资源描述
5.1 大数定大数定学校有10000个学生，平均身高为a；若随意观察1个学生的身高X1，则X1与a可能相差较大。若随意观察10个学生的身高X1, X2 , X10 ，则10个数据的均值均值(X1+X2+X10 )/10与a较接近；若随意观察100个学生的身高X1, X2 , X100 ，则100个数据的均值(X1+X2+X100 )/100与a更接近；若随意观察n个学生的身高X1, X2 , Xn ，则n个数据的均值 (X1+X2+Xn ) / n 与a 随着n的增大而接近； PnXY 弱大数定律讨论的就是依概率收敛弱大数定律讨论的就是依概率收敛.:lim( )( )0nnPXY若对任意的 0，有则称随机变量序列Xn依概率收敛于Y, 记为设有随机变量序列X1, X2, Xn和随机变量Y强大数定律讨论的就是以概率强大数定律讨论的就是以概率1收敛收敛. . a snXY lim()()(:)1nxXYP如果则称随机变量序列Xn以概率1收敛于Y, 记为设有随机变量序列X1, X2, Xn和随机变量Y可以证明，若 则 . a snXY PnXY 大数定律一般形式大数定律一般形式： 若随机变量序列Xn满足：1111lim0nniiiinXE XnnP则称Xn 服从大数定律服从大数定律.121212,1,2,0 lim0.(5.1.5) =E5.1.1()（切比雪夫弱大数定律） 设为独立随机变量，则对任意中定理有其nninXXiXXXPnXVar XnCXX马尔科夫不等式马尔科夫不等式 若X是非负值非负值的随机变量，E(X)存在,则对任意常数 0，有证明证明：用连续型随机变量证明。设X的密度函数为f(x). 由于X只取非负值，当x0，有证明证明：用 将马尔科夫不等式中的X替代，用 2( |()| )D()PXE XX2()XE X2代替22222()() () (|()|) E XE XP XE XD XPXE X121212122, 5.1.1 0.（切比雪夫弱大数定律）由，的独立性有所以，由切比雪夫不等式，有证毕定理证：.明 nininXXVar XXXXCVarnnnXXXCPnnn 定理定理5.1.2( 若随机变量序列Xn独立同分布，且有有限的数学期望，则 Xn服从大数定律.120 lim0.(5.1.6) 即对任意有nnXXXPn推论推论5.1.1伯努利大数定律伯努利大数定律（频率收敛于概率频率收敛于概率） 设 vn 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 0，有 lim0nnvPpn意义：随着n的增大，依概率意义讲，频率 pn=vn/n 越来越接近概率p，而pn不接近p的可能性越来越小。不能说： 因为可能有 pn p 情形(虽然这些例外情形出现的概率趋于0)。ppnnlim111 1,2,00 110 (1), (1)1, lim在 重伯努利试验中，设为第 次试验时事件 出现的当 出现次数，则 当 不出现所有的的概率分布都相同（都是分布）有相同的均值（ ）（ ） 频证明：率 ，由5 11或5 12都可推得： iiiiinnnniiiinnXiAAXiAXE XpppD XppvvXXnnP(|)0nvpn1221212 ,11 (2 ), (2 ), 221 (0)1 (1,2,3,.)2 设为一个相互独立的随机变量序列，其中证明：序列服从大数定理。例 nnnnnnnnnnPPPn 1221212222222212121212,1112( 2 )0 (1) (1,2,.)222( )()111(2 )( 2 )0(1) (1,2,.)2221()()( )0 ( )1 ()0证：为一个相互独立的随机变量序列 niiiiiiiiiiiiniiiinniDEEEiEEEEnnEDE 12122222211 ( )()()1 ()1li()1m(0)lim0则根据契比雪夫不等式，得则 nnnnnnnnnDnDDDnnnDPEnPDnn2221234563231323231321231 2,6, , ,., 5.5 设是独立同分布的随机变量序列，且假设证明：并确定常数 之值设=由于是的随机变量序列所以，习题独立同分布独 也是的随机变量序列，且立解：同分布nnnPnnnkkkknnnkkXE XVar XXX XXX XXXXannaYXXXXYYXX X 2245632313nnnXX XXXX22323133231323232313222112345632313( ) 6441,2, , 111444满足辛钦大数定律条件，所以 kkkkkkkkkknnkknnknPE XXXE XE XXVar XE XE XE XknYYXX XXX XXXXnnnYaE11 5.111 假设某洗衣店为第 个顾客服务的时间服从区间5,53(单位：分钟)上的均匀分布，且对每个顾客是相互独立的，试问当时， 次服务时间的算术平均值何值？依题意，显然有，是一个的随机变量序列，只要存在有限的公共数学期望，则的算术平均值依概率1收敛于其公共数学期望，由于习题以概率 收敛服从5,53上的均匀分解：于独立同所分布以布，niiniininnXXnXXX 1 (535)/229, 1,2,1 29 .所以，当时， 次服务时间的算术平均值（分钟）iniiE XinnnXna s 设X1, X2 , Xn 是一系列随机变量，通常把论证和函数 X1+X2+Xn 的分布收敛于正态分布的这类定理叫做“中心极限定理”. 121112,(XX ) 5.2.1 (0,1)(X ) , 设 为独立随机变量序列，具有有限的数学期望和方差，若则称定义中心极限定理服从nnkkknkknXXXENDXXX 定理定理5.2.1 林德伯格林德伯格莱维中心极限定理莱维中心极限定理 设 Xn 为独立同分布独立同分布随机变量序列，数学期望为, 方差为 20，则Xn服从中心极限定理，即21221lim(XXX)1 2nntxPnxnedt说明说明：和函数 Yn=X1+X2+Xn E(Yn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn) = n D(Yn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn) = n2 将Yn“标准化”：122Y(Y )Y1(XXX)(Y )nnnnnEnnDnn“标准化”后的和函数Yn的分布函数Fn(x):12Y(Y ) ( )(Y )1 (XXX) lim( )( )由定理知： nnnnnnnEF xPxDPnxnF xx和函数X1+X2+Xn在“标准化”后的分布函数Fn(x)，随着 n的增大，Fn(x)逐渐趋向于标准正态分布函数。 值得注意的是，每个Xi的概率分布可以是未知的，不一定 是正态分布。 意义意义：若有无数多种因素X1, X2 , Xn 相互影响，每个 因素的影响都很小，则所有这些因素的综合影响可认为是 Y=X1+X2+Xn+, 则这些综合影响的结果呈现出正态分布。 所以在自然界中很多问题都可用正态分布研究。例例 设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每天用电量（单位：度）在0，20上服从均匀分布。现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？ 解解： 设第i户居民每天的用电量为随机变量Xi ， Xi 服从均匀分布 ( i=1,2,.,1000)。212112000001 0 ()(020)/210 (1,2,1000)1100 ()(200) (1,2,1000)1231000, 1000 10 ( )1000 100/3w户居民用电量为 由林德伯格定理：现假设每天供应 度电，则要 iiEXXXiD XxXiXXXPx121000 0.99求：P XXXw1210001000 101000 100.991000 100/31000 100/31000 100.991000 100/3XXXwPw1000 10 (2.33)=0.9901 2.331000 100/3 2.33 100 10/3+1000 10=10425.4由于所以ww每天至少供应10425.6度电。定理定理5.2.2(棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯定理拉普拉斯定理) 设X1, X2 , Xn 是独立同分布(B(1, p)分布)的随机变量， P(Xi=1)=p, P(Xi=0)=1-p (0p1) i=1,2, 则对任意实数x，有 证明证明：由于E(Xi)=p, D(Xi)=p(1-p) i=1,2,. 代入定理定理5.2.1的公式， =p, = 有121lim()( )(1)nnPXXXnpxxnpp 121lim()( )(1)nnPXXXnpxxnpp )1 (pp 定理定理5.2.2的的另一种描述方式 设vn是n重伯努利试验中事件A出现的次数，在每次试验中P(A)=p是常数(0p1), vnB(n,p). 则对任意实数x，有lim( )(1) nnvnpPxxnpp这说明：若vn服从二项分布B(n, p)，计算 P(t1vnt2)可用正态分布近似计算。121221() 查分布表nnvnptnptnpP tvtPnpqnpqnpqtnptnpnpqnpq当当n 较小时较小时，误差较大，公式可修正为2112() (1/2)(1/2 ) 查正态分布表ntnptnpP tvtnpqnpq 例例5.2.2设某地区原有一家小电影院，现拟筹建一所较大的电影院。根据分析，该地区每天平均看电影者约有n=1600人，预计新电影院开业后，平均约有3/4的观众将去新电影院。现计划其座位数，要求座位数尽可能多，但“空座达到200或更多”的概率不能超过0.1，问设多少座位为好？解：设每天看电影的人编号1,2,3,1600, 且令 1i (1,2,1600)0(1)3/4 (0)1/4iiiXiP XP X若第 号观众去新影院否则假设各观众去不去电影院是独立选择的,则X1, X2 , X1600是独立的0-1分布的随机变量。设座位数是m，按要求有 P(X1+X2+X1600m-200)0.1要在此条件下m最大，就是在上式取等号取等号时。 P(X1+X2+X1600m-200)=0.11600 (3/ 4)1200, 10 3npnpq11600200(1/2) 1200(200.10)10 3mP XXm 200(1/2) 1200200(1/2) 1200110 310 3 1 0.10.9mm (1.28)0.9200(1/2) 1200 1.28 10 3 (1400 12.8 30.5)1377查表得，mment例例（合作问题）（合作问题） 设有同类设备200台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，并且一台设备的故障可由一个人来处理，试求由4个人共同负责维修200台设备时，设备发生故障而不能及时维修的概率。解：设X为200台设备中在同一小时内发生故障的台数，则 XB(200 , 0.01) np=2000.01=2, npq=20.99=1.98 设备发生故障而不能及时维修的概率:40.5P(5)1(4)1420.5 11(1.77)1.98 1 0.96160.0384 npXP Xnpq 420(200,0.01), 2, 2(5)1(4)1!1 0.13530.27070.27070.18040.09020.05270.20517用泊松分布近似可见用泊松分布近似的结果更好一些。但用泊松分布要查多个泊松分布表的数值，而用中心极限定理来近似只需查一个或两方法 ：直接用二项分布计算个正态分布表的值。kkXBnpP XP Xek 例例( (考题考题) ) 某保险公司对一种电视机进行保险，现有9000个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，这种电视机的损坏率为0.001，参加保险的客户每户交付保险费5元，电视机损坏时可向保险公司领取2000元，求保险公司在投保期内: （）亏本的概率；（）获利超过10000元的概率。900011995 5 1,2,9000 50.99919950.001 19950.0015 0.9993 9000900：设表示保险公司从第 个客户处获得的盈利，则第 个客户电视机损坏第 个客户电视机没有损坏，（）解） iiiiiiiiXiiXiiP XP XE XE XEX2220 3 19950.00150.999400270500（） iE X90002212409000399053399690006（） （）iiiiiiD XE XEXDXDX9000900019000110 009000 3 ( 4.502)1(4.502)09000 3996（1）亏本的概率 iiiiiiEXPXDX900090001110000110000 iiiiPXPX（）获利超过（）获利超过1000010000元的概率元的概率：12.832.830.9977 900019000110000100009000 3119000 3996iiiiEXDX 例例 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节目的收视率 p 的估计。 要有 90 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？解解：用根据题意Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则20.90/0.050.05/(1)1nPXnpn pp0.05/ (1)1.645n pp从中解得Xn 服从 B(n, p) 分布，k 为Xn的实际取值。又由0.25(1)pp可解得270.6nn = 271
展开阅读全文