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三角函数专题复习第一讲学案【知识网络】一、任意角和弧度制及任意角的三角函数【知识梳理】1. 角概念的推广角可以看成平而内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原來的位 置0A,绕着它的端点0按逆时针方向旋转到终止位置0B,就形成角旋转开始时的射线0A叫做角 的始边，0叫终边，射线的端点。叫做叫G的顶点。（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角；我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没冇 做任何旋转，我们称它形成了一个零角。（2）按终边位置不同分为象限角和轴线角。角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第儿象限，我们 就说这个角是第儿彖限角。耍特别注意:如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不屈于任何一个象限，称为 轴线角或非象限角。 象限角及其集合表示：象限角象限角的集合表示第一象限和的集合71a|2k7ta2kn:+ y ,kZ第二彖限角的集合兀a|2k7t+ a2kn+ 龙,k 丘 Z第三象限角的集合3/ra|2k?t十 71 a2k;t+,k G Z第四象限角的集合3兀a|2kn+ aJa2+b2 0 .过P作x轴的垂线,垂足为M，则MPbOMaMPb线段OM 的长度为-线段MP 的长度为/?.WiJsina = = -； cosa = = -； tana = = -oOPrOPrOMa利用单位圆左义任意角的三角函数，设q是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么：(l) y叫做a的止眩，记做sin a,即sin a = y ；x叫做a的余弦，记做cosa Jl|J cos a = x；三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的齐种三角函数值的种图示方法。利用三角函数线在解 决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圜，这个圜就叫做单位圜(注意：这个单位长度不- 定就是1厘米或1米)。当角a为第一彖限角时，则其终边与单位圆必有一个交点P(x,刃，过点P作PM丄兀轴交兀轴于点M,根据三角函数的定义：丨MP kl y hl sin I ； OM 1=1兀l=lco&l。我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角Q的终边不在坐标轴时，以0为始点、M 为终点，规定：当线段OM与a轴同向时，的方向为正向，且有正值兀；当线段OM与兀轴反向时，OM的方 向为负向，且有正值兀：其中兀为P点的横坐标.这样，无论那种情况都有：OM =x = cosa同理，当角&的终边不在兀轴上时，以M为始点、P为终点、,规定：当线段A/D与y轴同向时，的方向为止向，且有止值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正直y：其中y为P点的横坐标。这样,无论那种情况都有：MP = y = snct。像MP、这种被看作帶有方向的线段，叫做有向线段。如上图，过点A(l,()作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴,设它与Q的终边交丁点7请根据正切函数的定义与和似三角形的知识，借助有向线段04、人八我们有：tuna = AT = -兀(1)平方关系：sin2a+cos2a=l; (2)商数关系:sin a=tan acos a我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM AT ,分别叫做角&的正弦线、余弦线、正切线，统称 为三角函数线。三角函数正弦余弦正切定义设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么y叫做a的正弦，记作sinax叫做a的余弦，记作cosay/x叫做a的正切，记作tana各象限 符号I+II+-III-+IV-+-口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦终边相同角三 角函数值(kGZ)(公式一)sin(a+k-2 7t)=sinacos(a+k-2n)=cosatan(a+k-27t)=tana爲三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段0M为余弦线有向线段AT为正切线注：根据三角函数的定义，尸sinx在各象限的符号与此彖限点的纵坐标符号相同：y二cosx在各象限的符号 与此象限点的横坐标符号相同；y=tanx在各象限的符号与此彖限点的纵坐标与横坐标商的符号相同。6.同角三角函数的基木关系【题型梳理】1. 三角函数的定义相关链接（1）己知角a终边上上点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解：（2）己知角a的终边所在的直线方程，则可先设出终边1：一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用 三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的a值。注：若角a的终边落在莫条直线上，一般要分类讨论。K例13已知角a的终边落在直线3x+4y=0 I*.,求sina,cosa,tana的值。2. 象限角、三角函数值符号的判断相关链接（1）熟记各个三角函数在每个彖限内的符号是关键；（2）判断三角函数值的符号就是耍判断角所在的象限；（3）对丁已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号, 再判断角所在象限。K例2（1）如果点P （sin0 cosO,2cos0）位于第三象限，试判断角8所在的象限；sin（cos）（2）若B是第二象限和，则一的符号是什么？3. 已知a所在象限，求（n 2,neN）所在象限 n相关链接a（1）由a所在象限，确定匚所在象限的方法a由a的范围，求出；的范围：a 通过分类讨论把角写成8+k360的形式，然后判断匚所在象限。a（2）由a所在象限，确定三所在象限，也可用如下方法判断: 画出区域：将坐标系每个象限二等分，得8个区域； 标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上I , II, III, IV （如图所示）;致的区域，即为所求。a（3）由a所在象限，确定所在象限，也可用如下方法判断： 画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到12个区域； 标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上I , II, III, IV （如图所示）: 确定区域：找出与角a所在象限标号一致的区域，即为所求。 例题解析K例3若a是第二象限角,a a试分别确定2a、亍的终边所在位置4. 同角三角函数关系的应用1K例4己知(X是三角形的内角，且sina+cosa=|. (1)求uma的值(2)把cosQ sina用tana 表示出來，并求其值。注(1)对于sina+cosa. sinacosa, sina-cosa这三个式子，已知其中一个式了的值，其余二式的值可求。 转化的公式为nacosa)2=l 2 sinacosa; (2)关于sina, cosa的齐次式，往往化为关于tanx的式了。5. 扇形的弧长、面积公式的应用K例5己知一扇形的圆心角是a,所在圆半径是R。(1) 若a=60, R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。(2) 若扇形的周长是一定值C (C0),当a是多少弧度时，该扇形有最大面积？二、三角函数的诱导公式【知识梳理】2.六组诱导公式组数二三四五角2k n +a(kez)7i+a-a7i-a71?a71 +a2正弦sina-sina-sinasinacosacosa余弦cosa cosacosa-cosasina-sina正切tanatana-tana-tana口诀函数名不变 符号看象限函数名改变 符号看象限注：诱导公式可概括为 士a的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变, 符号看象限是指把a看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。【题型梳理】1. 三角函数式的化简相关链接（1）cr + 2MeZ）, -a,a的三和函数值是化简的主要工具。使用诱导公式前，要正确分析角的结构特点，然后确定使用的诱导公式；（2）不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，5,71如：龙+ & = 2龙+（空+ 0）等。注：若Rtf I a出现时，要分&为奇数和偶数讨论。（3）诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了。特殊角能求值则求值；（4）化简是一种不能指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数的种类少、次数低、能求 出值的要求出值、无根式、无分式等。sin伙兀一a)cos(k-l)-a、K例1化简:(k g Z) sin(R +l)7r + acos 伙;r + a)2. 三角函数的求值相关链接(1) 六个诱导公式和同角三角函数的关系是求值的基础：(2) 已知一个角的三角函数值，求其他角三角函数值时，要注意对角化简，一般是把已知和所求同时化 简，化为同一个角的三角函数，然后求值。冗兀sin(/r-a) + cos(Q + 7r)K例2已知cos(+ q) = 2sin(a), 求石 的值。225cos(-a) + 3sin(T-a)3. 诱导公式在三角形中的应用K例 3在4ABC 中，若 sin(2 n-A)=-V2 sin( n-p), V3cosA=-V2 cos( n-0),求 A ABC 的三内角。注：在AABC中常用的变形结论有：A B C 兀VA+B+C=tc, 2A+2B+2C=27t, y + y + y =,sin(A +B)=sin(7r-C)=sinC;cos(A+B)=cos(7t-C)=-cosC;tan(A+B)=tan(n-C)=-tanC;sin(2A+2B)=sin(2 兀-2C)=-sin2C;cos(2A+2B)= cos(2n-2C)=cos2C;tan(2A+2B)=tan(27i-2C)=-tan2C;AB 7i sin(y + y)=sin(yA B 7C C Ccos( y+ y )=cos( )=sin .以上结论应在熟练应用的基础上加强记忆。K例 4是杏存在 aS (, y ), pG (0, 7t)f i?式 sin(3z)=血 cos(亍卩)，3 cos(-a)= cos(7t+p)同时成立？若存在，求岀a,卩的值；若不存在，请说明理由。注：已知角a的三角函数值求角a的般步骤是：(1) 由三角函数值的符号确定角a所卞的彖限：(2) 据角a所在的象限求出角a的最小一正角；(3) 最后利用终边相同的角弓出角a的一般表达式。
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