此时测得ADC30°，3 min后该船行驶至B处，此时测得ACB60°，BCD45°，ADB60°，则船速为_km/min.自主解答(1)由题意，可得在ABC中，AB3.5，AC1.4，BC2.8，且ACB.由余弦定理，可得AB2AC2BC22×AC×BC×cos ACB，即3.521.422.822×1.4×2.8×cos()，解得cos .所以sin .所以tan .(2)法一：(常规思路)在ACD中，有，得AD.在BCD中，有，得BD1.在ABD中，有AB2AD2BD22AD·BDcos 60°2122××1×，所以AB，故船速为 km/min.法二：(特殊思路)由题意，得BDC30°60°90°，又因为BCD45°，所以BCCD.因为ACBADB60°，所以A，B，C，D四点共圆，且以BC为直径，所以ABBC·sin 60°，故船速为 km/min.答案(1)A(2)四步解决解三角形中的实际问题(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案5一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是()A15海里/时 B5海里/时C10海里/时 D20海里/时解析：选C如图，依题意有BAC60°，BAD75°，所以CADCDA15°，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，可得AB5，于是这只船的速度是10海里/时6如图所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.在山脚B处看索道AC，此时张角ABC120°；从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时张角ADC150°；从D处再攀登300米即到达C处，则石竹山这条索道AC的长度为_米解析：在ABD中，BD200米，ABD120°，由ADB30°，得DAB30°.因为，即，所以AD200 米在ADC中，DC300米，ADC150°，所以AC2AD2DC22×AD×DC×cosADC(200)230022×200×300×cos 150°390 000.所以AC100 米答案：100