高考数学一轮复习 第七章 立体几何与空间向量 第5节 直线、平面垂直的判定与性质练习 新人教A版

第七章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质基础训练组1(导学号14577673)(2018·南阳、信阳等六市一模)设直线m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是()A若m，n，mn，则B若m，n，mn，则C若m，n，mn，则D若m，n，mn，则解析：D若m，n，mn，则、位置关系不确定，选项A不正确；若m，则中存在直线c与m平行，mn，n，则c，又c，选项B不正确；若m，n，mn，则、可以相交，选项C不正确；若m，mn，n，选项D正确故选D.2(导学号14577674)已知平面与平面相交，直线m，则()A内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直解析：C如图，在平面内的直线若与，的交线a平行，则有m与之垂直但却不一定在内有与m平行的直线，只有当时才存在3(导学号14577675)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90°，BC1AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上 DABC的内部解析：A连接AC1，ACAB，ACBC1，ABBC1B，AC平面ABC1，又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC，点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.4(导学号14577676)如图，在四面体DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列结论正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE解析：C因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE，所以选C.5(导学号14577677)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A. B.C. D.解析：B取正三角形ABC的中心O，连接OP，则PAO是PA与平面ABC所成的角因为底面边长为，所以AD×，AOAD×1.三棱柱的体积为×()2×AA1，解得AA1，即OPAA1，所以tanPAO，即PAO.6(导学号14577678)设，是空间中两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同直线从“mn；n；m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_(填序号)解析：因为当n，m时，平面及所成的二面角与直线m，n所成的角相等或互补，所以若mn，则，从而由正确；同理也正确答案：或7(导学号14577679)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BDPC.所以当DMPC时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，所以平面MBD平面PCD.答案：DMPC(答案不唯一)8(导学号14577680)(理科)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；直线AB与a所成角的最小值为45°；直线AB与a所成角的最大值为60°；其中正确的是_.(填写所有正确结论的编号)解析：由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由ACa，ACb，又AC圆锥底面，在底面内可以过点B，作BDa，交底面圆C于点D，如图所示，连结DE，则DEBD，DEb，连结AD，等腰ABD中，ABAD，当直线AB与a成60°角时，ABD60°，故BD，又在RtBDE中，BE2，DE，过点B作BFDE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性可知BFDE，ABF为等边三角形，ABF60°，即AB与b成60°角，正确，错误由最小角定理可知正确；很明显，可以满足平面ABC直线a，直线AB与a所成的最大角为90°，错误正确的说法为.答案：8(导学号14577681)(文科)如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确结论的序号是_.解析：由题意知PA平面ABC，PABC.又ACBC，PAACA，BC平面PAC.BCAF.AFPC，BCPCC，AF平面PBC，AFPB，AFBC.又AEPB，AEAFA，PB平面AEF.PBEF.故正确答案：9(理科)(2018·丹东市二模)直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都等于2，点F是棱BC中点，点E在棱CC1上，且CC14CE.(1)求证：平面B1AF平面EAF；(2)求点C1到平面AEF的距离解：(1)证明：在B1BF和FCE中，由题意知2，B1BFFCE，所以B1BFFCE，EFCBB1F，所以B1FBEFCB1FBBB1F，即B1FEF.由直棱柱的性质知，底面ABC侧面BB1C1C，F为BC中点，所以AFBC，所以AF侧面BB1C1C，则AFEF，所以EF平面B1AF，从而平面B1AF平面EAF.(2)如图，连结AC1，C1F，设点C1到平面AEF的距离为d，经计算SAEF，SAEC1，FG，由V三棱锥C1AFEV三棱锥FAEC1得·SAEF·d·SAEC1·，解得d，点C1到平面AEF的距离为.9(导学号14577682)(文科)(2017·高考全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90°.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90°，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积解：(1)证明：由已知BAPCDP90°，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx.故四棱锥PABCD的体积VPABCDAB·AD·PEx3.由题设得x3，故x2.从而PAPD2，ADBC2，PBPC2.可得四棱锥PABCD的侧面积为PA·PDPA·ABPD·DCBC2sin 60°62.10(导学号14577683)(理科)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1的中点(1)求证：AB1BF；(2)求证：AEBF；(3)棱CC1上是否存在点P，使BF平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由解：(1)证明：连接A1B，则AB1A1B，又AB1A1F，且A1BA1FA1，AB1平面A1BF.又BF平面A1BF，AB1BF.(2)证明：取AD中点G，连接FG，BG，则FGAE，又BAGADE，ABGDAE.AEBG.又BGFGG，AE平面BFG.又BF平面BFG，AEBF.(3)存在取CC1中点P，即为所求连接EP，AP，C1D，EPC1D，C1DAB1，EPAB1.由(1)知AB1BF，BFEP.又由(2)知AEBF，且AEEPE，BF平面AEP.10(导学号14577684)(文科)(2018·开封市一模)如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90°，CDAB，ADCDAB2，点E为AC中点将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示(1)在CD上找一点F，使AD平面EFB；(2)求三棱锥DABC的高解：(1)取CD的中点F，连结EF，BF，在ACD中，因为E，F分别为AC，DC的中点，所以EF为ACD的中位线，所以ADEF，EF平面EFB，AD平面EFB所以AD平面EFB.(2)设点C到平面ABD的距离为h，因为平面ADC平面ABC，且BCAC，所以BC平面ADC，所以BCAD，而ADDC，所以AD平面BCD，即ADBD.所以SADB2，所以三棱锥BACD的高BC2，SACD2，所以×2h×2×2，所以可解得h2.能力提升组11(导学号14577685)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.则以下命题中，错误的是()A点H是A1BD的垂心BAH垂直于平面CB1D1CAH延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为45°解析：D对于A，由于AA1ABAD，所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1，B，D的距离相等，即点H是A1BD的外心，而A1BA1DBD，故点H是A1BD的垂心，命题A是真命题；对于B，由于B1D1BD，CD1A1B，故平面A1BD平面CB1D1，而AH平面A1BD，从而AH平面CB1D1，命题B是真命题；对于C，由于AH平面CB1D1，因此AH的延长线经过点C1，命题C是真命题；对于D，由C知直线AH即是直线AC1，又直线AA1BB1，因此直线AC1和BB1所成的角就等于直线AA1与AC1所成的角，即A1AC1，而tanA1AC1，因此命题D是假命题12(导学号14577686)在边长为1的菱形ABCD中，ABC60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD1，则二面角BACD的余弦值为()A. B.C. D.解析：A在菱形ABCD中，连接BD交AC于O点，则ACBD，在折起后的图中，由四边形ABCD为菱形且边长为1，则DOOB，由于DOAC，BOAC，因此DOB就是二面角BACD的平面角，由BD1得cos DOB.13(导学号14577687)(理科)如图，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是_.(写出所有正确说法的序号)不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN平面DEC；不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAE；不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAB；在折起过程中，一定存在某个位置，使ECAD.解析：由已知，在未折叠的原梯形中，ABDE，BEAD，所以四边形ABED为平行四边形，所以BEAD，折叠后如图所示过点M作MPDE，交AE于点P，连接NP.因为M，N分别是AD，BE的中点，所以点P为AE的中点，故NPEC.又MPNPP，DECEE，所以平面MNP平面DEC，故MN平面DEC，正确；由已知，AEED，AEEC，所以AEMP，AENP，又MPNPP，所以AE平面MNP，又MN平面MNP，所以MNAE，正确；假设MNAB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE平面MNBA，AD平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，错误；当ECED时，ECAD.因为ECEA，ECED，EAEDE，所以EC平面AED，AD平面AED，所以ECAD，正确答案：13(导学号14577688)(文科)(2018·泉州市一模)如图，一张A4纸的长、宽分别为2a,2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体，关于该多面体的下列命题，正确的是_.(写出所有正确命题的序号)该多面体是三棱锥；平面BAD平面BCD；平面BAC平面ACD；该多面体外接球的表面积为5a2.解析：长、宽分别为2a,2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体，则由于(a)2(a)24a2，该多面体是以A，B，C，D为顶点的三棱锥，正确；APBP，APCP，AP平面BCD，AP平面BAD，平面BAD平面BCD，正确；与同理，可得平面BAC平面ACD，正确；该多面体外接球的半径为a，表面积为5a2，正确答案：14(导学号14577689)(理科)(2018·西安市一模)如图1：在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，ABBC2，AD6，CEAD于E点，把DEC沿CE折到DEC的位置，使DA2，如图2：若G，H分别为DB，DE的中点(1)求证：GH平面ADC；(2)求平面DAB与平面DCE的夹角解：(1)证明：在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，ABBC2，AD6，CEAD于E点，把DEC沿CE折到DEC的位置，使DA2，AECE2，DE624，DA2AE2DE2，CD2，ADAE.ADAB，AEABA，AD平面ABCE，平面ADC平面ABCE.又因为ABCE是正方形，BEAC，BE平面ACD.G，H分别为DB，DE的中点，GHBE，GH平面ADC.(2)如图，过点D作直线mAB.ABEC，直线m就是平面DAB与平面DCE的交线CEAE，平面AED平面ABCE，且交于AE，CEDE，即DEm.ADAB，ADm，AD平面ADB，DEDCE，ADE就是平面DAB与平面DCE的夹角的平面角在直角三角形ADE中，AE2，DE4，可得ADE30°.即平面DAB与平面DCE的夹角为30°.14(导学号14577690)(文科)(2018·广州市一模)如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体(1)求证：AB平面ADC；(2)若AD1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离解：(1)证明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，又BDDC，DC平面ABD.AB平面ABD，DCAB.又折叠前后均有ADAB，DCADD，AB平面ADC.(2)由(1)知DC平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，即CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角依题意tanCAD，AD1，CD.设ABx(x0)，则BD.ABDBDC，即，解得x，故AB，BD，BC3.由于AB平面ADC，ABAC，E为BC的中点，由平面几何知识得AE，同理DE，SADE×1×.DC平面ABD，VABCDCD·SABD.设点B到平面ADE的距离为d，则d·SADEVBADEVABDEVABCD，d，即点B到平面ADE的距离为.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375