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第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1直线xy1与圆x2y22ay0(a0)没有公共点，则a的取值范围是 ()A(0，1)B(1，1)C(1，1) D(0，1)解析：由圆x2y22ay0(a0)的圆心(0，a)到直线xy1的距离大于a，且a0可得a的取值范围答案：A2(2011大纲全国卷)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2| ()A4 B4C8 D8解析：依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中ra0，因此圆方程是(xa)2(ya)2a2，由圆过点(4,1)得(4a)2(1a)2a2，即a210a170，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|8.答案：C3设直线xky10被圆O：x2y22所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线xy10的位置关系是 ()A相离 B相切C相交 D不确定解析：直线xky10过定点N(1,0)，且点N(1,0)在圆x2y22的内部，直线被圆所截弦的中点的轨迹M是以ON为直径的圆，圆心为P(，0)，半径为，点P(，0)到直线xy10的距离为，曲线M与直线xy10相交答案：C4(2011重庆高考)在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 ()A5 B10C15 D20解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|22(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|2，且ACBD，因此四边形ABCD的面积等于|AC|BD|2210.答案：B5(2012绍兴模拟)直线x7y50截圆x2y21所得的两段弧长之差的绝对值是()A. B.C D.解析：圆心到直线的距离d.又圆的半径r1，直线x7y50截圆x2y21的弦长为.劣弧所对的圆心角为.两段弧长之差的绝对值为.答案：C6若直线yxb与曲线y3有公共点，则b的取值范围是 ()A12，12 B1，3C1,12 D12，3解析：在平面直角坐标系内画出曲线y3与直线yx，在平面直角坐标系内平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿左上方平移到过点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y3都有公共点；当直线沿右下方平移到与以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆相切的过程中的任何位置相应的直线与曲线y3都有公共点注意与yx平行且过点(0,3)的直线方程是yx3；当直线yxb与以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆相切时，有2，b12.结合图形可知，满足题意的b的取值范围是12，3答案：D二、填空题7 (2012海门模拟)两圆(x1)2(y1)2r2和(x2)2(y2)2R2相交于P，Q两点，若点P坐标为(1,2)，则点Q的坐标为_解析：由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(1,1)，(2，2)，则过它们圆心的直线方程为，即yx，根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称，故由P(1,2)可得它关于直线yx的对称点即Q点的坐标为(2，1)答案：(2，1)8在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x5yc0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即1，解得13c0)，则圆心到直线xy10的距离为.因为圆截直线所得的弦长为2，根据半弦、半径、弦心距之间的关系有()22(a1)2，即(a1)24，所以a3或a1(舍去)，则半径r312，圆心坐标为(3,0)所以圆C的标准方程为(x3)2y24.答案：(x3)2y24三、解答题10已知点A(1，a)，圆x2y24.(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2，求a的值解：(1)由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12a24，a.当a时，A(1，)，切线方程为xy40；当a时，A(1，)，切线方程为xy40，a时，切线方程为xy40，a时，切线方程为xy40.(2)设直线方程为 xyb，由于直线过点A，1ab，ab1.又圆心到直线的距离d，()2()24.b.a1.11已知圆C：x2y22x4y40，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由解：依题意，设l的方程为yxbx2y22x4y40联立消去y得：2x22(b1)xb24b40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以AB为直径的圆过原点， ，即x1 x2y1y20，而y1y2(x1b)(x2b)x1x2b(x1x2)b22x1x2b(x1x2)b20，由得b24b4b(b1)b20，即b23b40，b1或b4.满足条件的直线l存在，其方程为xy10或xy40.12在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y212x320的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B.(1)求k的取值范围；(2)是否存在常数k，使得向量 与 共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由解：(1)圆的方程可化为(x6)2y24，其圆心为Q(6,0)过点P(0,2)且斜率为k的直线方程为ykx2.代入圆的方程得x2(kx2)212x320，整理得(1k2)x24(k3)x360.直线与圆交于两个不同的点A，B，所以4(k3)2436(1k2)42(8k26k)0，解得k0，即k的取值范围为(，0)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (x1x2，y1y2)由方程，得x1x2，又y1y2k(x1x2)4.而P(0,2)，Q(6,0)， (6，2)，所以 与 共线等价于(x1x2)3(y1y2)，将 代入上式，解得k.由(1)知k(，0)，故没有符合题意的常数k.5
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