多元函数微分关系及微分应用

多元函数微分关系及微分应用1 多元函数微分学是建立在一元函数微分学的基础上,由一元函数的微分学推广及发展而来的。多元函数的自变量比一元函数更多为两个或两个以上,所以多元函数微分学的情形更加多变,在一元函数里,描述函数大致性质特点的主要的定义是连续及可导可微,但是对于多元函数来说,描述其大致特点的主要定义则为连续,偏导数,可微,方向导数。尽管这些概念并不相同,但它们都是从不一样的层面来描述函数的性质,所以它们之间必然存在联系,而且梳理好各概念之间的关系对于更加清晰地了解函数的性质形态有着更为重要的意义。所以本文的重点之一就是深刻的分析讨论这些概念之间的关系。多元函数微分学的应用也是很广范的,大多用于数学计算,多远函数的应用举例就是本文的第二个重点。2 连续、偏导存在、可微和方向导数存在之间的关系图为了更为方便地认识以及了解多元函数的微分学里各概念间的联系,提供以上的关系图:.2连续、偏导存在、可微及方向导数存在之间的关系分析通过以上关系图,我们从六个角度来描述各个概念间的联系:2. 1连续和偏导存在之间的关系(1) 如果函数在一点连续,那此函数在此点的偏导数则不一定存在。(2) 例1 1 函数 f( x , y)= |x| + |y | .显然有即函数在( 0 , 0)点处连续. 但都不存在.（2）即使某函数在某点处有偏导数，此函数也不一定在此点连续。找出函数在（0,0）点的两个偏导数然而极限不存在,换言之函数于原点不是连续的。2. 2连续和可微之间的关系（1）即使函数于一点处连续，函数于此点也不一定可微。(1)由于可知f(x,y)在（0,0）点连续以下分析函数在( 0 , 0)点处的可微性. 易知,所以从而，极限不存在. 所以可得函数在原点处是不可微的。( 2)若函数在一点处可微,则函数在该点处必连续 2.事实上,若函数z =f( x , y)在点( x , y)处可微,则有lim 0 z =0. 又从而即函数z =f( x , y)在点( x , y)处连续2. 3可微和方向导数存在之间的关系( 1)若函数在一点处可微,则函数在该点处沿任意方向的方向导数存在。.( 证明略. )( 2)即使函数在某点的某方向有方向导数，函数在此点也不一定可微。由方向导数的定义,函数 f( x , y)在( 0 , 0)点处沿 x 轴( 即 l =i)方向的方向导数为而偏导数和都不存在，所以函数在原点处不可微分 2. 4偏导存在和方向导数存在之间的关系(1)假若函数于某点存在偏导数,那么在此点一定有偏导数(沿坐标轴方向)存在。假如函数于点P0(x0,y0)存在偏导,即存在fx(x0y0),fy(x0,y0)。沿坐标轴x和y的单位方向向分别为记为elx和ely,且有则函数 f( x , y)在该点处沿 x 轴方向的方向导数为一样的,方向导数(沿y坐标轴方向的)为( 2)若函数在一点处沿某一方向的方向导数存在,则函数在该点的偏导未必存在。参照2. 3( 2)中例4 便可说明.2. 5可微和偏导存在之间的关系( 1)若函数在一点处可微,则函数在该点的偏导必存在。.( 证明略. )(2)即使函数在某点处有偏导数,此函数也不一定在此点可微。.通过2. 2( 1)中的例3 就能说明。( 3)若函数在一点处的偏导数连续,则函数在该点处必可微 2.( 证明略. )2. 6连续和方向导数之间的关系(1)假设在一点函数连续,那么函数于此点的方向导数也不一定存在.显然有换言之函数于原点处连续。接下来分析于此点任意一方向这个函数的方向导数均不存在。任取以( 0 , 0)为始点的射线 l ,而el =( co s , co s)是与l 同方向的单位向量,则所以此函数不存在方向导数。( 2)若函数在一点处沿某一方向的方向导数存在,则函数在该点处未必连续。.易知函数在( 0 , 0)点处沿直线 x =0 的方向导数存在,此时单位向量el =i =( 1 , 0),则但是该函数于原点的所有邻域里既有F=0的点,又有F=1的点,所以函数于原点处不连续。(3) 如果,于任何一点的任何一方形函数的方向导数存在,那么函数于此点连续。设函数z =f( x , y)在点P0( x0 , y0)的某个邻域内有定义, l 为以( x0 , y 0)始点的任一射线,el=(cos,cos)是与l一个方向的单位向量,P(x0+tcos,y0+tcos)为l上任一点,且PU(P0).由于函数z =f( x , y)在点( x , y )处沿任一方向的方向导数存在,即所以有从而有以上方程表明函数在原点沿任一方向都连续,则对0,任意的P(x,y)U(P0,)只要有半径充分小的邻域,都可以使换言之函数f(x,y)于(x0,y0)处连续。.3结论理解多元函数徽分学中各概念之间的关系,对学好多元函数徽分学的相关内容将起到至关重要的作用. 本文在给出多元函数微分学中连续、偏导存在、可微和方向导数存在4 个基本概念的基础上,从6 个方面深入分析了各概念之间的关系,并得到了14 个与之相关的结论,这些结论对于深刻了解和掌握多元函数微分学的基本概念,以及体会函数形态具有一定的指导性意义。 多元函数微分学在微分方程中的应用 （97年考研试题） 多元函数微分学在几何中的应用首先给出多元函数微分法在空间几何中的应用的两个定理作为本文的引理1引理2引理1设空间曲线F的参数方程为其中x，y，z均可导。曲线F上的一点对应参数。假定不同时为0。曲线F上此点的切线的方向向量为经过此点的切线方程为引理2设曲面G的方程为F（x，y，z）=0是曲面G上的一点，假设函数的偏导数在该点连续且不同时为零。则曲面G在此点处的法向量为应用举例