高中数学圆锥曲线压轴题大全

数学压轴题圆锥曲线类一1如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点. （I）求证：； （II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程； （III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.2已知函数，数列满足 （I）求数列的通项公式； （II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求； （III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由. （IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.19. 设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2. （I）求此双曲线的渐近线的方程； （II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.3. 已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且. （I）求证数列是等比数列； （II）设数列的公比，数列满足：，试问当m为何值时，成立？4设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为85（1）求椭圆的离心率；（2）若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程5（理）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差（文）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差6垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）（）证明：（）过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.7已知函数（）若（）若（）若的大小关系（不必写出过程）.数学压轴题圆锥曲线类二1如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求APB的重心G的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.2设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）3已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足（）证明（）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b0，都有4如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|A1F1|21 ()求椭圆的方程； ()若点P为l上的动点，求F1PF2最大值5已知函数和的图象关于原点对称，且 ()求函数的解析式； ()解不等式； ()若在上是增函数，求实数的取值范围数学压轴题圆锥曲线类三1已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （）设为点P的横坐标，证明； （）求点T的轨迹C的方程； （）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.2函数在区间（0，+）内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点（）得的切线方程，并设函数 （）用、表示m；（）证明：当； （）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系.3已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.4已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（I）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.5椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. （）求双曲线C2的方程；（）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.6.数列an满足.（）用数学归纳法证明：；（）已知不等式，其中无理数e=2.71828.7已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.1.解：（I）右准线，渐近线 ， 3分 （II） 双曲线C的方程为：7分 （III）由题意可得8分 证明：设，点 由得 与双曲线C右支交于不同的两点P、Q 11分 ，得 的取值范围是（0，1）13分2.解：（I） 1分 将这n个式子相加，得 3分 （II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1 6分 （III）设满足条件的正整数N存在，则 又 均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列. 设共有m个满足条件的正整数N，则，解得 中满足条件的正整数N存在，共有495个，9分 （IV）设，即 则 显然，其极限存在，并且10分 注：（c为非零常数），等都能使存在.19.解：（I） ，渐近线方程为4分 （II）设，AB的中点 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分） （III）假设存在满足条件的直线 设 由（i）（ii）得 k不存在，即不存在满足条件的直线.14分3.解：（I）由已知 （2） 由得：，即对任意都成立 （II）当时， 由题意知，13分4.解：（1）设点其中由分所成的比为85，得，2分，4分而，5分由知6分（2）满足条件的圆心为，8分圆半径10分由圆与直线：相切得，又椭圆方程为12分5.（理）解：设公差为，则3分4分7分又，当且仅当时，等号成立11分13分当数列首项，公差时，的最大值为14分（文）解：设公差为，则3分，6分又当且仅当时，等号成立11分13分当数列首项，公差时，的最大值为14分6.解（）证明：直线A2N的方程为 4分，得（）10分当12分7.解：（） （）设，6分（）在题设条件下，当k为偶数时当k为奇数时14分数学压轴题圆锥曲线类二1.解：（1）设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得AFP=PFB.当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB. （）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得 设是方程的两个不同的根， 且由N（1，3）是线段AB的中点，得 解得k=1，代入得，的取值范围是（12，+）. 于是，直线AB的方程为 解法2：设则有 依题意，N（1，3）是AB的中点， 又由N（1，3）在椭圆内，的取值范围是（12，+）.直线AB的方程为y3=（x1），即x+y4=0. （）解法1：CD垂直平分AB，直线CD的方程为y3=x1，即xy+2=0，代入椭圆方程，整理得 又设CD的中点为是方程的两根，于是由弦长公式可得 将直线AB的方程x+y4=0，代入椭圆方程得 同理可得 当时，假设存在12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为 于是，由、式和勾股定理可得故当12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A、B、C、D共圆ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|DN|，即 由式知，式左边由和知，式右边式成立，即A、B、C、D四点共圆.解法2：由（）解法1及12,CD垂直平分AB， 直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得 将直线AB的方程x+y4=0，代入椭圆方程，整理得 解和式可得 不妨设计算可得，A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆.（注：也可用勾股定理证明ACAD）3.本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （）证法1：当即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n3时有，证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式 （i）当n=3时， 由 知不等式成立.（ii）假设当n=k（k3）时，不等式成立，即则即当n=k+1时，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （）有极限，且 （）则有故取N=1024，可使当nN时，都有4.解：()设椭圆方程为，半焦距为，则()5.本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分.解：()设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则点在函数的图象上()由当时，此时不等式无解.当时，解得.因此，原不等式的解集为.（）数学压轴题圆锥曲线类三1.（）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以 3分证法二：设点P的坐标为记则由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即由，所以3分（）解法一：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是7分解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则因此 由得 将代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是7分 （）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得，由得 所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，由，得解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得 上式代入得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，记，由知，所以14分2.本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分 （）解：2分 （）证明：令 因为递减，所以递增，因此，当； 当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小值为0，因此即6分 （）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为于是的充要条件是10分综上，不等式对任意成立的充要条件是 显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式 有解、解不等式得 因此，式即为b的取值范围，式即为实数在a与b所满足的关系.12分（）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 8分令，于是对任意成立的充要条件是 由当时当时，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即10分综上，不等式对任意成立的充要条件是 显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式 有解、解不等式得因此，式即为b的取值范围，式即为实数在a与b所满足的关系.12分3.解：由已知可得两式相减得即从而当时所以又所以从而故总有，又从而即数列是等比数列；（II）由（I）知因为所以从而=-=由上-=12当时，式=0所以；当时，式=-12所以当时，又所以即从而4.解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知（1）当时，即时，所以，所以由知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点（2）当时，由，得=将式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为即所以直线恒过定点所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.5.解：（）设双曲线C2的方程为，则故C2的方程为（II）将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即 .由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得 解此不等式得 由、得故k的取值范围为6.（）证明：（1）当n=2时，不等式成立.（2）假设当时不等式成立，即那么. 这就是说，当时不等式成立.根据（1）、（2）可知：成立.（）证法一：由递推公式及（）的结论有 两边取对数并利用已知不等式得 故 上式从1到求和可得即（）证法二：由数学归纳法易证成立，故令取对数并利用已知不等式得 上式从2到n求和得 因故成立.7.解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1当n=1时， ，命题正确.2假设n=k时有 则 而又时命题正确.由1、2知，对一切nN时有方法二：用数学归纳法证明：1当n=1时，； 2假设n=k时有成立， 令，在0，2上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时 成立，所以对一切 （2）下面来求数列的通项：所以,又bn=1，所以定点、定直线、定值专题1、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标2、已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（）求椭圆C的方程；（）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。3、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为 （）求椭圆的方程； （）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由4、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。 （I）求椭圆的标准方程； （）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围； （）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。5、（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.6.设是椭圆的左、右焦点，分别为其左顶点和上顶点，是面积为的正三角形（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线交椭圆于两点，直线、分别与已知直线交于点和，试探究以线段为直径的圆与直线的位置关系7.（1）若，求证:；（2）设，若，判断在上的单调性；（3）求证:.8.如图，已知椭圆的离心率为，F1、F2分别是椭圆的左右焦点，B为椭圆的上顶点,且的周长为.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l交椭圆于M、N两点，问是否存在这样的直线l，使得椭圆的右焦点F2恰为BMN的垂心？若存在,求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.9、已知F是抛物线的焦点，Q是其准线与x轴的交点，直线过点Q，设直线与抛物线交于点A，B。（1）设直线FA、FB的斜率分别为，求的值；（2）若线段AB上有一点R，满足，求点R的轨迹。1.【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为， (II)设，由得，.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，(最好是用向量点乘来)，解得，且满足.当时，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为2.解法一：（）设椭圆的方程为。1分，。4分椭圆的方程为。5分（）取得，直线的方程是直线的方程是交点为7分,若，由对称性可知交点为若点在同一条直线上，则直线只能为。8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。9分设与交于点由得设与交于点由得10，12分，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分解法二：（）取得，直线的方程是直线的方程是交点为7分取得，直线的方程是直线的方程是交点为若交点在同一条直线上，则直线只能为。8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。9分的方程是的方程是消去得以下用分析法证明时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明即证即证式恒成立。这说明，当变化时，点恒在定直线上。解法三：（）由得即。记，则。6分的方程是的方程是7分由得9分即12分这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分3.解：（I）设椭圆E的方程为,由已知得：。2分椭圆E的方程为。3分（）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：。5分当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则由得7分所以9分对于任意的值，为定值，所以，得，所以；11分当直线的斜率不存在时，直线由得综上述知，符合条件的点存在，起坐标为13分法二：假设存在点，又设则：=.5分当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，由得7分9分设则11分当直线的斜率为0时，直线，由得：综上述知，符合条件的点存在，其坐标为。13分4.解法一： （I）设椭圆方程为，由题意知故椭圆方程为 （）由（I）得，所以，设的方程为（）代入，得 设则,由，当时，有成立。（）在轴上存在定点，使得、三点共线。依题意知，直线BC的方程为， 令，则的方程为、在直线上，在轴上存在定点，使得三点共线。解法二：（）由（I）得，所以。设的方程为 代入，得设则 当时，有成立。 （）在轴上存在定点，使得、三点共线。 设存在使得、三点共线，则， ， 即 ，存在，使得三点共线。5.解：（I）圆过点O、F，M在直线上。设则圆半径由得解得所求圆的方程为（II）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为6. 【解】：（1）是面积为的正三角形,，则，椭圆的方程为.（2）根据题意可知，直线斜率不为0，设直线方程为，由，得由韦达定理得，又设点三点共线，由，得，同理，,线段的中点,即，则到直线的距离为以为直径的圆的半径因为，所以，以为直径的圆与直线相切.7.7（1）证明：设，则所以，在上是增函数，即，（2）解：，在上是增函数（3）由（2）可知，时，在上是增函数，即令，可得令，可得以上不等式相乘可得又，.8.9.