一类具有双线性发生率的传染病模型毕业设计论文

一类具有双线性发生率的传染病模型摘 要：本文研究了一类具有因病死亡因素的SIR传染病模型和一类具有接种免疫的SIR传染病模型. 具有因病死亡因素的SIR传染病模型中，讨论了模型的无病平衡点和正平衡点的稳定性，通过线性化方法和构造合适的Lyapunov函数, 得到如下结论：当时，无病平衡点是全局渐近稳定的；当时，不稳定；当时，正平衡点是全局渐近稳定的.同时，在经典SIR模型的基础上构建了一种具有接种免疫的SIR传染病模型，利用数值分析的方法对其传播过程进行研究，通过理论分析证明其渐近稳定性与传统的统计方法相比，利用该模型能够更好地了解流行过程中的一些全局性态关键词：SIR传染病；无病平衡点；全局渐近稳定性；接种免疫An Sis Epidemic Model With Bilinear Incidence RateAbstract: We investigate an SIR epidemic model with disease-reduced death rate. Then the stability of the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium is discussed. By the linearization method and using Lyapunov functions, we obtain the following results: when the basic reproduction number, the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable; while， is unstable, and the endemic equilibrium is globally asymptotically stable. At the same time, based on the traditional SIR model to construct a SIR epidemic model with vaccination, using the numerical analysis method to study the propagation process, through theoretical analysis proves the asymptotic stability. Compared with the traditional statistical methods, using the model to better understand the epidemic process in some global behavior.Key words: SIR model； Disease-free equilibrium；Global stability；Vaccination目 录1 绪论11.1 论文研究的背景及意义11.1.1 研究的背景11.1.2 国内外研究现状41.2 研究的主要内容41.3 采用的方法、手段以及步骤等42 SIR模型简介62.1 传染病动力学的基本概念62.1.1 传染病动力学模型的提出62.1.2 SIR仓室模型62.2 相关定义和理论82.3 本章小结113 具有因病死亡因素SIR模型及稳定性分析123.1 具有因病死亡因素SIR模型的建立123.1.1 模型概述123.1.2 传染病流行的框图123.1.3 SIR传染病模型的建立123.2 无病平衡点的稳定性133.3 正平衡点的稳定性143.4 本章小结174 带有接种免疫的传染病模型184.1 带有接种免疫的传染病模型的建立184.1.1 模型概述184.1.2 相关参数184.2 对带有接种免疫的传染病模型的稳定性分析204.2.1 对时滞微分系统的分析204.2.2 对无病平衡点的稳定性分析204.2.3 对地方平衡点的稳定性分析214.3 本章小结225 总结23参考文献24致谢25II1 绪论1.1 论文研究的背景及意义1.1.1 研究的背景世界卫生组织(WHO)发表的世界卫生报告表明，传染病依然是危害人类健康的第一杀手. 传染病对人类的生产生活产生了巨大影响.回顾传染病的历史，传染病给人类带来的死亡，或者创伤比战争的总和还要大.首先从历史上看，最严重的瘟疫是古希腊在雅典发生的瘟疫；然后是六世纪的时候，东罗马拜占庭发生鼠疫；接下来是十二、十三世纪的时候，欧洲又兴起一个麻风病，到了十四世纪的时候，欧洲发生了一次非常大的鼠疫，也称为黑死病，当时整个欧洲流行鼠疫，死亡了两千万人，造成非常恐怖的一种景象.在记忆当中，我们国家也发生过大的流感，1957年有一次非常大的流行，到了1968年又有一次，到1998年又有一次，都是全世界范围的，相当大范围的一种流行. 那么，究竟传染病的传播规律是什么?它是如何持续下去并发展成为地区性疾病的?此种疾病怎样才会最终消亡，染病个体怎么样才能恢复健康等一系列问题都是人们十分关注的问题.由此可见我们必须对生态及传染病进行研究，对于我们的研究方向来说，就是用动力学的方法对种群生态学和传染病的传播规律进行研究，研究种群、传染病随时闻的演变规律以及种群、传染病与周围环境之间的关系.具体地说就是研究随着时间的推移种群是持续生存还是走向灭绝，传染病是继续传播还是消失，种群的规模和传染病的传播是否具有平衡态，这种平衡态是否稳定，是动平衡还是静平衡？环境的变迁(如污染、病菌和人为的破坏)将对种群和传染病产生怎样的影响等问题，这些问题用动力学的方法来研究就转化为种群动力学模型和传染病动力学模型(包括微分动力系统模型和时滞微分系统模型)解的存在唯一性、渐近性、振动性、稳定性和极限环等问题，而分支的存在性，就使得自然界的变化规律显得更加复杂，其实这也是符合客观事实的，从某种意义上说全局稳定是一种理想化的结果，分支和混沌的存在才是自然界发展变化的规律，疾病的传播也是如此.所以，对分支的研究就更加必要.通过对种群生态动力系统和传染病动力系统的研究，我们可以对种群进行合理的开发、利用、控制和保护，对传染病进行合理的控制、预防和治疗.因此，研究种群动力系统和传染病动力系统，不论在理论上还是实际生活中都有重要的指导意义.随着社会经济的发展和人民生活水平的提高，传染病仍然是威胁人类健康的第一大杀手.从卫生部公布的全国法定报告传染病疫情中就能看出端睨. 2004年全国甲、乙类传染病发病总数为318万多例，死亡7151例.发病数居前5位的病种为：肺结核、乙型肝炎、痢疾、淋病、甲型肝炎，占发病总数的 85.01%，死亡数居前五位的病种依次为：狂犬病、肺结核、乙型肝炎、艾滋病、新生儿破伤风，占死亡总数的82.65%.卫生部公布的05年3、4季度法定传染病疫情甲、乙类发病数居前五位的病种为肺结核、乙肝、痢疾、淋病、梅毒.死亡数居前五位的病种依次为：肺结核、狂犬病、艾滋病、乙肝、乙脑或出血热.发病数和死亡数居前五位的传染病，均是危害民众健康主要的和重大的传染病.尽管从中央到地方各级政府和卫生管理、医疗部门采取一系列重大措施加以防治，但每位公民从自身做起，主动健康和主动防治是必不可少的.结核病是历史上对人类健康危害最大的疾病之一.在19世纪，“白色瘟疫”肺结核（痨病）曾无情地夺走了无数人的生命.直到1945年特效药链霉素的问世才使肺结核不再是不治之症.随着抗生素、卡介苗和化学药物的问世，肺结核一度得到很好控制.但是近年来肺结核却在全球死灰复燃.自2000年以来全球每年有200万人死于肺结核，近千万人新感染结核病.我国目前约有5.5亿人感染过结核菌，感染率达44.5%.全国有活动性肺结核病人达500多万人，居世界第二，且80%患者在农村.每年全国新发生患者约145万人，有13万死于结核病及其并发症，约有1/4患者呈耐药性.自05年3月份起肺结核首次超过狂犬病成为甲、乙类传染病死亡率最高的病种.由于肺结核病菌的抗药性和结核杆菌的变异，提高了这种疾病的威胁，让肺结核成为致命的传染病.没有治疗过的结核病人是最危险的传染源，而结核病患者一经治疗其传染性可迅速降低.因此，发现和及时治疗结核病人是防治的头等大事.讲究卫生，不随地吐痰，儿童期接种卡介苗，劳逸结合，加强锻炼等均可较好地预防结核病.我国是乙肝高发区，人群感染率达60%左右，其中10%成为慢性乙肝病毒携带者.因此全国大约有7亿多人曾经感染过乙肝病毒，其中约1.3亿人是乙肝病毒携带者.在乙肝病毒携带者中，约25%的人最终将转化为慢性肝炎，包括肝硬化和肝癌，每年因此死亡约30万例，其中一半是因肝癌而死亡.因无特效药治疗乙肝，一旦发病只能对症治疗，全国一年用于肝炎治疗直接费用超过1000亿元.一个人如果感染了乙肝病毒，不仅严重影响身心健康，干扰正常生活，影响升学、就业、婚姻，还给家庭带来沉重的经济负担.同时慢性乙肝病毒携带者外表上看不出有病的样子，本人也没有不舒服的感觉，但这些人可以把病毒传给健康人.乙肝病毒主要通过血源性传播、母婴传播、医源性传播、性接触传播和密切性传播等途径传播疾病.只要及早接种乙肝疫苗，注意切断传播途径，乙肝是可以很好的预防的.狂犬病又称疯狗病、恐水症，是由狂犬病毒感染人引起的疾病，表现为急性、进行性、几乎不可逆转的脑脊髓炎.犬伤者经过二至八周潜伏期才会发病，也有的长达数十年才发病，一旦发病，病死率高达100%.狂犬病毒是人畜共患的急性传染病，除狗和猫可以传染外，狐狸、狼、猪、鼠、兔、牛和蝙蝠等很多动物都可传染狂犬病，一些表面上“健康”的狗可能带有狂犬病毒.近年来我国狂犬病发病数持续快速上升，一个主要的原因是城乡各地养犬数大量增加，而犬的免疫接种率却很低，管理中漏洞多，犬伤人事件时有发生，且有相当多的人在被犬伤后没有按规范处理伤口，没接种狂犬病疫苗和抗血清，致使狂犬病成为传染病死亡的主要疾病之一.在05年3月以前，连续7年狂犬病死亡率一直处于我国法定传染3 病的第一位.每年我国因被动物咬伤接种狂犬病疫苗人数约8001000万人，处理伤口、注射疫苗与抗血清等直接药费约1520亿元.狂犬病的流行不仅是一个健康的问题，更与社会的文明和法规健全有直接的关系.要防止狂犬病的流行，首先要做到狗的管理和免疫工作，家养宠物应定期注射动物疫苗.人被动物咬伤或抓伤应立即处理伤口并注射疫苗.狂犬病是“可防不可治”的疾病，做好预防工作尤为重要.例如艾滋病是一种病死率极高的严重传染病，目前还没有治愈的药物和方法，但可以预防.艾滋病医学名称为“获得性免疫缺陷综合征”（AIDS），是由艾滋病毒（HIV）引起的一种严重传染病.艾滋病毒通过性接触、血液及其制品、母婴传播疾病，病毒侵入人体后破坏人的免疫功能，使人体发生多种难以治愈的感染和肿瘤，最终导致死亡.艾滋病病毒感染者的血液、精液、阴道分泌液、乳汁、伤口渗出液中均含有大量艾滋病毒，具有很强的传染性.感染者经过710年间的潜伏期可发展为艾滋病病人，在此之前外表看上去正常，可以没有症状的生活和工作，但能将病毒传染给其他人.我国于1985年发现首例艾滋病到现在已达84万.艾滋病感染者年增长速度4058%.与国家和各级政府提出的艾滋病感染率年增长10%的控制目标相距甚远.如果控制不好到2010年我国将有 1000万艾滋病毒感染者.艾滋病带来的早死和残疾、期望寿命降低、沉重的家庭和社会负担以及严重损害综合国力的提高和国家的国际声誉已是不争的事实.而艾滋病更是一个关系民族振兴乃至国家安全的政治问题，每一位公民应该以高度的社会责任感和政治责任感来重视和开展预防工作，才能遏制艾滋病的传播. 性病是一种通过性传播的疾病，包括淋病、梅毒、生殖器疱疹、艾滋病等.新中国成立后，由于政府十分重视性病的防治工作，性病曾在20世纪50年代中期迅速减少和消失.但从1980年以来，性病在我国重新出现，并迅速蔓延.性病是危害人类最严重、发病最广泛的一种传染病，它不仅危害个人健康，也殃及家庭，遗害后代，同时还危害社会.性病的流行已对人们的健康和社会发展构成了严重威胁.性病对人体健康的损害是多方面的，得病后若不能及时发现并彻底治疗，可损害人的生殖器官，导致不育，还可损害心脏、脑甚至死亡.有些性病一旦染上难以治愈.还有相当一部分性病患者症状较轻或没有任何明显症状，却可以通过性病传播途径传给其他健康人.性病防治是一项社会性很强的工作，在动员社会各方面齐抓共管，综合治理同时，加强性病知识的普及教育，提高人们的自我防护能力，是预防和控制性病的有效方法.人类跟传染病做斗争的历史，到现在这个阶段取得了非常大的胜利.从传染病的历史，以及人跟传染病做斗争的历史里边我们得到这样三个方面的启示：第一个，传染病是将长期存在，一定要有这个思想准备.因为我们人类和微生物和其他的生物都是在这个自然界共存的，它们之间是一个相生相克的这样互相制约的这样一个作用，所以应该说是一个长期存在的.第二个启示，就是现代科学的发展，根本改变了人类与传染病力量的对比.那么最后我要讲的第三个启示，充分重视传染病，了解它们，用科学的方法去对抗，例如传染病动力学. 目前全球60亿人口中约有半数受到各种不同传染病的威胁.因此对各种传染病的传播机理的研究就显得极其紧迫. 1.1.2 国内外研究现状目前，对传染病的研究主要有四种：描述性研究、分析性研究、实验性研究和理论性研究.传染病动力学是对传染病进行理论性定量研究的一种重要方法.它是根据种群生长的特性，疾病的发生及在种群内的传播、发展规律，以及与之有关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型，通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟，来显示疾病的发展过程，揭示其流行规律，预测其变化趋势，分析疾病流行的原因和关键因素，寻求对其预防和控制的最优策略，为人们防制决策提供理论基础和数量依据. 与传统的统计方法相比，动力学方法能更好地从疾病的传播机理方面来反映流行规律，能使人们了解流行过程的一些全局的性态.传染病动力学与生物统计学以及计算机仿真等方法相互结合、相辅相承，能使人们对传染病流行规律的认识更加深入全面，能使所建立的理论与仿控策略更加可靠和符合实际. 近20年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题.这些数学模型大多使适用于各种传染病的一般规律的研究.1.2 研究的主要内容 本文旨在结合基本的SIR模型，引入因病死亡因素构造新的SIR模型，并考虑基于经典的双线性传染率的SIR模型，建立一类具有接种的SIRV传染病模型，并进行定性分析.主要是平衡点的全局稳定性分析.1.3 采用的方法、手段以及步骤等 本文研究了一类具有双线性发生率的SIR传染病模型，考虑了疾病的因病死亡因素，讨论了模型的无病平衡点和正平衡点的稳定性，通过线性化方法和构造合适的Lyapunov函数，得到如下结论：当时，无病平衡点是全局渐近稳定的，当时，不稳定；当时，正平衡点是全局渐近稳定的. 同时考虑基于经典的双线性传染率的SIR模型，建立一类具有接种的SIRV传染病模型，讨论模型的无病平衡点和地方病平衡点.通过线性化方法和Lyapunov函数，得到如下结论：存在无病平衡点.当时还存在唯一的地方病平衡点，当时在D上是全局渐近稳定的；当时在D内是全局渐近稳定的2 SIR模型简介2.1 传染病动力学的基本概念2.1.1 传染病动力学模型的提出 传染病动力学是对传染病的流行规律进行理论性定量研究的一种重要方法.它是根据种群生长的特性，疾病发生和种群内传播的规律以及与之有关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型，通过对模型动力学性态的定性定量分析和数值模拟来显示疾病的发展过程，揭示其流行规律，分析疾病流行的原因和关键因素，寻求对其预和控制的最优策略，为人们防止疾病提供理论基础和数量依据.与传统的生物统计学方法相比，动力学方法能更好的从疾病的传播机理方面来反映流行规律，能使人们了解传染病中的一些全局动态.传染病动力学与生物统计学以及计算机仿真的相互结合、相辅相成，能使人们对疾病流行规律的认识更加深入、全面，能使所建立的理论与防治策略更加可靠和切合实际.早在1760年，DBernoulli曾用数学研究过天花的传播但是20世纪初确定性的传染病模型的研究才开始1906年Hamer为了研究荨麻疹的反复流行，构造了一个离散型的时间模型获得两次诺贝尔奖的Ross博士利用微分方程研究了痢疾在蚊子和人类之问传播的动态行为1926年Kermack和McKendrick为了研究1665到1666年的黑死病在伦敦的流行规律以及1906年的瘟疫在孟买的流行规律，构造了著名的SIR仓室模型，又在1932年提出了SIS模型，在分析模型的基础上提出了区分疾病流行与否的“阀值理论”，为传染病动力学的发展奠定了基础.传染病动力学的建模和研究于二十世纪中叶开始蓬勃发展，作为标志性的著作是Bailey于1957年出版的专著数理流行病学.优化控制的方法也常被用于传染病动力学的研究.近年来，国际上传染病动力学的研究被用于分析各种各样的传染病问题.这些数学模型大多适用于各种传染病的一般规律的研究，也有部分是针对诸如麻疹、疟疾、肺结核、天花等诸多具体疾病的模型.在传染病动力学中，长期以来主要使用的数学模型是所谓的“仓室”(compartment)模型，它的基本思想是由Kermack与McKendriok创立于1927年，但一直到现在仍然被广泛的使用和不断的发展着，由于历代科学家的不断努力，这种思想现在越来越完善. 2.1.2 SIR仓室模型 下面简要介绍SIR仓室模型：SIR仓室模型就是针对某类传染病将该地区的人群分成以下三类（即三个仓室）：(1) 易感者(susceptibles)类 其数量记为，表示在时刻为染病但可能被该类疾病传染的人数. (2) 染病者(infectives)类 其数量记为，表示在时刻已被感染成病人而且具有传染力的人数. (3) 移出者(removed)类 其数量记为，表示在时刻已从感染者类移出的人数.KermackMcKendrick模型基于下面三种假设： 1) 设总人口为, 则有. 不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素，这意味着考虑一个封闭的环境且假定疾病随时间的变化要比出生、死亡随时问变化明显很多，从而后者可以忽略不计，这样，这个环境的总人口就始终保持一个常数： ，K-M的SIR模型是一个十分简单粗糙的模型.2) 一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力，我们假设时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数成正比，比例系数为, 从而在时刻单位时间内被所有病人传染的人数（即新病人数）为.3) t时刻，单位时间内从感染者类移出的人数与病人数量成正比，比例系数为，从而单位时间内移出者数量为. 显然，是单位时间内移出者在病人中所占的比例，称为移出率系数，当不致混淆时也简称为移出率.当移出者中包括康复者时，移出者系数又称为恢复率系数或简称为恢复率1.在以上假设下，其过程如图1-1所示：RIS 图1-1 SIR传染病基本模型框图模型是比SIR模型较简单粗糙的模型，这个模型得到了历史上发生过的大规模的传染病，如上个世纪初在印度孟买发生的瘟疫数据的有力支持.后来很多研究人员对SIR模型做了推广.在不考虑出生和死亡等种群动力学因素的情况下，传染病若无潜伏期，动力学模型可表示为：SI模型，患病后难以治愈；SIS模型，患病后可以治愈，恢复者不具有免疫力；SIR模型，患病者治愈后可获得终身免疫力；SIRS模型，病人康复后有暂时的免疫力，单位时间内将有部分患者丧失免疫力而可能被再次感染.若考虑传染病的潜伏期，在三类人群中增加一类，感染而未发病者（Exposed），可在SIR或SIRS模型的基础之上得到更为复杂的SEIR或SEIRS模型.若考虑种群动力学、疫苗接种、隔离以及密度制约、年龄结构等更为复杂的因素，模型的参数和复杂程度也将增加.2.2 相关定义和理论定义2.1考虑自治系统： （2-1）其中.设是一开子集,若(2-1)的轨线有全导数： 则称V是系统（2-1）的Lyapunov函数. 定理2.2Lyapunov定理 设方程,当时, 在原点临域内解存在且唯一，如果在原点临域存在一个正（负）定函数它沿着解得全导数 是常负（常正）或恒等于零，则方程平凡解是稳定的.由于特征根实部的符号在稳定性问题中有关键性的作用，这里列出Hurwitz准则.它给出特征方程根由负实部的充分必要条件.定理2.3 Hurwitz 判据 考虑多项式方程，其中.作Hurwitz行列式 上式延伸得：(1) 所有特征根具有负实部的充分必要条件是，所有的Hurwitz行列式的值大于零，既(2) 所有特征根具有负实部的必要条件是，特征方程的所有系数.定义1.4 假设A是一个nn常数矩阵，使得关于u的线性代数方程组 (2-2)具有非零解的常数称为A的一个特征值.（2-2）的对应于任一特征值的非零解成为A的对应于特征值的特征向量.N次多项式称为A的特征多项式，n次代数方程 (2-3)称为A的特征方程.定义2.5 广义Jacobi矩阵是指如下矩阵形式： (2-4) 其中，.定理2.6Lasalle不变原理设D是一有界闭集，从D内出发的自治统： (2-5)的解(停留在D中)若存在,具有一节偏导数，使得,又设是最大不变集，则当时，有，特别的，若则(2-5)式得平凡解是渐近稳定的.定理2.7 考虑n阶常系数线性微分方程组 (2-6)其中为方程组(1-6)的系数矩阵的特征方程 (2-7)若特征方程(2-7)的根均具有负实部，则方程组(2-6)的零解是渐近稳定的.若特征方程(2-7)具有正实部的根，则方程组(2-6)的零解是不稳定的，若特征方程(2-7)没有正实部的根，但有零根和零实部的根，则方程组(2-6)的零解可能是稳定的也可能是不稳定,这样看零根或具零实部的根其初级因子的次数是否等于1而定.定义 2.8 设f是一个实对称双线性函数，而且对任意非零向量，则称f是负定的.定义2.9lipschitz条件若存在常数K,使得对定义域D的任意两个不同的实数均有：成立，则称在D上满足lipschitz条件.定理及推论 2.10 比卡存在和唯一性定理设初值问题其中，在矩形区域内连续，而且对满足lipschitz条件，则(F)在区间上有且只有一个解，其中 由上述定理我们可以得到一下推论：满足局部Lipschitz条件的的解在大范围上存在且唯一.2.3 本章小结 本章主要是简要介绍传染病动力学的提出及运用，并介绍了基本的SIR仓室模型.在此基础之上列举了在以后的计算中将要运用到的定理与推论，如lipschitz条件、比卡存在和唯一性定理等等.3 具有因病死亡因素SIR模型及稳定性分析3.1 具有因病死亡因素SIR模型的建立3.1.1 模型概述考虑具有出生和死亡的SIR模型，设N是总人口，S是易感者类及其数量，I是染病者类及其数量，R是移出者类及其数量. 则总人口满足方程 (3-1)进一步假设:(1) 在疾病流行期间，人口的出生率系数和自然死亡率系数相等，其值为.(2) 因病死亡率系数为.(3) 设生的新生儿都是易感者，疾病的发生率为双线性的SI.(4) 恢复率系数为.(5) 染病者移出后不再被感染.3.1.2 传染病流行的框图如图3-1所示：RIS图3-1 具有因病死亡因素传染病流行框图3.1.3 SIR传染病模型的建立由以上分析，得到如下的SIR仓室模型： (3-2)前两方程不含R，故只需讨论前两个方程 (3-3)基本再生数为方程（3-2）总存在无病平衡点，当时，存在正平衡点为.3.2 无病平衡点的稳定性定理 3.2.1 当时，则是全局渐近稳定的，当时，不稳定.证明 先证局部稳定性令 显然D是方程（3-2）的正向不变集.1） 对于无病平衡点，方程（3-2）的线性化系统的系数矩阵为 其特征方程为 求之，可得 当时，则是局部渐近稳定的；当时，则不稳定2.下面证明当时，的全局稳定性. 构造Lyapunov 函数.则当,有 当时, 当且仅当时等号成立.显然是（3-3）的最大正不变子集.由Lasalle不变原理知，结合的局部渐近稳定性知，全局渐进稳定. 3.3 正平衡点的稳定性定理3.3.1 当时，正平衡点全局渐近稳定.证明： 已知，对于正平衡点,方程（3-2）的线性化系统的系数矩阵为 其特征方程为 求之，可得 其中 所以,则是局部渐近稳定的3.现在证明的全局稳定性. 为了方便证明，现构造（3-2）的等价方程：已知 ，由（3-2）可得（3-2）的等价系统为 其正平衡点为,这里 .构造Lyapunov 函数令，则因为 则 因为 , 则 因为 , 则 因此， 且 由Lasalle不变原理知，为全局吸引的，即是全局吸引的.又由是局部渐近稳定性知，是全局渐近稳定的. 3.4 本章小结本章首先介绍了考虑因病死亡因素的传染病模型的基本假设以及参数设定，在此基础之上列出模型的具体方程组.讨论了模型的无病平衡点和正平衡点的稳定性，通过线性化方法和构造合适的Lyapunov函数, 得到如下结论4：(1) 当时，无病平衡点是全局渐近稳定的.(2) 当时，不稳定.(3) 当时，正平衡点是全局渐近稳定的.4 带有接种免疫的传染病模型4.1 带有接种免疫的传染病模型的建立4.1.1 模型概述传染病通常由病毒或细菌引起由细菌引起的传染病的传播规律往往符合SIS、SIRS等传染病模型，而由病毒引起的传染病的传播规律往往符合SI、SIR等传染病模型对此已有大量的研究结果，近年来，人们逐渐将一些对疾病传播的防控措施引入传染病模型之中进行分析研究国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题.这些数学模型大多使适用于各种传染病的一般规律的研究.本章将考虑基于经典的具有常数输入率和双线性传染率的SIR模型，建立一类具有接种的SIRV传染病模型，因此，将总种群分为四类5：易感类（S)，染病类(I)，恢复类(R)和被接种类(V)，分别以和表示各类在t时刻个体的数量假设仅对易感类中的个体进行接种，并且被接种者经过一段时间后又会丧失免疫力而成为易感者4.1.2 相关参数在具有接种免疫的传染病模型中引入的参数如下：(1) A表示对种群的常数输入率(2) 表示种群的自然死亡率(3) 表示易感者被接种率(4) 表示疾病的传播系数(5) 表示染病者的恢复率.(6) 表示染病者的因病死亡率表示被接种者在失去免疫而返回到易感类之前t时间段内仍具有免疫力的概率根据假设，有 (4-1)其中表示0时刻具有免疫力到f时刻仍具有免疫力的被接种的个体数函数是非负的单调不增的分段连续函数 如果函数是一个指数函数，即.则意味着被接种者以速率移出被接种类（V）而进入易感类（S），被接种者得平均免疫期为.这时相应的有.因此积分方程（4-1）对应于常微分方程 （4-2）如果函数是一个阶梯函数，即在上,在上，其中为免疫期.此阶梯函数意味着在初始时刻被接种的个体经过时刻就不再具有免疫力，因此，当时，积分方程（1）就变为 （4-3）其中表示u时刻被接种的个体到t时刻仍然活着的概率.为了保证的连续性，假设 则积分方程（4-3）等价于时滞微分方程 （4-4）如此，对应于的两种形式，具有双线性传染率6的SIR-V模型为 （4-5）在系统（4-5）中，前两个方程都不显含有变量和，因此（4-5）的动力学性态可由下面的时滞微分系统来决定 （4-6）根据实际背景，假设（4-6）的初始条件为 容易知道在初始条件下（4-6）对存在唯一的解4.2 对带有接种免疫的传染病模型的稳定性分析4.2.1 对时滞微分系统的分析易知系统(4-6)有正不变集.同时可得下面的结论：定理 记系统（4-6）总存在无病平衡点.当时还存在唯一的地方病平衡点，当时在D上是全局渐近稳定的；当时在D内是全局渐近稳定的4.2.2 对无病平衡点的稳定性分析证明 对于系统(4-6)，直接计算即可得知平衡点的存在性下面讨论无病平衡点的全局稳定性71） 记，则系统(4-6)变为2） 定义 ，则3）定义Iiapunov泛函则 注意到等价于，所以当时，由Lasalle不变集原理，在D上是全局渐近稳定的8.4.2.3 对地方平衡点的稳定性分析证明 下面讨论地方病平衡点 的全局稳定性1)作变量代换，则系统(4-6)变为 2）定义 则 3）定义Llapunov泛函则 因此，当时地方病平衡点是全局渐近稳定的9.定理4.2.1证毕4.3 本章小结本章首先介绍考虑接种免疫的传染病模型的基本假设以及参数设置，根据假设建立相应的方程组.求得其无病平衡点以及地方平衡点，并且通过计算证明其稳定性，得到以下结论：(1) 总存在无病平衡点.当时还存在唯一的地方病平衡点.(2) 当时在D上是全局渐近稳定的.(3) 当时在D内是全局渐近稳定的5 总结本文研究了一类具有双线性发生率的SIR传染病模型，考虑了疾病的因病死亡因素，讨论了模型的无病平衡点和正平衡点的稳定性，通过线性化方法和构造合适的Lyapunov函数，得到如下结论: (1) 当时，无病平衡点是全局渐近稳定的.(2) 当时，不稳定.(3) 当时，正平衡点是全局渐近稳定的. 以往研究的具有因病死亡因素的SIR传染病，只是得到了正平衡点的局部稳定性，因此我们的研究补充了以往的理论结果.同时本文又研究了一种具有免疫接种的SIR传染病模型，大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者(易感者)，也非病人(已感染者)，他们已经退出传染系，而且实际上对于很多流行病，对易感者是要进行预防接种，但经典的SIR模型并未考虑此种情况对此，在经典SIR模型的基础上构建了一种具有接种免疫的SIR传染病模型，通过理论分析证明其渐近稳定性，讨论模型的无病平衡点和地方病平衡点.通过线性化方法和Lyapunov函数，得到如下结论：存在无病平衡点,当时还存在唯一的地方病平衡点.当时在D上是全局渐近稳定的，当时在D内是全局渐近稳定的与传统的统计方法相比，利用该模型能够更好地了解流行过程中的一些全局性态参考文献1马知恩,周义仓,王稳地等.传染病动力学的数学建模与研究M.北京:科学出版社， 2004：1-21. 2同济大学应用数学系编高等代数与解析几何M.北京：高等教育出版社，2005, 5: 211-219. 3苟清明.一类具有阶段结构和标准发生率SIS模型J.西南大学学报：自然科学版，2007, 29(9):6-13. 4苟清明，王稳地. 一类有迁移的传染病模型的稳定性J.西南师范大学学报：自然科学版, 2006, 31(1):18-23. 5Cushing J M. 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