lms算法毕业论文

lms 算法毕业论文算法毕业论文LMS 算法研究专 业：通信工程2摘摘 要要 因 LMS 算法具有低计算复杂度、在平稳环境中的收敛性好、其均值无偏地收敛到wiener 解和利用有限精度实现算法时的稳定性等特性，使 LMS 算法成为自适应算法中应用最广泛的算法。对 LMS 算法及其改进算法进行了研究，探讨了步长因子对各种算法收 n敛性、稳定性的影响。并用 MATLAB 对其学习曲线、收敛速度等进行了仿真分析。结果表明，变步长的取值尤为重要，如果 （n）取较大值则具有较快的收敛速度，如果 n（n）取值很小，则 MLMS 算法近似等效于 LMS 算法。它们的自适应过程较快，性能有了很大改进。3AbstractBecause of low computational complexity, stable environment in the convergence of good, unbiased and its mean converges to the wiener solution and implementation algorithms using finite precision stability and other characteristics, LMS algorithm as adaptive algorithm in the application of the most a wide range of algorithms.We have a detailed study on LMS algotithm and its complementary algotithm,disscused the step-sizes influent for the algorithms convergence speed and stability. And using MATLAB simulated the learning curve, convergence speed of LMS algotithm.The result observed that the value of variable step-size （n）is very important,if it is a bigger may have a fast convergence speed,but if not ,the NLMS algotithm can instead the LMS algotithm in the characteristics. In addition , they have a fast adaptive course and greatly progress in performance. Keywords：LMS algorithm，Adaptive，NLMS algorithm，Variable step，MATLAB simulation.4目目 录录第一章 绪论 .51.1 自适应滤波理论的发展 .51.2 自适应 LMS 算法的发展 .61.2.1 LMS 算法历史.61.2.2 LMS 算法的现状.61.2.3 LMS 算法的发展前景.6第二章 自适应 LMS 算法的研究 .82.1 概述 .82.2 LMS 算法 .82.2.1 自适应收敛性.102.2.2 平均 MSE学习曲线 .112.2.3 失调 .132.2.4 缩短收敛过程的方法 .14第三章 LMS 自适应滤波器的改进形式 .163.1 归一化 LMS 算法.163.1.1 TDO-LMS 算法.183.1.2 MLMS 算法.193.2 泄露 LMS 算法 .203.3 极性 LMS 算法 .213.4 LMS 算法梯度估计的平滑.213.5 解相关 LMS 算法 .223.6 性能比较 .23第五章 LMS 算法的应用.245.1 LMS 类均衡器.245.1.1 解相关 LMS（Decorrelation LMS,DLMS）均衡算法.245.1.2 变化域解相关 LMS 均衡算法 .245.2 自适应信号分离器 .255.3 自适应陷波器 .265.4 系统辨识或系统建模.26第六章 仿真及其结果分析 .286.1 仿真思路.286.2 结果及分析.286.2.1 LMS 及其改进算法.286.2.2 LMS 自适应均衡器.316.2.3 自适应信号分离器 .336.2.4 自适应陷波器 .336.2.5 系统辨识或系统建模.335结 论 .35参考文献 .36附录 英文原文及译文 .37附录 仿真程序 .50致 谢 .646离散时间线性系统自适应算法Sx(n)y(n)-+e(n)d(n)d(n)第一章第一章 绪论绪论1.1 自适应滤波理论的发展早在 20 世纪 40 年代，就对平稳随即信号建立了维纳滤波理论。根据有用信号和干扰噪声的统计特性（自相关函数或功率谱） ，以线性最小均方误差估计准则所设计的最佳滤波器，称为维纳滤波器。这种滤波器能最大程度地滤除干扰噪声，提取有用信号。但是，当输入信号的统计特性偏离设计条件，则它就不再是最佳的了，这在实际应用中受到了限制。到 60年代初，由于空间技术的发展，出现了卡尔曼滤波理论，即利用状态变量模型对非平稳、多输入多输出随机序列作最优估计。现在，卡尔曼滤波器已成功地应用到许多领域，它既可对平稳的和非平稳的随机信号作线性最佳滤波，也可作非线性滤波。实质上，维纳滤波器是卡尔曼滤波器的一个特例。若设计卡尔曼滤波器时，必须知道产生输入过程的系统的状态方程和测量方程，即要求对信号和噪声的统计特性有先验知识。但在实际中，往往难以预知这些统计特性，因此实现不了真正的最佳滤波。Widrow B.等于 1967 年提出的自适应滤波理论，可使自适应滤波系统的参数自动地调整而达到最佳状况，而且在设计时，只需要很少的或是根本不需要任何关于信号与噪声的先验统计知识。这种滤波器的实现差不多像维纳滤波器那样简单，而滤波性能几乎如卡尔曼滤波器一样好。因此，近十年来，自适应滤波理论的方法得到了迅速发展。图 1-1 自适应滤波器原理图图 1-1 描述的是一个通用的自适应滤波估计问题，图中离散时间线性系统表示一个可编程滤波器，它的冲击响应为 h(n)，或称其为滤波参数6。自适应滤波器输出信号为 y(n)，所期望的响应信号为 d(n)，误差信号 e(n)为 d(n) 与 y(n)之差。这里，期望响应信号 d(n) 是根据不同用途来选择的，自适应滤波器的输出信号 y(n)是对期望响应信号 d(n)进行估计的，滤波参数受误差信号 e(n)的控制并自动调整，使 y(n)得估计值等于所期望的响应 d(n).因)( ny7此，自适应滤波器与普通滤波器不同，它的冲击响应或滤波参数是随外部环境的变化而变化的，经过一段自动调整的收敛时间达到最佳滤波的要求。但是，自适应滤波器本身有一个重要的自适应算法，这个算法可以根据输入、输出及原参数量值，按照一定准则改变滤波参量，以使它本身能有效地跟踪外部环境的变化。通常，自适应滤波器是线性的，因而也是一种线性移变滤波器。当然，它可推广到自适应非线性滤波器。在图 1-1 中，离散时间线性系统可以分为两类基本结构，其中一类为非递归型横向结构的数字滤波器，它具有有限的记忆，因而称之为有限冲激响应（FIR）系统，即自适应 FIR滤波器。另一类为递归型数字滤波器结构，理论上，它具有无限的记忆，因而称之为无限冲激响应（IIR）系统，即自适应 IIR 滤波器。对于上述两类自适应滤波器，还可以根据不同的滤波理论和算法，分为结构不同的自适应滤波器，它们的滤波器性能也不完全相同。1.2 自适应 LMS 算法的发展1.2.1 LMS 算法历史 1955-1966 年期间美国通用公司在研制天线的过程中，为抑制旁瓣，由 windows 和 hoff在 60 年代初提出了基本 LMS 算法6。随后又发展出了归一化算法和加遗忘因子 LMS 算法。1977 年，makjoul 提出了格型滤波器，并由此发展出 LMS 自适应格型滤波器算法。Herzberg、cohen 和 beery 提出了延时 LMS（DLMS）算法。2002 年，尚勇，吴顺君，项海格提出了并行延时 LMS 算法。此外，还有复数 LMS 算法、数据块 LMS 算法等，在此就不一一列举了。1.2.2 LMS 算法的现状 因 LMS 算法具有低计算复杂度、在平稳环境中的收敛性好、其均值无偏地收敛到wiener 解和利用有限精度实现算法时的稳定性等特性，使 LMS 算法成为自适应算法中应用最广泛的算法。由于 LMS 算法的广泛应用，以及在实际条件下，为解决实际问题，基于LMS 算法的新 LMS 类算法不断出现。1.2.3 LMS 算法的发展前景 因 LMS 算法是自适应滤波器中应用最广泛的算法，所以可以说，自适应滤波的发展前景也就是 LMS 算法的发展前景。它主要包括以下几个方面的应用：1、系统辨识和建模(System Identification and Modeling)。自适应滤波器作为估计未知系统特性的模型。2、自适应信道均衡(Adaptive Channel Equlization)。在数字通信中采用自适应信道均衡器，可以减小传输失真，以及尽可能地利用信道带宽。3、回波消除(Echo Cancellation)。在 2 线和 4 线环路电话系统中，线路间存在杂散电路耦合，这些杂散导致阻抗不匹配，从而形成了信号的反射，也就是我们在线路两端听到的回8声。这种回波能对高速数据传输造成灾难性的后果。回波消除就是预先估计一个回波，然后用返回信号来减此回波，从而达到回波消除的目的。消除心电图中的电源干扰就是它的一个具体应用。4、线性预测编码（Linear Predictive Coding） 。近年来，对语音波形进行编码，它可以大大降低数据传输率。在接收端使用 LPC 分析得到的参数，通过话音合成器重构话音。合成器实际上是一个离散的随时间变化的时变线性滤波器。时变线性滤波器既当作预测器使用，又当作合成器使用。分析语音波形时作预测器使用，合成语音时作话音生成模型使用。5、自适应波束形成（Adaptive Beaamforming） 。频谱资源越来越紧张，利用现有频谱资源进一步扩展容量成为通信发展的一个重要问题。智能天线技术利用阵列天线替代常规天线，它能够降低系统干扰，提高系统容量和频谱效率，因此智能天线技术受到广泛关注。自适应束波形成通过调节天线各阵元的加权幅度和相位，来改变阵列的方向图，使阵列天线的主瓣对准期望用户，从而提高接收信噪比，满足某一准则下的最佳接收。在雷达与声纳的波束形成中，自适应滤波器用于波束方向控制，并可在方向图中提供一个零点以便消除不希望的干扰。其应用还有噪声中信号的滤波、跟踪、谱线增强以及预测等。9Z-1Z-1SZ-1SSSSu(n)x(n-1)x(n-2)x(n-M+2)x(n-M+1)Wh(0)Wh(1)Wh(2)Wh(m-2)Wh(m-1)d(n)y(n)e(n)第二章第二章 自适应自适应 LMSLMS 算法的研究算法的研究2.1 概述自适应算法中使用最广的是下降算法，下降算法的实现方式有两种：自适应梯度算法和自适应高斯-牛顿算法。自适应高斯-牛顿算法包括 RLS 算法及其变型和改进型，自适应梯度算法包括 LMS 算法及其变型和改进型2,6。 滤波器设计准则是使滤波器实际输出 y(n)与期望响应 d(n)之间的均方误差 J（n）为最小，这称为最小均方误差（MMSE）准则。图 2-1FIR 滤波器的自适应实现 图 2.1 为 FIR 滤波器的自适应实现的原理图。所谓自适应实现是指；M 阶 FIR 滤波器的抽头权系数 w0,w1,wm-1可以根据估计误差 e(n)的大小自动调节，使得某个代价函数最小6,7。 定义均方误差 J(n)为代价函数，因为滤波器在 n 时刻的估计误差 e(n)=d(n)-wHx(n) (2-1)所以代价函数 J(n)=E|e(n)|2=E|d(n)-wH(n)|2 (2-2)由此可得 J(n)的梯度 J(n)=2 Ex(n) H(n)w(n)-2Ex(n)d(n) (2-3)2.2 LMS 算法最陡下降算法不需要知道误差特性曲面的先验知识，其算法就能收敛到最佳维纳解，且与起始条件无关6。但是最陡下降算法的主要限制是它需要准确测得每次迭代的梯度矢量，这妨碍了它的应用。为了减少计算复杂度和缩短自适应收敛时间许多学者对这方面的新算法进行了研究。1960 年，美国斯坦福大学的 Windrow 等提出了最小均方（LMS）算法，这是一种用瞬时值估计梯度矢量的方法，即10 (2-4)可见，这种瞬时估计法是无偏的，因为它的期望值 E确实等于矢量。所以，按照自适应滤波器滤波系数矢量的变化与梯度矢量估计)(n)(n的方向之间的关系，可以先写出 LMS 算法的公式如下： （2-5a） （2-5b）将式 e(n)=d(n)-y(n)和式（2-1）代入到上式中，可得到 =)()()()()(ndnxnwnxnxIH （2-6）图 2-2 自适应 LMS 算法信号流图由上式可以得到自适应 LMS 算法的信号流图，这是一个具有反馈形式的模型，如图 2-2 所示。如同最陡下降法，我们利用时间 n=0 的滤波系数矢量为任意的起始值 w(0),然后开始 LMS 算法的计算，其步骤如下。（1） 由现在时刻 n 的滤波器滤波系数矢量估值，输入信号矢量 x(n)以及期望信号)(nwd(n)，计算误差信号：e(n)=d(n)- （2-7）)()(nwnxH（2） 利用递归法计算滤波器系数矢量的更新估值： （2-8）)()()() 1(nxnenwnw 将时间指数 n 增加 1，回到步骤（1） ，重复上述计算步骤，一直到达稳态为止。由此可见，自适应 LMS 算法简单，它既不要计算输入信号的相关函数，又不要求矩阵之逆，因而得到了广泛的应用。但是，由于 LMS 算法采用梯度矢量的瞬时估计，它有大的方差，x(n)xH(n)Iz-1I+-e(n)d(n)w(n+1)w(n)()(2)()()(2nxnenwnen)()()()(21)() 1(nxnenwnnwnw)()()()()() 1(nxnwndnxnwnwH11以致不能获得最优滤波性能3。下面我们来分析 LMS 算法的性能。2.2.1 自适应收敛性自适应滤波器系数矢量的起始值 w(0)是任意的常数，应用 LMS 算法调节滤波器系数具有随机性而使系数矢量 w(n)带来非平稳过程。通常为了简化 LMS 算法的统计分析，往往假设算法连续迭代之间存在以下的充分条件：(1) 每个输入信号样本矢量 x(n)与过去全部样本矢量 x(k),k=0,1,n-1 是统计独立的，不相关的，即有Ex(n)xH(k)=0; k=0,1,n-1 (2-9) (2) 每个输入信号样本矢量 x(n)与全部过去的期望信号 d(k), k=0,1,n-1 也是统计独立的，即有 Ex(n)d(k)=0; k=0,1,n-1 (2-10) (3) 期望信号样本 d(n)依赖于输入过程样本矢量 x(n)，但全部过去的期望信号样本是独立的。 (4)滤波器抽头输入信号矢量 x(n)与期望信号 d(n)包含着全部 n 的共同的高斯分布随即变量。通常，将基于上述基本假设的 LMS 算法的统计分析称为独立理论（Gendependence Theory）6.由式（2-6）可知，自适应滤波器在 n+1 时刻的滤波系数矢量 依赖与三个输入：) 1( nw（1） 输入过程的过去样本矢量 x(k), k=n,n-1,0;（2） 期望信号的以前样本值 d(k), k=n,n-1,0;（3） 滤波器系数矢量的起始值。)0(w 从上述基本假设（1）和（2）的观点来看，我们可发现滤波器系数矢量是与) 1( nwx(n+1)和 d(n+1)独立无关。这点是很有用的，而且在后续分析中将被重复使用。当然，有许多实际问题对于输入过程与期望信号并不满足上述基本假设。尽管如此，LMS 算法的实践经验证明，在有足够的关于自适应过程结构信息的条件下，基于这些假设所分析的结果仍可用作可靠的设计指导准则，技术某些问题带有依赖的数据样本。为了分析问题，现在我们将系数误差矢量 w(n)代入式（2-6）的右边，得到)()()()()() 1(0ndnxwnwnxnxInwH =)()()()()()()(00wnxnxndnxwnwnxnxIHH式中，是最佳滤波系数矢量，w(n)是误差矢量。如将移至等式左边，则0w0w-等于系数误差的跟新值，于是上式可写成) 1( nw0w12w(n+1)= （2-11）)()()()()()()(0wnxnxndnxnwnxnxIHH对于上式两边取数学期望，得到)()()()()()()()1(0wnxnxndnxEnwnxnxIEnwEHH =0)()()()()()()(wnxnxEndnxEnwEnxnxEIHH= （2-12）)()()(0RwPnwERI显然，上式中 R 为输入信号矢量 x(n)的相关矩阵，而 P 为输入信号矢量 x(n)与期望信号d(n)的互相关矩阵。根据自适应滤波的正则方程的矩阵式，上式右边第二项应等于零。由此可简写成 （2-13）我们可以看出，LMS 算法与前述最陡下降算法有相同的精确数学表达式。因此，要使LMS 算法收敛于均值，必须使步长参数 满足下列条件： （2-14）这里是相关矩阵 R 的最大特征值。在此条件下，当迭代计算次数 n 接近于时，自适应max滤波系数 w(n)近似等于最佳维纳解 w0.2.2.2 平均 MSE学习曲线如前节所述，最陡下降算法每次迭代都要精确计算梯度矢量，使自适应横向滤波器权矢量或滤波系数矢量 w(n)能达到最佳维纳解 w0 ，这时滤波器均方误差（MSE）为最小，即式中，是期望信号 d(n)的方差。2d （2-15）学习曲线定义为均方误差随迭代计算次数 n 的变化关系，如式（2-16）所描述的包含指数项之和： （2-16）PwTd2minmax20)()(1(nwERInwE)0()1 ()(221iniiMiivn13图 2-3 单条学习曲线式中每个指数项对应于算法的固有模式，模式的数目等于滤波器加权数。显而易见，由于上式中，故当 n,最陡下降算法均方误差 （）=min.但 LMS 算法用瞬时11i值估计梯度存在误差的噪声估计，结果使滤波器权矢量估值只能近似于最佳维纳解，)(nw这意味着滤波均方误差随着迭代次数 n 的增加而出现小波动地减少，最后，（）不)(n是等于 min而是稍大于其值，如图 2-3 所示。如果步长参数 选用得越少，则这种噪化指数衰减曲线上的波动幅度将减小，即学习曲线的平滑度越好6。但是，对于自适应横向滤波器总体来说，假设每个滤波器 LMS 算法用相同的步长 和同等的起始系数矢量 w(0)，并从同一统计群体随机地选取各个平稳的各态历经的输入信号，由此计算自适应滤波器总体平均学习曲线。滤波器的均方误差 （2-17）式中，称为滤波系数的误差矢量。为了求总体平均 RMS，对式（2-17）两0)()(wnwnw边取数学期望值，有 )()()(minnwRnwEnEH由矩阵理论中等式，上式右边第二项可以可写成)()(TTTTaabbEtrabbaE （2-18）)()()(nRKtrnwRnwEH式中 K(n)=，称之为滤波权系数误差的相关矩阵，因此，平均 RMS 可以写)()(nwnwEH出 （2-19）)()(minnRKtrnE式中，K（n）可以递归地进行计算。下面我们推导这个递归公式。首先把式（2-11）递归计算式写成)()()()()()1(minnenxnwnxnxInwH这里，。将上式与其共轭转置矩阵右乘，得到0min)()()(wnxndneH)()()()()()()1()1(nxnxInwnwnxnxInwnwHHHH)()()(minnwRnwnH14)()()()()()()()(min2min2nxnwnxnxInenxnxneHHH)()()()()(minnxnxInwnxneH对上式两边取数学期望，由于与 x(n)不相关，且认为与 x(n)也不相关，又)(minne)(nw，于是得到的递归计算公式：0)min(neE)()()(nwnwEnKH (2-20)RnRKRtrRnKnRKnKnmin22)()()()() 1(K利用酉矩阵相似性变换法，有 (2-21a)RQQH这里，是对角线矩阵所含的相关矩阵 R 的特征值，矩阵 Q 是由这些特征值相关联的特征矢量所确定的酉矩阵。注意到矩阵是实值，并且令 （2-21b）)()(nXQnKQH注意，这里 X(n)是一个对角线矩阵。加上酉矩阵性质,由式（2-21）得到IQQH （2-22）因为是对角线矩阵，矩阵 X(n)的对角元素是，i=1,2,M,上式又可写成)(nxi （2-23）)()(1nxnRKtrMiii其次，我们利用式（2-21）所描述的变换关系，将式（2-20）递归计算公式重新写成 （2-24）min22)()()()()1(nXtrnXnXnXnX上式表明，只需要计算其对角线项元素，就可得到 ，ijMjjiiiiinxnxnxnxmin212)()(2)()1( i=1,2,M当 n 趋于时，则与的极限相等，于是由上式与式（2-23）得到) 1( nxi)(nxi （2-25）我们定义超量均方误差等于总体平均的均方误差 E()与最小均方误差之差值，)(exmin即 = trRK() = （2-26）min)()(Eex显然，如果能使总体平均 E(n)收敛于最终稳定值，当且仅当步长参数 必)(minex须满足下列条件： （2-27a）MiiMiiRKtr11min2)(MiiMii11min2Mii120)()()()(nXtrQnXQtrQnXQQtrnRKtrHHH15Mii1或 （2-27b）这里，i=1,2,M 是相关矩阵 R 的特征值，M 是自适应滤波器横向抽头数或阶数。i当此条件被满足时，LMS 算法是绝对收敛的，这是从均方值域保证稳定的条件。如果将其与均方值域所讨论的稳定条件式（2-14）相比较看，由于仅是 max中的一个最大值，所以，由式（2-27）所表示的稳定条件既是必要的又是充分的。2.2.3 失调在自适应滤波器中，失调（Misnadjustment）M 是衡量其滤波性能的一个技术指标，它被定义为总体平均超量均方误差值与最小均方误差值之比，即)(exminM= （2-28）把式（2-26）代入上式中，得到 M= （2-29） 通常所用 值很小，因此，失调又可近似表示为 M= （2-30）显而易见，自适应滤波器 LMS 算法的稳态失调与步长 成正比。把算法的总体平均学习曲线的时间常数写成的逆数，而平均特征值应等于 ，则滤波器avmse)(av2av稳定失调 M 又可由式（2-29）写成M= （2-31）上面诸式表明：（1）失调为自适应 LMS 算法提供了一个很有用的测度，比如 10失调意味着自适应算法所产生的总体平均 MSE 高于最小均方误差的增量值为 10；（2）失调是随滤波系数数目线性增加的；（3）失调可以做的任意小，只要选用大的时间常数，也就是小的步长值即可。avmse)(但是，滤波器自适应收敛过程需要长的时间，影响了滤波器自学习、自训练的速度，所以，自适应滤波器 LMS 算法的失调与自适应收敛过程之间存在着矛盾，如何缩短收敛过程，而且有很小的失调，这是值得研究的问题。220Rtrmin)(exEMiiMii112Mii121AVmseMavM21)(4MkkM11162.2.4 缩短收敛过程的方法根据自适应滤波器权系数调节的递归计算公式可以看出，LMS 算法的迭代公式为 为了缩短收敛过程，概括起来可以从如下三个方面进行设计：第一，采用不同的梯度估值，如 LMS 牛顿算法，它估计时采用了输入矢量相)(n关函数的估值，使得收敛速度大大快于上述经典的 LMS 算法，因为它在迭代过程中采用了更多的有关输入信号矢量的信息。第二，对收敛因子步长 选用不同方法。步长 的大小决定着算法的收敛速度和达到稳态的失调量的大小。对于常数的 值来说，收敛速度和失调量是一对矛盾，要想得到较快的收敛速度可选用大的 值，这将导致较大的失调量；如果要满足失调量的要求，则收敛速度受到制约。因此，人们研究了采用变步长的方法来克服这一矛盾。自适应过程开始时，取用较大的 值以保证较快的收敛速度，然后让 值逐渐减小，以保证收敛后得到较小的失调量。现在已有不同准则来调整步长 ，如归一化 LMS 算法、时域正交化 LMS 算法等。第三，采用变换域分块处理技术。对由滤波器权系数矢量调整的修正项中的乘积用变换域快速算法与分块处理技术可以大大减少计算量，且能改善收敛特性，如频域 LMS 算法、分块 LMS 算法等。)()()()(21)() 1(nxnenwnnwnw17第三章第三章 LMS 自适应滤波器的改进形式自适应滤波器的改进形式文献中已经提出了许多基于 LMS 算法的改进的自适应算法。这些算法的共同特点是从LMS 算法出发，试图改进 LMS 算法的某些性能，包括 LMS 算法的收敛特性，减小稳态均方误差，减小计算复杂度。3.1 归一化 LMS 算法如果不希望用与估计输入信号矢量有关的相关矩阵来加快 LMS 算法的收敛速度，那么可用变步长方法来缩短其自适应收敛过程，其中一个主要的方法是归一化 LMS（Normalized LMS,缩写为 NLMS）算法6-8，变步长 （n）的更新公式由式（2-8）写成 （3-1）)()()()()()()1(nwnwnxnennwnw式中，表示滤波权系数矢量迭代更新的调整量。为了达到快速收敛的)()()()(nxnennw目的，必须合适地选择变步长 （n）的值，一个可能的策略是尽可能多的减小瞬时平方误差，即用瞬时平方误差作为均方误差 MSE 的简单估计，这也是 LMS 算法的基本思想6。瞬时平方误差可以写成22)()()()(nwnxndneT （3-2）)()()(2)()()()()(2nxnwndnwnxnxnwndTTT如果滤波权系数矢量的变化量，则对应的平方误差可以由上)()()(nwnwnw)(2ne式得到)()()(2)()()()()()()()(2)()(22nxnwndnwnxnxnwnwnxnxnwneneTTTT18（3-3）在此情况下，瞬时平方误差的变化量定义为)(2ne)()()(223nenene （3-4）)()()()()()()(2nwnxnxnwnenxnwTTT把 的关系代入式（3-4）中，得到)()()()(nxnennw （3-5）22222)()()()()()()()(2)(nxnxnennxnxnenneTT为了增加收敛速度，合适地选取 （n）使平方误差最小化，故将式（3-5）对变系数（n）求偏导数，并令其等于零，求得 （3-6）这个步长值 （n）导致出现负的值，这对应于的最小点，相当于平方误)(2ne)(2ne差等于零。为了控制失调量，考虑到基于瞬时平方误差的导数不等于均方误差 MSE)(2ne求导数值，所以对 LMS 算法的更新迭代公式作如下修正： （3-7）式中， 为控制失调的固定收敛因子， 参数是为避免过小导致步长值太大而设)()(nxnxT置的。通常称式（3-7）为归一化 LMS 算法的迭代公式。为了保证自适应滤波器的工作稳定，固定收敛因子 的选取应满足一定的数值范围。现在我们来讨论这个问题。首先考虑到下列关系： （3-8a）)()(RtrnxnxET （3-8b）然后对收敛因子的平均值应用更新 LMS 的方向是 ,最后，将归一化 LMS 算)()(nxne法的更新公式与经典 LMS 算法更新公式相比较，可以得到收敛因子 的上界不等式条件，如下： （3-9）或 20显然， 由式（3-7）与（3-9）可构成归一化 LMS 算法，其中，选择不同的 值10可以得到不同的算法，当时，由式（3-7）可以写成0)()(1)(nxnxnT)()()()()()1(nxnenxnxnwnwT)()()()()()()()(nxnxEnxxeEnxnxnxneETT2Rtr12)(0RtrRtrn)()()()()()() 1(2nxnxnwndnxnwnwT19 （3-10）这种算法是 NLMS 算法的泛化形式，其中随机梯度估计是除以输入信号矢量元素平方之和。所以步长变化的范围比较大，可由较好的收敛性能。在此情况下，算法的归一化均方误差（NMSE）可由式（3-10）得到 （3-11）得到最佳滤波权系数： （3-12）PRw10式中， （3-13a） （3-13b）所以，自相关矩阵和互相关量都含有归一化因子，在稳定状态 x(n)和 d(n)时，假定自相关矩阵存在可逆性。同时，我们由式（3-11）可以看出，当且仅当时，归一R0)()(wnxndT化 LMS 算法的均方误差可等于零。这需要对 d(n)用输入信号矢量线性组合进行精确地建模。此时，最佳滤波权矢量变成合宜的线性权系数矢量。0w当 =1 时，NLMS 算法更新公式可以写成 （3-14）由此可见 NLMS 算法的特殊形式： （3-15）或 （3-16）这也表明等效步长是输入信号的非线性变量，它使变步长由大逐步变小了，加速了收敛过2)()()()()(nxnxnwndEnT2)()()(nxnxnxERT2)()()(nxnxndEP)()()()(1)()1(nxnenxnxnwnwT)()()()()(1)() 1(2nxnxnwndnxnwnwT21)()()()()()() 1(nxnxnxnwndnwnwT20程。当然，NLMS 算法的计算量较之 LMS 算法稍有些增加。下面我们介绍两个有趣的改进型 LMS 算法一为时域正交（Time-Domain Orthogonal）LMS 算法，简称为 TDO-LMS 算法(MLMS)，另一位修正 LMS 算法6。它们都属于可变步长的 LMS 算法，可以缩短自适应收敛过程的时间。3.1.1 TDO-LMS 算法时域正交算法是基于对平方误差取时间上的平均，即对 （3-17）取最小值。按上式对权系数矢量取偏导数，并令其等于零，得到时域正交准则下序列 x(n)对 d(n)进行线性估计的最佳权系数矢量，即0w （3-18a）或 （3-18b）这意味着用时域正交 LMS 算法的权矢量更新运算公式，可对线性估计的权矢量作自适应调整，使其逐步趋于最佳值。Huffman 的 TDO-LMS 算法的更新公式是 （3-19）当 m 取足够大的值时，上式又可近似成 （3-20）这与上面讨论的归一化 LMS 算法的权矢量更新公式相类似。3.1.2 MLMS 算法修正 LMS 算法是在 LMS 算法中权矢量的校正量与梯度估计之间人为地引入一个时延，利用现时刻的梯度估计代替前一时刻的梯度估计，有 （3-21）mnTmnnxnwndmnemneE02022)()()(11)(11)(0)()()()(1100nxnxnwndmmnT0)()()(1100mnTnxndnxwm, 2 , 1 , 0);()()()(12) 1() 1()() 1() 1()()() 1(nmmxmxmwmdmmmxmxmwmxmxmxmxmwTTTT)()()()()()()() 1(nxnxnwndnxmxmwmwTT) 1(21)() 1(nnwnw21称之为修正 LMS 算法。这种算法乍看起来似乎存在矛盾，因为本身就是的) 1( n) 1( nw函数，其实，它还是可解得。式（3-21）用瞬时梯度信息可表示为 （3-22）) 1() 1()() 1(nxnenwnw将代入上式，有) 1() 1() 1() 1(nwnxndneT) 1()1() 1() 1()() 1(nxnwnxndnwnwT整理后，得到 （3-23）式中 （3-24a） ) 1()() 1() 1(nxnwndneTM （3-24b） 显然，自适应步长 是可变收敛因子，它随着输入信号功率的变) 1( nM) 1() 1(nxnxT化可加快收敛速度，从而使 MLMS 算法的性能有了很大的改进，特别是在 选用的值较大时。当然，如果 只取很小，则 MLMS 算法近似等于 LMS 算法。比较式（3-15）与（3-23）可看出，MLMS 算法与 NLMS 算法特殊形式的更新公式很相似，变步长都取决于输入信号功率，但不同的是信号和误差序列都差一个时延的相应值，随着迭代运算次数的增加而趋于一致。因此，归一化 LMS 算法、时域正交 LMS 算法及修正 LMS 算法都是以输入信号功率控制变步长 LMS 算法，利用梯度信息调整滤波器权系数使其达到最佳值这一点完全相同。但它们的自适应过程较快，性能有了很大改进。输入信号功率与其相关矩阵 R 的特征值 有关，设 R 的特征矢量矩阵为 Q，i 是 R 的 m 个特征矢量，则有 ,可写成10LmQQQQQRQmm 或 (3-25) QRQTQQQQR1式中， 这表明变步长受 控制，与前述概念相一致。idiag, 1 , 0Lii3.2 泄露 LMS 算法 泄露 LMS 算法的迭代公式如式（3-26）所示： （3-26） )()(2)() 1(nxnenwnw式中， 为正值常数，需满足 （3-27） 10通常取 近似为 1。若 =1，则泄露 LMS 算法变为 LMS 算法8。对于常规的 LMS 算法，当 突然变为零时，权矢量系数将不再发生变化而保持 变为零时的值。而对于泄露) 1() 1() 1()() 1()1()() 1() 1() 1(1)() 1(nxnennwnxnxnwndnxnxnwnwMMTT) 1() 1(1) 1(nxnxnTM22LMS 算法，当 值变为 1 之后，滤波器的权矢量将逐渐变化，并最终变为 0 矢量。这个过程称为泄露8。泄露 LMS 算法在通信系统的自适应差分脉冲编码调制（ADPCM）中得到应用，被用来减小或消除通道误差。另一方面，泄露 LMS 算法也常用来在自适应阵列中消除旁瓣效应。实际上，在无噪声的条件下，泄露 LMS 算法的性能并没有常规 LMS 算法好，一下分析都可以说明这一点。由式（3-27） ，有 )()()(2)() 1(nxndnxnwnwT = （3-28） )()(2)()()(2nxndnwnxnxIT假定输入信号与权矢量是相互独立的，则 （3-29） pnwERInwE2)()2()1( 或者 （3-30）若要保证上述算法的稳定，需要有 (3-31)显然，上式明显与最佳权矢量由偏差。因此，泄露 LMS 算法是一种有偏的pRwopt1LMS 算法。 越接近于 1，偏差越小。可以证明，泄露 LMS 算法的稳定性条件为 （3-32）由于矩阵 是严格正定的，故没有零值的特征值。此外，泄露 LMS 算法的第 i 个权系数的时间常数为 （3-33）式中，表示泄露 LMS 算法第 i 个权系数的时间常数。显然，比 LMS 算法的时间常)(Li)(Li数小，即可能以更快的速度收敛。i3.3 极性 LMS 算法在有些应用领域，尤其是在高速通信领域，实际问题对算法的计算量有很严格的要求，因此，产生了一类称为极性（或符号）算法的自适应算法8。这种算法可以显著地减小自适应滤波器的计算量，有效地简化相应的硬件电路和程序计算。这类极性算法可以分为三种不同的实现方式，即对误差取符号的误差极性算法（SE） ，对输入信号取符号的信号极性算法（SR）和对误差与输入信号二者均取符号的简单极性算法（SS） 。这三种算法的权矢量迭代pnwEIRInwE2)()21(2)1(PIRnwEn121)(lim2111minIR21iiLi)1 (21)(23公式如式（3-34）所示。 （3-34）在式（3-34）中，符号函数 sgn定义为 （3-35）极性 LMS 算法的主要优点是计算量小。显然，这种算法把一个数据样本的 N 比特运算简化为一个比特的运算，即符号或极性的运算。另一方面，与基本 LMS 算法相比，这种三个在梯度估计性能上有所退化，这是由于其较粗的量化精度所引起的，并由此引起了收敛速度的下降和稳态误差的增加。3.4 LMS 算法梯度估计的平滑在迭代方程中，用带噪的瞬时梯度估值来替代梯度真值是 LMS 算法的一个)(n)(n显著缺点。如果使用连续几次梯度估值的平滑结果来替换这个瞬时值，则有可能改善 LMS算法的性能。有许多方法可以用于对一个时间序列进行平滑，归纳起来，可以分为线性平滑和非线性平滑两类8。设平滑 LMS 梯度估计的自适应迭代算法为 （3-36）)(2)() 1(nbnwnw式中， （3-37）TMnbnbnbnb)()()()(10对于线性平滑，一种有效的平滑方法是邻域平均法，即 （3-38）式中，N 表示参加平滑的梯度估值的样本点数。另一种有效地平滑方法是低通滤波法，即利用低通滤波器来进行线性平滑。 （3-39）)()() 1()()()()(NinxneinxneinxneLPFnbi式中，LPF表示低通滤波器。对于非线性平滑处理，常采用中值滤波技术。b(n)矢量中的第 i 个元素为)(nbi (3-40)NiinxneMednb)()()(或者 （3-41）)1() 1()()()(NinxNneinxneMednbi)(sgn)(sgn2)() 1()(sgn)(2)() 1()()(sgn2)() 1(nxnenwnwnxnenwnwnxnenwnw0, 10, 00, 1)sgn(ttttnNnjjxjeNnb1)()(1)(24式中，Med 表示取中值运算。中值平滑除了像线性平滑一样可以用于消除梯度估计的噪声之外，对信号的“边缘”成分影响不大，图 3.1 给出了基于中值平滑的 LMS 算法在自适应滤波中应用的结果。3.5 解相关 LMS 算法LMS 算法的一个主要缺点是其收敛速度比较慢，这主要是由于算法的输入信号矢量的各元素具有一定的相关性。研究已经表明，对输入信号矢量解相关可以有效地加快LMS 算法的收敛速度8。定义 x(n)与 x(n-1)在时刻 n 的相关系数为 （3-42）根据定义，若，则称是的相干信号；若,则称与1)(nc)(nx) 1( nx0)(nc)(nx之间不相关；若，则称与相关。值越大，与) 1( nx1)(0nc)(nx) 1( nx)(nc)(nx之间的相关性就越强。) 1( nx实际上，代表了信号中与相关的部分。如果中减去这) 1()(nxnc)(nx) 1( nx)(nx一部分，相当于一种解相关运算。定义解相关方向矢量为 （3-43）) 1()()()(nxncnxnv另一方面，考虑自适应迭代的收敛因子满足下列最小化问题的解，有 （3-44）)()(minarg)(nvnwJn由此得到时变收敛因子为 （3-45）这样，解相关 LMS 自适应算法的迭代公式为 （3-46）)()()() 1(nvnnwnw上述解相关 LMS 算法可以看做一种自适应辅助变量法，其中的辅助变量由给出。一般来说，辅助变量的选取原则是，它应该与滞后的输入和输出) 1()()()(nxncnxnv强度相关，而与干扰不相关。3.6 性能比较LMS 自适应滤波器在问世以来，受到了人们普遍的重视，得到了广泛的应用。这种滤波器的主要优点是其收敛性能稳定，且算法比较简单。然而，作为梯度算法的一种，LMS算法也有其固有的缺点，首先，这种方法一般来说不能任意初始点出发通过最短的路径到达极值点；其次，当输入信号自相关阵 R 的特征值在数值上分散性比较大时，这种方法出现了许多关于自适应滤波器的改进算法，例如本文提到归一化 LMS 算法、泄露 LMS 算法、解相关 LMS 算法以及 TDO-LMS 算法和 MLMS 算法。本节就其各种算法的性能进行比较。) 1() 1() 1()()(nxnxnxnxncTT)()()()(nvnxnenT25对于基本 LMS 算法来说，收敛因子应满足下列收敛条件：式中为自相关矩阵 R 的最大特征值6。max对于归一化 LMS 算法来说，收敛因子应满足下列收敛条件：10就能够保证经过足够大的 n 次迭代，自适应滤波器能够稳定收敛6。对于泄露 LMS 算法来说，收敛因子应满足下列收敛条件：对于极性 LMS 算法来说，其主要优点是计算量小，但它在梯度估计性能上有所退化，这是由于其较粗的量化精度所引起的，并由此引起了收敛速度的下降和稳态误差的增加8。根据自适应权调整公式)()(2)() 1(kxxekwkw可知，LMS 算法相应的梯度校准值为随机量，因此加权矢量将以随机的方式变化。所以，LMS 算法也称之为随机梯度法。LMS 算法由于加权矢量的随机起伏造成的影响主要包括失调量、稳态误差等。所以对 LMS 自适应算法的稳态误差也进行了仿真。第五章第五章 LMS 算法的应用算法的应用5.1 LMS 类均衡器自适应均衡器是在自适应滤波理论基础上建立起来的，包括非线性动力学神经网络滤波理论。我们考虑到的信道的时变特性和非线性，应用某种准则的自适应算法对均衡器参数随着信号和信道的变化做相应的调整6,8。从自适应均衡参数与接收信号的关系来看，大体上可分为线性均衡器和非线性均衡器。其中非线性均衡器按照功能和结构则可分为非递归均衡器和递归均衡器，以及神经智能均衡器。如果根据算法来分，有自适应最小均方误差（LMS）均衡器、自适应递归最小二乘（RLS）均衡器、自适应格型最小二乘（LLS）均衡器、自适应平方根 RLS 均衡器、自适应最大似然时序估计均衡器、混合滑动指数窗自适应判决反馈均衡器，以及盲自适应均衡器等。我们只对其中一种均衡器进行研究。LMS 算法是一类比较重要的自适应算法，其显著特点是比较简单，不需要计算有关的相关函数，也不需要矩阵求逆运算8。关于 LMS 算法的基本原理，在 2.2 节进行了详细的讨论，本节主要讨论 LMS 算法在信道均衡中的应用。5.1.1 解相关 LMS（Decorrelation LMS,DLMS）均衡算法根据相关文献，如果利用输入信号的正交分量更新自适应滤波器的参数，可以加快LMS 算法的收敛速度，这里提出的解相关 LMS 算法就是通过解相关算法利用输入信号的正max102111min26交分量更新滤波器的参数。首先定义均衡器抽头输入向量与在 n 时刻的相关系 nx1nx（5-1）则解相关运算就是从减去上一时刻与其相关的部分，并用解相关 nx1nx 1nxn的结果作为更新方向向量，即 nv （5-2） 1nxnnxnv另外，步长参数应该满足下式的最小问题解， n rRCJCopt1minarg其中，为期望响应，即 ,nxyErxxERT ny （5-3） nnCJn1minarg下降算法的均衡器抽头参数迭代表达式为 （5-4） nnnCnC1将式（5-2）和式（5-3）代入上式即可更新均衡器抽头系数。5.1.2 变化域解相关 LMS 均衡算法对 LMS 算法的改进还可以通过对输入信号向量 x 进行酉变换实现，通过酉变换可以提高收敛速度，而计算量并没有明显变化，此类算法及其变型统称为变换域自适应滤波算法4,8。其中酉变换可以使用 DFT,DCT 和 DHT 等变换方法。设 S 是一个酉变换矩阵，即MM （5-5）ISSH其中为一常数；用酉矩阵 S 对输入信号向量 x 进行酉变换，可以得到0 （5-6） nSxnu式中，表示变换后的信号向量，酉变换后的均衡器抽头权向量变为 nu1nC （5-7）则预测误差可表示为 （5-8） nunCnyneH1一般地，进行酉变换前，输入信号之间有相关性，变换后，相关性被基本消除，所以交换域算法相当于一种解相关算法。从滤波的角度来讲，原来的 M 阶滤波器通过变换成为新的信道滤波器。总结上述算法 111nxnxnxnxnTT111nSCnC27步骤 1：初始化 0; 0nnC步骤 2：给定一酉变换矩阵，更新各参量： （5-9） nSxnu （5-10） nunCnyneH1)( （5-11） nenunnCnCH15.2 自适应信号分离器参考输入是原始输入的 k 步延时的自适应对消器可以组成自适应预测系统、谱线增强系统以及信号分离系统，本节主要讨论分离器。图 5-1 表示一个用作信号分离器目的的系统，当输入中包括两种成分；宽带信号（或噪声）与周期信号（或噪声）时，为了分离这两种信号，可以一方面将该输入信号送入端，另一方面把它延时足够长时间jd后送入 AF 的端。经过延时后带宽成分已与原来的输入不相关，而周期性成分延时前jx后则保持相关5。图 5-1 自适应信号分离器原理图于是在输出中将周期成分抵消只存在宽带成分，在输出中只存在周期成分，此时jejyAF 自动调节,以达到对周期成分起选通作用。如果将所得到的值利用 FFT 变换成频域WW特性，则将得到窄带选通的“谐振”特性曲线。该方法可以有效地应用于从白噪声中提取周期信号。5.3 自适应陷波器如果信号中的噪声是单色的干扰（频率为的正弦波干扰） ，则消除这种干扰的方法是0w应用陷波器。希望陷波器的特性理想，即其缺口的肩部任意窄，可马上进入平的区域5。用自适应滤波器组成的陷波器与一般固定网络的陷波器比较有下列优点：（1） 能够自适应地准确跟踪干扰频率；（2） 容易控制带宽；图 5-2 给出了一个具有两个权的单频干扰对消器组成的陷波器。其原始输入为：任意信号与单频干扰的叠加，经采样后送入端，故有。tstwA0cosjdjTwAsdjj0cos参考输入为一标准正弦波，经采样后送入和端，其中后者经过相移，因而tw0cosqjxjx2090,两个权值和可以使得组合后得到，其幅度和相位都jTwxjTwxjj0201sin,cosjw1jw2jy可以与原始输入中的干扰分量相同，使输出中的单频干扰得以抵消，达到陷波的目的。je-Z-D+AF宽带信号周期信号宽带成分输出周期成分输出ejyj28未知系统自适应滤波器噪声输入x(n)v(n)z(n)d(n)e(n)y(n)+- 图 5-2 自适应陷波器原理框图5.4 系统辨识或系统建模 对于一个真实的物理系统，人们主要关心其输入和输出特性，即对信号的传输特性，而不要求完全了解其内部结构。系统可以是一个或多个输入，也可以有一个或多个输出。通信系统的辨识问题是通信系统的一个非常重要的问题。所谓系统辨识，实质上是根据系统的输入和输出信号来估计或确定系统的特性以及系统的单位脉冲响应或传递函数。系统辨识和建模是一个非常广泛的概念，在控制、通信和信号处理等领域里都有重要意义。实际上，系统辨识和建模不仅局限于传统的工程领域，而且可以用来研究社会系统、经济系统和生物系统等。本节只讨论通信和信号处理中的系统辨识和建模问题。采用滤波器作为通信信道的模型，并利用自适应系统辨识的方法对通信信道进行辨识，从而可以进一步地对通信信道进行均衡处理。如果把通信信道看成是一个“黑箱”，仅知道“黑箱”的输入和输出；以一个自适应滤波器作为这个“黑箱”的模型，并且使滤波器具有与“黑箱”同样的输入和输出。自适应滤波器通过调制自身的参数，使滤波器的输出与“黑箱”的输出相“匹配”。这里的“匹配”通常指最小二乘意义上的匹配。这样，滤波器就模拟了通信信道对信号的传输行为。尽管自适应滤波器的结构和参数与真实的通信信道不一样，但是它们在输入、输出响应上保持高度一致。因此，在这个意义上，自适应滤波器就是这个未知“黑箱”系统的模型。并且还可以发现，如果自适应滤波器具有足够多的自由度(可调节参数)，那么，自适应滤波器可以任意程度地模拟这个“黑箱”。假定未知信道为有限冲激响应(FIR)结构，构造一个 FIR 结构的自适应滤波器，如图 5-3 所示。在图中，用一伪随机系列作为系统的输入信号x(n)，同时送入未知信道系统和自适应滤波器。调整自适应滤波器的系数，使误差信号e(n)的均方误差达到最小，则自适应滤波器的输出y(n)近似等于通信系统的输出d(n)。可以证明，加性噪声v(n)的存在并不影响自适应滤波器最终收敛到最优维纳解。可以认为，-+900LMSs(t)+Acos(w0t+f )cos(w0t)29具有相同输