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杨浦区2015学年度第二学期高三年级学业质量调研 数学理 2016.04.12一、填空题1.函数的定义域为 .2.已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a= .3.计算= .4.若向量、满足，且与的夹角为，则 .5.若复数，其中i是虚数单位，则复数的虚部为 .6.的展开式中，常数项为 .7.已知的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是 .8.已知等比数列的各项均为正数，且满足：，则数列的前7项之和为 .9.在极坐标系中曲线C：上的点到距离的最大值为 .10.袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以表示取到球中的最大号码，则的数学期望是 .11.已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则 .12.现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有 .（用数字作答）13.若关于x的方程在内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为 .14.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于 .二、选择题15.下列函数中，既是奇函数，又在区间上递增的是（ ）A. B. C. D.16.已知直线l的倾斜角为，斜率为k，则“”是“”的（ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件17.设x,y,z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）A. B. C. D.18.已知命题：“若a,b为异面直线，平面过直线a且与直线b平行，则直线b与平面的距离等于异面直线a,b之间的距离”为真命题.根据上述命题，若a,b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a,b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（ ）A0条 B.1条 C.多于1条，但为有限条 D.无数多条三、解答题19.如图，底面是直角三角形的直三棱柱中，D是棱上的动点.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.20.某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB,现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB(假设OM、ON这两面墙都足够长).已知|PA|=|PB|=10(米),.设，四边形OAPB的面积为S.(1)将S表示为的函数，并写出自变量的取值范围；(2)求出S的最大值，并指出此时所对应的值.21.已知函数，其中.(1)根据a的不同取值，讨论的奇偶性，并说明理由；(2)已知a0，函数的反函数为，若函数在区间上的最小值为，求函数在区间上的最大值.22.已知椭圆C：的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形.若直线l与椭圆C交于、，且在椭圆C上存在点M，使得：（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；(3)求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H.23.已知数列和满足：,且对一切,均有.(1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和；(3)设，记数列的前n项和为，问：是否存在正整数，对一切，均有恒成立.若存在，求出所有正整数的值；若不存在，请说明理由.19、（1）证明：因为直三棱柱中，CC1平面ABC，所以，CC1BC，又底面ABC是直角三角形，且ACBC1，所以ACBC，又C，所以，BC平面ACC1A1，所以，BCDC1（2）20（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB10（）所以，S，（2）S所以，21、（1）当a时，定义域为R，偶函数。22、（1），所以，又右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，所以，因为，解得：，所以，椭圆方程为：123、（1）证明：由，两边除以，得，即，所以，数列为等差数列，所以，9
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