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第四节二次函数与幂函数2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解幂函数的概念；2.结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况；3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质。2016，全国卷，3,5分(幂函数的性质)2015，天津卷，8,5分(二次函数的图象)2015，福建卷，9,5分(二次方程的根)1.幂函数一般不单独命题，而常与指数函数、对数函数交汇命题，题型一般为选择题、填空题，主要考查幂函数的图象与性质；2.对二次函数相关性质的考查是命题热点，大多以选择、填空题出现。微知识小题练自|主|排|查1幂函数(1)定义：一般地，函数yx叫做幂函数，其中底数x是自变量，是常数。(2)幂函数的图象比较：2二次函数(1)解析式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)。顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)。两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)。(2)图象与性质：解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，在(0，)上都是增函数，当0时，在(0，)上都是减函数，而不能说在定义域上是增函数或减函数。3对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况；二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向以及给定区间的范围有关，不能盲目利用配方法得出结论。4数形结合是讨论二次函数问题的基本方法。特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路。小|题|快|练一 、走进教材1(必修1P24A组T6改编)若函数f(x)x2bxc，且f(0)0，f(3)0，则f(1)()A1 B2C1 D4【解析】由f(0)0，f(3)0，得解得所以f(x)x23x，所以f(1)4。故选D。【答案】D2(必修1P79习题2.3T2改编)已知幂函数f(x)的图象过点(8,4)，该幂函数的解析式是()Ayx Byx2Cyx1 Dyx【解析】设幂函数的解析式为yx，由于函数图象过点(8,4)，故有48，解得，该函数的解析式是yx。故选D。【答案】D3(必修1P44A组T9改编)已知函数f(x)x2(a1)xa在区间2,5上单调，则a的范围为_。【解析】f(x)的对称轴为x，若为增函数需2，即a3，若为减函数需5，即a9，所以a的范围为(，93，)。【答案】(，93，)二、双基查验1函数yx的图象是()【解析】显然f(x)f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0xx；当x1时，xx，知只有B选项符合。【答案】B2已知某二次函数的图象与函数y2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(1,3)，则此函数的解析式为()Ay2(x1)23 By2(x1)23Cy2(x1)23 Dy2(x1)23【解析】设所求函数的解析式为ya(xh)2k(a0)，由题意可知a2，h1，k3，故y2(x1)23。故选D。【答案】D3.如图所示，是二次函数yax2bxc的图象，则|OA|OB|等于()A.BCD无法确定【解析】|OA|OB|x1|x2|x1x2|(a0)。故选B。【答案】B4已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_。【解析】如图，由图象可知m的取值范围是1,2。【答案】1,25已知幂函数yf(x)的图象过点，则此函数的解析式为_；在区间_上递减。【答案】yx(0，)微考点大课堂考点一 幂函数的图象与性质【典例1】(1)已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A3B1C2 D1或2(2)若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcabCbca Dbac【解析】(1)由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只有n1适合题意。故选B。(2)因为yx在第一象限内是增函数，所以ab，因为yx是减函数，所以ac，所以bac。故选D。【答案】(1)B(2)D反思归纳1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx分区域。根据0,01，1，1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定。2在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较。【变式训练】已知函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且x(0，)时，f(x)是增函数，则m的值为()A1 B2C1或2 D3【解析】因为f(x)是幂函数，所以m2m11，解得m1或m2，当m1时，m2m33，当m2时，m2m33，f(x)x3或f(x)x3，而易知f(x)x3在(0，)上为增函数，f(x)x3在(0，)上为减函数，所以m的值为2。故选B。【答案】B考点二 二次函数的解析式【典例2】已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式。【解析】解法一：(利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0)。由题意得解得所求二次函数为f(x)4x24x7。解法二：(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n。f(2)f(1)，抛物线的对称轴为x，m。又根据题意，函数有最大值8，n8，yf(x)a28。f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7。解法三：(利用两根式)：由已知f(x)10两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1。又函数有最大值ymax8，即8。解得a4或a0(舍)。所求函数的解析式为f(x)4x24x7。【答案】f(x)4x24x7反思归纳求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：【变式训练】(1)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则f(x)的解析式为_。(2)已知函数f(x)ax2bxc(a0，bR，cR)。若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)则F(2)F(2)_。【解析】(1)因为f(2x)f(2x)对xR恒成立，所以f(x)的对称轴为x2。又因为f(x)图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)0的两根为1和3。设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)。又因为f(x)的图象过点(4,3)，所以3a3，a1。所以所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3。(2)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，所以f(x)(x1)2。所以F(x)所以F(2)F(2)(21)2(21)28。【答案】(1)f(x)x24x3(2)8考点三 二次函数的图象与性质多维探究角度一：二次函数的图象【典例3】如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为x1。给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确。对称轴为x1，即1,2ab0，错误。结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误。由对称轴为x1知，b2a。又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确。故选B。【答案】B角度二：二次函数的最值【典例4】已知函数yx2ax在区间0,1上的最大值是2，实数a的值为_。【解析】y2(a2a2)，对称轴为x。令f(x)yx2ax。当01即0a2时，ymax(a2a2)，由(a2a2)2，得a3或a2，与0a2矛盾，舍去；当0即a0时，y在0,1上单调递减，有ymaxf(0)，由f(0)22解得a6。当1即a2时，y在0,1上单调递增，有ymaxf(1)，由f(1)2得1a2，解得a。综上，得a6或a。【答案】6或角度三：二次函数图象与性质的结合【典例5】(1)已知函数f(x)x24ax2在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是()Aa3 Ba3Ca0)，且f(m)0 Df(m1)0，f(x)的大致图象如图所示。由f(m)0，得1m0，f(m1)f(0)0。故选C。答案C4已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，则a的值为_。解析f(x)(xa)2a2a1，x0,1，当a1时，ymaxa；当0a1时，ymaxa2a1；当a0时，ymax1a。根据已知条件得，或或解得a2或a1。答案2或15已知二次函数f(x)ax2bxc满足条件：f(3x)f(x)；f(1)0；对任意实数x，f(x)恒成立，则其解析式为f(x)_。解析依题意可设f(x)a2k，由f(1)ak0，得ka，从而f(x)a2恒成立，则，且a0，即0，即0，且a0，a1。从而f(x)2x23x2。答案x23x2微专题巧突破解决与二次函数相关的恒成立问题的方法二次函数恒成立问题涉及的知识较广，是学习中的一个难点，下面我们把它的常用类型及破解方法归纳如下表：方法解读适合题型1判别式法(1)f(x)ax2bxc0恒成立或(2)f(x)ax2bxcA在区间D上恒成立，此时就等价于在区间D上f(x)minA，接下来求出函数f(x)的最小值；若不等式f(x)B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)maxB，求出函数f(x)的最大值即可。参数a不易分离【典例】(1)已知函数ylog2。若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是_。(2)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围是_。【解析】(1)(判别式法)a0，函数的定义域为R，则ax2ax0恒成立，解得0a0时，f(x)a22，由f(x)0，x(1,4)得或或解得或或所以a1或a；当a0，即ax22x20，x(1,4)，得a在(1,4)上恒成立。令g(x)22，因为，所以g(x)maxg(2)，所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要a即可，故实数a的取值范围是。【答案】(1)(0,2)(2)【变式训练】(2017营口模拟)已知f(x)x22(a2)x4，如果对x3,1，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围为_。【解析】因为f(x)x22(a2)x4，对称轴x(a2)，对x3,1，f(x)0恒成立，所以讨论对称轴与区间3,1的位置关系得：或或解得a或1a4或a1，所以a的取值范围为。【答案】6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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