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专题04 导数的运算及几何意义一、基础过关题1.（2018全国卷III）曲线在点处的切线的斜率为，则_【答案】【解析】，则，所以.2(2016四川)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a等于()A4 B2 C4 D2【答案】D 3(2017哈尔滨调研)函数f(x)x2ln x的最小值为()A. B1 C0 D不存在【答案】A【解析】f(x)x且x0.令f(x)0，得x1.令f(x)0，得0x1.f(x)在x1处取得极小值也是最小值，f(1)ln 1.4方程x36x29x100的实根个数是()A3 B2 C1 D0【答案】C【解析】设f(x)x36x29x10，则f(x)3x212x93(x1)(x3)，由此可知函数的极大值为f(1)60，极小值为f(3)100，所以方程x36x29x100的实根个数为1，故选C.5当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3 B6，C6，2 D4，3【答案】C 6已知f(x)，g(x) (g(x)0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)，且f(3)0，则0的解集为()A(，3)(3，)B(3,0)(0,3)C(3,0)(3，)D(，3)(0,3)【答案】C【解析】由已知得，是奇函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)，0，则在(，0)上为减函数，在(0，)上也为减函数又f(3)0，则有0，可知0的解集为(3，0)(3，)故选C.7若函数f(x)2xsin x对任意的m2,2，f(mx3)f(x)0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在，e上的最大值【答案】(1) (2) f(x)maxf(1).二、能力提高题1(2016郴州模拟)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x)1，f(0)4，则不等式exf(x)ex3(其中e为自然对数的底数)的解集为_【答案】(0，)【解析】设g(x)exf(x)ex(xR)，则g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1，f(x)f(x)1，f(x)f(x)10，g(x)0，yg(x)在定义域上单调递增，exf(x)ex3，g(x)3，又g(0)e0f(0)e0413，g(x)g(0)，x0. 2已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0且x00，则a的取值范围是_【答案】(，2) 3(2016兰州模拟)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(x2)为偶函数，f(4)1，则不等式f(x)ex的解集为()A(2，) B(0，)C(1，) D(4，)【答案】B【解析】f(x2)为偶函数，f(x2)的图象关于x0对称，f(x)的图象关于x2对称，f(4)f(0)1.设g(x)(xR)，则g(x)，又f(x)f(x)，g(x)0(xR)，函数g(x)在定义域上单调递减，f(x)exg(x)1，而g(0)1，f(x)exg(x)0，故选B.4(2017合肥质检)直线xt分别与函数f(x)ex1的图象及g(x)2x1的图象相交于点A和点B，则AB的最小值为()A2 B3C42ln 2 D32ln 2【答案】C【解析】由题意得，AB|ex1(2x1)|ex2x2|，令h(x)ex2x2，则h(x)ex2，所以h(x)在(，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，所以h(x)minh(ln 2)42ln 20，即AB的最小值是42ln 2，故选C.5(2015课标全国)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)【答案】A 6已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1C2,1 D2,0【答案】D【解析】|f(x)|ax成立由(1)得x(x2)ax在区间(，0上恒成立当x0时，aR；当x0时，有x2a恒成立，所以a2.故a2. 7(2016东北师大附中、吉林一中等五校联考)已知函数f (x)exaxa(aR且a0)(1)若f(0)2，求实数a的值，并求此时f(x)在2,1上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围【答案】(1) 最小值2. (2) 实数a的取值范围是e2a0. 当a0时，f(x)0，f(x)是增函数，当x1时，f(x)exa(x1)0.当x0时，取x，则f()1a(1)a0.所以函数f(x)存在零点，不满足题意当a0时，f(x)exa，令f(x)0，得xln(a)在(，ln(a)上，f(x)0，f(x)单调递增，所以当xln(a)时，f(x)取最小值函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0.综上所述，所求实数a的取值范围是e2a0），则年总产值为4k800（4sincos+cos）+3k1600（cossincos）=8000k（sincos+cos），0，）设f（）= sincos+cos，0，），则令，得=，当（0，）时，所以f（）为增函数；当（，）时，所以f（）为减函数，因此，当=时，f（）取到最大值答：当=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大点评本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力9（2018江苏高考19）记分别为函数的导函数若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由【解析】（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f（x）=1，g（x）=2x+2由f（x）=g（x）且f（x）= g（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点（3）对任意a0，设因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在（0，1），使得，令，则b0函数，则由f（x）=g（x）且f（x）=g（x），得，即（*）此时，满足方程组（*），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”因此，对任意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”点评：本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力10（2018全国高考I卷21）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.11、（2018高考北京卷18）设函数=（）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；（）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围（）由（）得f （x）=ax2（2a+1）x+2ex=（ax1）(x2)ex若a，则当x(，2)时，f (x)0所以f (x)0在x=2处取得极小值若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10所以2不是f (x)的极小值点综上可知，a的取值范围是（，+）12（2018高考浙江卷22）已知函数f(x)=lnx（）若f(x)在x=x1，x2(x1x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)88ln2；（）若a34ln2，证明：对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点所以x（0，16）16（16，+）-0+2-4ln2所以g（x）在256，+）上单调递增，故，即（）令m=，n=，则f（m）kma|a|+kka0，f（n）kna0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点点评本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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