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高考数学精品复习资料2019.5课时达标检测（三十四）课时达标检测（三十四）空间几何体的三视图、直观图空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积表面积与体积小题对点练小题对点练点点落实点点落实对点练对点练(一一)空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图1给出下列四个命题：给出下列四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；长方体一定是正四棱柱长方体一定是正四棱柱其中正确的命题个数是其中正确的命题个数是()A0B1C2D3解析：解析：选选 A直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；底面是等腰梯底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；形的直棱柱，满足条件但不是长方体；显然错误，故选显然错误，故选 A.2(20 xx广州六校联考广州六校联考)已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列给出下列 5 个图个图形：形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数为其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数为()A5B4C3D2解析：解析：选选 B由题知可以作为该几何体的俯视图的图形可以为由题知可以作为该几何体的俯视图的图形可以为.故选故选 B.3在如图所示的空间直角坐标系在如图所示的空间直角坐标系 O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)给出编号为给出编号为的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为别为()A和和B和和C和和D和和解析：解析：选选 D由题意得，该几何体的正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别由题意得，该几何体的正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别是是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)，且内有一条虚线且内有一条虚线(一顶点与另一直角边中点的连线一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是故正视图是； 俯视图即在底面的射影俯视图即在底面的射影， 是一个斜三角形是一个斜三角形， 三个顶点的坐标分别是三个顶点的坐标分别是(0,0,0)， (2,2,0)， (1,2,0)，故俯视图是故俯视图是.4.如图如图， OAB是是OAB 的水平放置的直观图的水平放置的直观图， 其中其中 OAOB2，则，则OAB 的面积是的面积是_解析解析：在在 RtOAB 中中，OA2，OB4，OAB 的面积的面积 S12244.答案：答案：45一个圆台上一个圆台上、下底面的半径分别为下底面的半径分别为 3 cm 和和 8 cm，若两底面圆心的连线长为若两底面圆心的连线长为 12 cm，则这个圆台的母线长为则这个圆台的母线长为_cm.解析：解析：如图，过点如图，过点 A 作作 ACOB，交，交 OB 于点于点 C.在在 RtABC 中，中，AC12 cm，BC835(cm)AB 1225213(cm)答案：答案：13对点练对点练(二二)空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积1已知圆锥的表面积为已知圆锥的表面积为 a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是()A.a2B.3a3C.2 3a3D.2 3a3解析解析：选选 C设圆锥的底面半径为设圆锥的底面半径为 r，母线长为母线长为 l，由题意知由题意知 2rl，l2r，则圆锥则圆锥的表面积的表面积 S表表r212(2r)2a，r2a3，2r2 3a3.2(20 xx全国卷全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90B63C42D36解析：解析：选选 B由题意知，该几何体由底面半径为由题意知，该几何体由底面半径为 3，高为，高为 10 的圆柱截去底面半径为的圆柱截去底面半径为 3，高为高为 6 的圆柱的一半所得，故其体积的圆柱的一半所得，故其体积 V32101232663.3 (20 xx湖北四校联考湖北四校联考)已知某几何体的三视图如图所示已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的表面积为则该几何体的表面积为()A16B(10 5)C4(5 5)D6(5 5)解析：解析：选选 C该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体，其表面积为该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体，其表面积为 S44 54(5 5).4(20 xx山东高考山东高考)由一个长方体和两个由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为何体的体积为_解析：解析：该几何体由一个长、宽、高分别为该几何体由一个长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体和两个底面半径为的长方体和两个底面半径为 1，高为，高为 1的四分之一圆柱体构成，的四分之一圆柱体构成，V21121412122.答案：答案：225我国古代数学名著我国古代数学名著数书九章数书九章中有中有“天池盆测雨天池盆测雨”题题：在下雨时在下雨时，用一个圆台形用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸寸(注：注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸一尺等于十寸)解析：解析：由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为 V13h(r2中中r2下下r中中r下下)39(10262106)588(立方寸立方寸)，降雨量为，降雨量为V1425881963(寸寸)答案：答案：36(20 xx合肥市质检合肥市质检)高为高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的_解析：解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为由侧视图、俯视图知该几何体是高为 2、底面积为、底面积为122(24)6 的四棱锥的四棱锥，其体积为其体积为13624.而直三棱柱的体积为而直三棱柱的体积为122248， 则该几何体的体积是原直三棱柱则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的的体积的12.答案：答案：12对点练对点练(三三)与球有关的切、接应用问题与球有关的切、接应用问题1在三棱锥在三棱锥 A BCD 中，侧棱中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，两两垂直，ABC，ACD，ADB 的的面积分别为面积分别为22，32，62，则该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥外接球的表面积为()A2B6C4 6D24解析：解析：选选 B设相互垂直的三条侧棱设相互垂直的三条侧棱 AB，AC，AD 分别为分别为 a，b，c 则则12ab22，12bc32，12ac62，解得，解得 a 2，b1，c 3.所以三棱锥所以三棱锥 A BCD 的外接球的直径的外接球的直径 2Ra2b2c2 6，则其外接球的表面积，则其外接球的表面积 S4R26.2已知正四面体的棱长为已知正四面体的棱长为 2，则其外接球的表面积为，则其外接球的表面积为()A8B12C.32D3解析：解析：选选 D如图所示，过顶点如图所示，过顶点 A 作作 AO底面底面 BCD，垂足为，垂足为 O，则则 O 为正三角形为正三角形 BCD 的中心，连接的中心，连接 DO 并延长交并延长交 BC 于点于点 E，又正四，又正四面体的棱长为面体的棱长为 2，所以，所以 DE62，OD23DE63，所以在直角三角，所以在直角三角形形AOD 中，中，AO AD2OD22 33.设正四面体外接球的球心为设正四面体外接球的球心为 P，半径为，半径为 R，连接，连接 PD，则，则在直角三角形在直角三角形 POD 中中，PD2PO2OD2，即即 R22 33R2632，解得解得 R32，所以外所以外接球的表面积接球的表面积 S4R23.3(20 xx湖北七市湖北七市(州州)联考联考)一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为为()A36B.1123C32D28解析：解析：选选 B根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为长为 4 的正方形的正方形，高是高是 2 3.将该四棱锥补形成一个三棱柱将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示如图所示，则其底则其底面是边长为面是边长为 4 的正三角形的正三角形，高是高是 4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球，其中心到三棱柱其中心到三棱柱 6 个顶点的距离即为该四棱锥外接球的半径个顶点的距离即为该四棱锥外接球的半径 三棱柱的底面三棱柱的底面是边长为是边长为 4 的正三角形，的正三角形，底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为232 34 33，外接球的半径外接球的半径 R4 33222283，外接球的表面积，外接球的表面积 S4R242831123，故选，故选 B.4.(20 xx陕西西工大附中训练陕西西工大附中训练)如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P ABCD 中，底中，底面面ABCD 是边长为是边长为 m 的正方形，的正方形，PD底面底面 ABCD，且，且 PDm，PAPC2m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是_解析解析：由由 PD底面底面 ABCD，得得 PDAD.又又 PDm，PA 2m，则则 ADm.设内切球的设内切球的球心为球心为 O，半径为半径为 R，连接连接 OA，OB，OC，OD，OP(图略图略)，易知易知 VP ABCDVO ABCDVO PADVO PABVO PBCVO PCD，即即13m2m13m2R1312m2R1312 2m2R1312 2m2R1312m2R，解得，解得 R12(2 2)m，所以此球的最大半径是，所以此球的最大半径是12(2 2)m.答案：答案：12(2 2)m大题综合练大题综合练迁移贯通迁移贯通1有一根长为有一根长为 3 cm，底面半径为，底面半径为 1 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？解：解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形 ABCD(如图如图)，由题意，由题意知知BC3 cm，AB4 cm，点，点 A 与点与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度即为的长度即为铁丝的最短长度铁丝的最短长度AC AB2BC25(cm)故铁丝的最短长度为故铁丝的最短长度为 5 cm.2.一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为 1的平行四边形的平行四边形，侧视图是一个长为侧视图是一个长为 3、宽为宽为 1 的矩形的矩形，俯视图为俯视图为两个边长为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形的正方形拼成的矩形(1)求该几何体的体积求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的表面积求该几何体的表面积 S.解解：(1)由三视图可知由三视图可知，该几何体是一个平行六面体该几何体是一个平行六面体(如图如图)，其底其底面是边长为面是边长为 1 的正方形，高为的正方形，高为 3.所以所以 V11 3 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面平面 ABCD，CD平面平面 BCC1B1，所以所以 AA12，侧面，侧面 ABB1A1，CDD1C1均为矩形均为矩形S2(111 312)62 3.3一个正三棱锥的底面边长为一个正三棱锥的底面边长为 6，侧棱长为，侧棱长为 15，求这个三棱锥的体积，求这个三棱锥的体积解：解：正三棱锥正三棱锥 S ABC 如图所示，如图所示，设设 H 为正三角形为正三角形 ABC 的中心，连接的中心，连接 SH，则，则 SH 的长即为该正三棱锥的高的长即为该正三棱锥的高连接连接 AH 并延长交并延长交 BC 于点于点 E，则则 E 为为 BC 的中点，且的中点，且 AEBC.ABC 是边长为是边长为 6 的正三角形，的正三角形，AE3263 3，AH23AE2 3.在在ABC 中，中，SABC12BCAE1263 39 3.在在 RtSHA 中，中，SA 15，AH2 3，SH SA2AH2 1512 3，V正三棱锥正三棱锥13SABCSH139 3 39.
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