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1 第第 6 6 讲讲 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.(2017合肥模拟)在ABC中，AB 3，AC1，B30， ABC的面积为32， 则C( ) A.30 B.45 C.60 D.75 解析 法一 SABC12ABACsin A32， 即12 31sin A32，sin A1， 由A(0，180)，A90，C60.故选 C. 法二 由正弦定理，得sin BACsin CAB，即12sin C3， sin C32，又C(0，180)，C60或C120. 当C120时，A30， SABC3432(舍去).而当C60时，A90， SABC32，符合条件，故C60.故选 C. 答案 C 2.在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A23，a2，b2 33，则B等于( ) A.3 B.56 C.6或56 D.6 解析 A23，a2，b2 33， 由正弦定理asin Absin B可得， sin Bbasin A2 3323212. A23，B6. 答案 D 2 3.(2017成都诊断)在ABC中，cos2B2ac2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 解析 因为 cos2B2ac2c， 所以 2cos2B21acc1，所以 cos Bac， 所以a2c2b22acac，所以c2a2b2. 所以ABC为直角三角形. 答案 B 4.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“ab”是“cos 2A cos 2B”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 因为在ABC中，absin Asin Bsin2Asin2B2sin2A2sin2B12sin2A12sin2Bcos 2Acos 2B.所以“ab”是“cos 2Acos 2B”的充分必要条件. 答案 C 5.(2016山东卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，则A( ) A.34 B.3 C.4 D.6 解析 在ABC中，由bc，得 cos Ab2c2a22bc2b2a22b2，又a22b2(1sin A)，所以cos Asin A， 即 tan A1，又知A(0，)，所以A4，故选 C. 答案 C 二、填空题 6.(2015重庆卷)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2， cos C14，3sin A2sin B，则c_. 解析 由 3sin A2sin B及正弦定理， 得 3a2b， 又a2， 所以b3， 故c2a2b22abcos C492231416，所以c4. 3 答案 4 7.(2017江西九校联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a1，b 3，则SABC_. 解析 因为角A，B，C依次成等差数列，所以B60.由正弦定理，得1sin A3sin 60，解得 sin A12，因为 0A180，所以A30或 150(舍去)，此时C90，所以SABC12ab32. 答案 32 8.(2016北京卷)在ABC中，A23，a 3c，则bc_. 解析 在ABC中，a2b2c22bccos A， 将A23，a 3c代入， 可得( 3c)2b2c22bc12， 整理得 2c2b2bc. c0，等式两边同时除以c2， 得 2bc2bc， 可解得bc1. 答案 1 三、解答题 9.(2015天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3 15，bc2，cos A14. (1)求a和 sin C的值； (2)求 cos2A6的值. 解 (1)在ABC中，由 cos A14，可得 sin A154. 由SABC12bcsin A3 15， 得bc24，又由bc2，解得b6，c4. 4 由a2b2c22bccos A，可得a8. 由asin Acsin C，得 sin C158. (2)cos2A6cos 2Acos 6sin 2Asin6 32(2cos2A1)122sin Acos A157 316. 10.(2015全国卷)在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD2DC. (1)求sin Bsin C； (2)若BAC60，求B. 解 (1)由正弦定理得 ADsin BBDsinBAD，ADsin CDCsinCAD. 因为AD平分BAC，BD2DC，所以sin Bsin CDCBD12. (2)因为C180(BACB)，BAC60，所以 sin Csin(BACB)32cos B12sin B. 由(1)知 2sin Bsin C，所以 tan B33， 即B30. 11.(2017郑州调研)在ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则A的取值范围是( ) A.0，6 B.6， C.0，3 D.3， 解析 由已知及正弦定理有a2b2c2bc， 由余弦定理可知a2b2c22bccos A， 于是b2c22bccos Ab2c2bc，cos A12， 在ABC中，A(0，). 由余弦函数的性质，得 0A3. 答案 C 12.在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若SABC2 3，ab6，acos Bbcos Ac2cos C，则c( ) 5 A.2 7 B.4 C.2 3 D.3 3 解析 acos Bbcos Ac2cos C， 由正弦定理， 得 sin Acos Bcos Asin B2sin Ccos C， sin(AB)sin C2sin Ccos C， 由于 0C，sin C0，cos C12，C3， SABC2 312absin C34ab，ab8， 又ab6，解得a2，b4或a4，b2，c2a2b22abcos C416812，c2 3，故选 C. 答案 C 13.(2015全国卷)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_. 解析 如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE. 在等腰三角形CBF中，FCB30，CFBC2， BF 2222222cos 30 6 2. 在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75， BECE，BC2，BEsin 752sin 30， BE 2 126 24 6 2. 6 2AB 6 2. 答案 ( 6 2， 6 2) 14.设f(x)sin xcos xcos2x4. (1)求f(x)的单调区间； (2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若fA20，a1，求ABC面积的最大值. 解 (1)由题意知f(x)sin 2x21cos2x22 6 sin 2x21sin 2x2sin 2x12. 由22k2x22k，kZ, Z, 可得4kx4k，kZ Z； 由22k2x322k，kZ, Z, 可得4kx34k，kZ Z. 所以f(x)的单调递增区间是4k，4k (kZ Z)； 单调递减区间是4k，34k (kZ Z). (2)由fA2sin A120，得 sin A12， 由题意知A为锐角，所以 cos A32. 由余弦定理a2b2c22bccos A， 可得 1 3bcb2c22bc， 即bc2 3，且当bc时等号成立. 因此12bcsin A2 34.所以ABC面积的最大值为2 34.
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