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高考数学精品复习资料 2019.5 第一节第一节 函数及其表示函数及其表示 考纲传真 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段) (对应学生用书第 7 页) 基础知识填充 1 函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A、B 设A，B是两个非空数集 设A，B是两个非空集合 对应关系 f：AB 如果按照某个对应关系f，对集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应 集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应 名称 称f：AB为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射 记法 yf(x)，xA 对应f：AB是一个映射 2. 函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数yf(x)，xA中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合f(x)|xA叫作函数的值域 (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域 (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法 3分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 知识拓展 求函数定义域的依据 (1)整式函数的定义域为 R R； (2)分式的分母不为零； (3)偶次根式的被开方数不小于零； (4)对数函数的真数必须大于零； (5)正切函数ytan x的定义域为x xk2，kZ Z； (6)x0中x0； (7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求 基本能力自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数是特殊的映射( ) (2)函数y1 与yx0是同一个函数( ) (3)与x轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点( ) (4)分段函数是两个或多个函数( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)函数y 2x31x3的定义域为( ) A32， B(，3)(3，) C32，3 (3，) D(3，) C C 由题意知 2x30，x30，解得x32且x3. 3(20 xx西安模拟)已知函数f(x) 2x，x1log12x，x1则ff(4)_. 【导学号：00090012】 1 14 4 f(4)log1242，所以ff(4)f(2)2214. 4(20 xx全国卷)已知函数f(x)ax32x的图像过点(1,4)，则a_. 2 f(x)ax32x的图像过点(1,4)， 4a(1)32(1)，解得a2. 5给出下列四个命题： 函数是其定义域到值域的映射； f(x)x3 2x是一个函数； 函数y2x(xN N)的图像是一条直线； f(x)lg x2与g(x)2lg x是同一个函数 其中正确命题的序号是_ 由函数的定义知正确 满足 x30，2x0的x不存在，不正确 y2x(xN N)的图像是位于直线y2x上的一群孤立的点， 不正确 f(x)与g(x)的定义域不同，也不正确 (对应学生用书第 8 页) 求函数的定义域 (1)(20 xx深圳模拟)函数yx2x2ln x的定义域为( ) A(2,1) B2,1 C(0,1) D(0,1 (2)(20 xx郑州模拟)若函数yf(x)的定义域为0,2， 则函数g(x)fxx1的定义域是_ (1)C C (2)0,1) (1)由题意得 x2x20ln x0 x0，解得 0 x1，故选 C (2)由 02x2，得 0 x1，又x10，即x1， 所以 0 x1，即g(x)的定义域为0,1) 规律方法 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解 2(1)若已知f(x)的定义域为a，b，则f(g(x)的定义域可由ag(x)b求出； (2)若已知f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域 变式训练 1 (1)函数f(x) 12x1x3的定义域为( ) A(3,0 B(3,1 C(，3)(3,0 D(，3)(3,1 (2)已知函数f(2x)的定义域为1,1，则f(x)的定义域为_ (1 1)A A (2 2) 1 12 2，2 2 (1)由题意， 自变量x应满足 12x0，x30，解得 x0，x3，3x0. (2)f(2x)的定义域为1,1， 122x2，即f(x)的定义域为12，2 . 求函数的解析式 (1)已知f2x1 lg x，求f(x)的解析式 (2)已知f(x)是二次函数且f(0)2，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式 (3)已知f(x)2f1xx(x0)，求f(x)的解析式 解 (1)令2x1t，由于x0，t1 且x2t1， f(t)lg2t1，即f(x)lg2x1(x1) (2)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即 2axabx1， 2a1，ab1，即 a12，b32，f(x)12x232x2. (3)f(x)2f1xx，f1x2f(x)1x. 联立方程组 fx2f1xx，f1x2fx1x， 解得f(x)23xx3(x0) 规律方法 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法； (2)换元法： 已知复合函数f(g(x)的解析式， 可用换元法， 此时要注意新元的取值范围； (3)构造法：已知关于f(x)与f1x或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)； (4)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，即得f(x)的表达式 变式训练 2 (1)已知f(x1)x2x，则f(x)_. 【导学号：00090013】 (2)已知f(x)是一次函数，且 2f(x1)f(x1)6x，则f(x)_. (3)已知函数f(x)满足f(x)2f(x)2x，则f(x)_. (1)x21(x1) (2)2x23 (3)2x12x3 (1)(换元法)设x1t(t1)，则xt1，所以f(t)(t1)22(t1)t21(t1)，所以f(x)x21(x1) (配凑法)f(x1)x2x(x1)21， 又x11，f(x)x21(x1) (2)f(x)是一次函数， 设f(x)kxb(k0)， 由 2f(x1)f(x1)6x，得 2k(x1)bk(x1)b6x，即 3kxk3b6x， 3kk3b0， k2，b23，即f(x)2x23. (3)由f(x)2f(x)2x， 得f(x)2f(x)2x， 2，得 3f(x)2x12x. 即f(x)2x12x3. f(x)的解析式为f(x)2x12x3. 分段函数及其应用 角度 1 求分段函数的函数值 (1)(20 xx湖南衡阳八中一模)若f(x) 13x，x0，log3x，x0，则ff19( ) A2 B3 C9 D9 (2)(20 xx东北三省四市一联)已知函数f(x)的定义域为(， )， 如果f(x2 016) 2sin x，x0，x，x0，那么f2 0164f(7 984)( ) A2 016 B14 C4 D12 016 (1 1)C C (2 2)C C (1)f(x) 13x ，x0，log3x，x0，f19log3192，ff19f(2)1329.故选 C (2)当x0 时，有f(x2 016) 2sin x，f2 0164 2sin41；当x0 时，f(x2 016)lg(x)，f(7 984)f(10 0002 016)lg 10 0004，f2 0164f(7 984)144，故选 C 角度 2 已知分段函数的函数值求参数 (1)(20 xx成都二诊)已知函数f(x) log2x，x1，x2m2，x1，若f(f(1)2，则实数m的值为( ) A1 B1 或1 C 3 D 3或 3 (2)设函数f(x) 3xb，x1，2x，x1.若ff564，则b( ) A1 B78 C34 D12 (1)D D (2 2)D D (1)f(f(1)f(1m2)log2(1m2)2，m23，解得m 3，故选D (2)f56356b52b， 若52b32， 则 352bb1524b4， 解得b78，不符合题意，舍去；若52b1，即b32，则 252b4，解得b12. 角度 3 解与分段函数有关的方程或不等式 (1)(20 xx石家庄一模)已知函数f(x) sinx2，1x0，log2x，0 x1，且f(x)12，则x的值为_. 【导学号：00090014】 (2)(20 xx全国卷)设函数f(x) ex1，x1，x13，x1，则使得f(x)2 成立的x的取值范围是_ (1)13 (2)(，8 (1)当1x0 时，f(x)sinx212，解得x13； 当 0 x1 时，f(x)log2(x1)(0,1)，此时f(x)12无解，故x的值为13. (2)当x1 时，x10，ex1e012， 当x1 时满足f(x)2. 当x1 时，x132，x238，1x8. 综上可知x(，8 规律方法 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值 2已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围 易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论
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