傅里叶变换性质傅里叶变换的性质证明

傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明主要内容对称性质对称性质 线性性质线性性质奇偶虚实性尺度变换性质奇偶虚实性尺度变换性质时移特性频移特性时移特性频移特性 微分性质时域积分性质微分性质时域积分性质傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明意义 傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：讨论傅里叶变换的性质，目的在于：了解特性的内在联系；了解特性的内在联系；用性质求用性质求F()；了解在通信系统领域中的应用。了解在通信系统领域中的应用。傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明)()( Ftf若若 ftF2则则 ftF2则则一对称性质1 1性质性质2 2 意义意义 tFtF )()(相相同同，形形状状与与若若 2, )(幅幅度度差差形形状状相相同同，的的频频谱谱函函数数形形状状与与则则ttftF 为偶函数为偶函数若若tf傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明 jF1 二线性性质1 1性质性质2 2例例)()(, )()(2211 FtfFtf若若为为常常数数则则2122112211,)()()()(ccFcFctfctfc tu tsgn2121傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明三奇偶虚实性由定义由定义可以得到可以得到 )(d)()(j FtetftfFt )(d)(d)()(jj FueuftetftfFut)()()()( FtfFtf，则，则若若证明：证明：)()()()( FtfFtf，则则若若傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明四尺度变换性质意义意义 为为非非零零函函数数则则若若aaFaatfFtf,1),()( (1) 0a1 时域压缩，频域扩展时域压缩，频域扩展a倍。倍。 FFtftfa , 1 )3(说明说明说明说明说明说明傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明3意义otE2 2 tfo E 2 F 2ot 2tfEo E2 22F (1) 0a1 时域压缩，频域扩展时域压缩，频域扩展a倍。倍。 傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明),()( Ftf若若;)()(0j0teFttf 则则)()()( jeFF 若若 0)(j0)()(teFttf 则则五时移特性 000ttt 左左右右相移相移幅度频谱无变化，只影响相位频谱，幅度频谱无变化，只影响相位频谱，)()( Ftf若若 abeaFabatf j1 则则 的证明过程的证明过程仿仿 taat 1时移加尺度变换傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明)()( Ftf若若 号号为为常常数数，注注意意则则 00j0j )()( 00 FetfFetftt2证明 1性质 六频移特性 teetfetftttd)()(jjj00 F tetftd)(0j 0 F傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明3说明4应用 )( FOO )(0 F0 0 )(0 F0 0j,)(0 右移右移频域频谱搬移频域频谱搬移乘乘时域时域tetf0j,)(0 左左移移频频域域频频谱谱搬搬移移乘乘时时域域tetf 通信中调制与解调，频分复用。通信中调制与解调，频分复用。傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明七微分性质时域微分性质时域微分性质频域微分性质频域微分性质)(j)()()( FtfFtf ，则则),()( Ftf若若 djd)(Fttf则则 dd)(Ftjtf nnnFtfjt dd)( 或或 nnnFtftj)(傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明1时域微分注意注意)(j)()()( FtfFtf ，则则 )(j )( Ftfnn一般情况下一般情况下 nntfFF j)( 则则 ，若若已已知知)(tfFn :)(j)( FtfF 090j ,相相位位增增加加幅幅度度乘乘 傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明注意如果如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里变换，余下部分再用微分性质。变换，余下部分再用微分性质。 j1t j1)(, 1t),sgn(2121)()( 21t2222 utftftfttutfFu微分微分余下部分余下部分直流直流21ot tf11ot tuot ttftudd1 1傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明),()( Ftf若若 djd)(Fttf则则 dd)(jFttf 或或 nnnFtft dd)(j 2频域微分性质或或 nnnFtftj)(推广推广傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明八时域积分性质 ，则则若若 Ftf jd00FfFt 时时， j0d00FFfFt 时时，也可以记作：也可以记作： )(j1)( F傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明证明证明 atfF atfF aFaatfF 1综合上述两种情况综合上述两种情况 teatfatfFtdj 因为因为xataxtatxad1d,0 ，令，令当当xatxaaxttaatxaaad1d,1 ,0 令令，当当 aFa 1 xexfaaxd1j aFa 1 xexfaxad1j xexfaaxd1j 傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明等效脉冲宽度与等效频带宽度 Ot 0f tf O 0F F B 0dfttf BFF0d d21d2100jFeFftt ttfFd0 1 2 fBB等效脉冲宽等效脉冲宽度与占有的度与占有的等效带宽成等效带宽成反比。反比。傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明例3-7-1t1即即 , 1t 21 tFt j2则则,j2)sgn( tF已知已知例3-7-2)sgn(2 )sgn(j 相移全通相移全通网络网络傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明 2Sa22 EFtutuEtf tc, 2Sa2 2Sa2122tEtEtFuuEfcccccc 例3-7-3，若若02 c的的方方波波宽宽度度为为02 )()Sa(0200 Gt 则则有有傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明例3-7-4（时移性质，教材3-2）求图求图(a)所示三脉冲信号的所示三脉冲信号的频谱。频谱。 tft2 2 TT E(a)三脉冲信号的波形(a)三脉冲信号的波形解：解： ,00 Ftf信号，其频谱函数信号，其频谱函数表示矩形单脉冲表示矩形单脉冲令令 2Sa0 EF 2 0F EO(b)(b)傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明, 2 a 4Sa22212 EFtf例3-7-9 25j4Sa252 eEtf（向向右右）时时移移，对对255tb 的频谱密度函数。的频谱密度函数。，求，求已知已知522Sa tfEFtf 方法一：先标度变换，再时延方法一：先标度变换，再时延 5j2Sa55 eEtft（向向右右）：时时移移对对 25j4Sa2522 eEtf：压压缩缩对对所所有有方法二：先时延再标度变换方法二：先时延再标度变换 相同相同傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明例3-7-6（教材例3-4）已知矩形调幅信号已知矩形调幅信号 ,cos0ttGtf 试求其频谱函数。试求其频谱函数。脉宽为脉宽为，为为为矩形脉冲，脉冲幅度为矩形脉冲，脉冲幅度其中其中, EtG 为为的频谱的频谱已知矩形脉冲已知矩形脉冲 GtG 2Sa EG解：解：因为因为 tteetGtf00jj21 为为频谱频谱根据频移性质，根据频移性质， Ftf 002121 GGF t tfo2 2 E(a)矩形调幅信号的波形(a)矩形调幅信号的波形傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明频谱图 2Sa22Sa2 21210000 EEGGF0 二二，向向左左、右右各各平平移移将将包包络络线线的的频频谱谱一一分分为为 20 0 O0 2 E F( (b b) )矩矩形形调调幅幅信信号号的的频频谱谱傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明求三角函数的频谱密度函数求三角函数的频谱密度函数例3-7-5o tft2 2 Eo F2 E 4 4 傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明分析o tft2 2 E方波方波三角形函数三角形函数求导求导 o tf t2 2 E2冲激函数冲激函数方波方波求导求导 o tf t2 2 E2 E2 E4傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明 FF22j 2j2j22421 eEEeEF tetEtEtEtfFtd22422j 2j2j2221 eeE2224j4j24sinj222 EeeE222224Sa2444sin8 EE2j2j242 eEEeE傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明例3-7-8 tftF2 解：解： ？，求求已已知知 tftFFtf2)()( FF2ddj tfttfF2 傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明1 nntt F 21 ddj1Ft 例3-7-9解：解： 22ddjj1 Ftt nnnnnnnFt d2djddj1 ntF求求傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明例3-7-10 1. 求单位阶跃函数的傅里叶变换求单位阶跃函数的傅里叶变换 ttttud)()( 已已知知1)(t )(j11)(j1)( tu则则 2Sa)( tG 00)0Sa( F，知，知由由 2Sajd tGF 2Sajd tGt)(1tG O2 2 积分的频谱函数。积分的频谱函数。求门函数求门函数tG . 2t)(tG O2 2 1解：解：解：解：傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明证明证明设设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略） tetfFtd)()(j tttftttfdsinjdcos 显然显然 tttfXtttfRdsindcos RR 的的偶偶函函数数关关于于 FF FtfF已已知知 FtfF XX的奇函数的奇函数关于关于 傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明证明证明 tebatfFtd)(j1 xaeexfFabxad1)(jj1 abeaFa j1 abxaabxteeee jjjj xaeexfFabxad1)(jj1 xeexfaabxad)(1jj abxaabeaFaxexfea jjj1d)(1 xatabxtxbatad1d,0 则则设设时时当当xatabxabxtxbataaad1d,0 则则设设时时当当傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明证明 tefttddj tetuftddj 变上限积分用带时移的变上限积分用带时移的单位阶跃的无限积分表单位阶跃的无限积分表示，成为示，成为 tutf ddj tetuft交换积分顺序交换积分顺序 ，即先求时移的单位阶跃即先求时移的单位阶跃信号的傅里叶变换信号的傅里叶变换 后后先先t dj1j ef常常数数，移移到到积积分分外外为为而而言言对对积积分分变变量量 续续 dj1j ef傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明 dj1j ef F j1 FFj1 j0FF 则则第第一一项项为为零零如如果果,00 F j0j1dFFFft j1Ftutf续续傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明 d)(21)(j teFtf dj)(21j teFtf)(jj)()( FFtf )(j)( FtfF 证明证明即即傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明(flash)此课件下载可自行编辑修改，供参考！此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢你的支持，我们会努力做得更好！感谢你的支持，我们会努力做得更好！