17实二次型及其标准形

1,11,21,2,12,22,1,2,| AE|nnnnn naaaaaaaaa 12()().()n12.An 一一. 2.*1AA A 若若 是是A的特征值的特征值, 则则A 是是A*的特征值的特征值.*12A2 A A 二二.1.112A 11112, 12, 1212312, 6, 4六六. 设设A2 3A + 2E = 0, 证明证明A的特征值只能取的特征值只能取1或或2证明证明: 若若 是是A的特征值的特征值, 则则 2 - 3 + 2是是A2 -3A +2E的特征值的特征值, 即即 2 - 3 + 2是零矩阵是零矩阵O的特征的特征值值,从而从而 2 - 3 + 2 = 0, 故故 只能取只能取1或者或者2.七七. 已知已知3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为1, 2, -3, 求求*A3A2E*1A3A2EA A3A2E 解解: 12AA E3A2A 2AE 3A2AA *A3A 2E 26E 3A2A6 222( 6 3 12 1)( 6 3 22 2) 6 3 ( 3)2 ( 3)6 25 一一. 实二次型及其矩阵表示实二次型及其矩阵表示1. 实二次型实二次型定义定义1. 设设x1, x2, , xn 是是n个变量，称关于个变量，称关于x1, x2, , xn的二次多项式的二次多项式 :12,1(,)nni jiji jf x xxax x 为这为这n个变量的一个实二次型。个变量的一个实二次型。 其中其中ai,j皆是实数皆是实数, 并约定当并约定当i j时时ai,j = aj,i2. 实二次型的矩阵表示实二次型的矩阵表示 1,11,21,12,12,22,212,1,2,nnnnnn nnaaaxaaaxxxxaaax 12,1,2,111nnniiiii niiiinxxa xaxaxx ,1ni jiji ja x x 例例1. 把下列二次型表示成矩阵的形式把下列二次型表示成矩阵的形式1234(,)f x xxx222123121314242243xxxx xx xx xx x 1212343410.5120.5201.5101021.500 xxxxxxxx 解：解： 1234(,)f x xxx二二.矩阵的合同变换与二次型矩阵的合同变换与二次型1. 线性变换与二次型线性变换与二次型设设f(x1, x2, , xn) = XTAX是一个实二次型是一个实二次型, 其中其中A是一个是一个n阶实对称方阵阶实对称方阵, XT = (x1, x2, , xn) 设设P是一个是一个n阶实可逆方阵，在线性变换阶实可逆方阵，在线性变换X = PY之下，之下，12(,.,)X AXTnf x xx PYA PYT YP AP YTT 12(,.,)ng yyy 核心问题核心问题: 如何选择可逆方阵如何选择可逆方阵P, 使得使得:2121(,.,)nnkkkg yyyy 即即, 如何选择可逆方阵如何选择可逆方阵P, 使得使得:12P AP(,.,)Tndiag 2. 矩阵的合同变换矩阵的合同变换定义定义2. 设设A和和B是两个是两个n阶实对称方阵，若存在阶实对称方阵，若存在一个一个n阶的实可逆方阵阶的实可逆方阵P，使得，使得B=PTAP则则称矩阵称矩阵B与与A合同，或称合同，或称B与与A相和。相和。合同关系合同关系:自反性自反性; 对称性对称性; 传递性传递性.等价关系等价关系三三. 实二次型在正交变换下的标准形实二次型在正交变换下的标准形定理：若定理：若A是一个是一个n阶实对称方阵，则存在阶实对称方阵，则存在n阶阶正交矩阵正交矩阵P，使得，使得PTAP成为一个对角矩阵成为一个对角矩阵 = diag( 1, 2, , n)其中对角线上的数字恰好是矩阵其中对角线上的数字恰好是矩阵A的特征的特征值，称该对角矩阵为矩阵值，称该对角矩阵为矩阵A在正交变换下的标在正交变换下的标准形准形; 而把关于变量而把关于变量Y的二次型的二次型 1y12 + 2y22 + + nyn2称为二次型称为二次型XTAX在正交变换之下的标准在正交变换之下的标准形，其中形，其中X=PY。证明：（归纳法）证明：（归纳法） 显然，当显然，当n = 1时定理成立。时定理成立。设设n = k时定理成立时定理成立;下面证明下面证明n = k + 1定理依定理依然成立。然成立。设设 1是实对称方阵是实对称方阵A的一个特征值，的一个特征值，p1是是A的的与之对应的一个单位特征向量。与之对应的一个单位特征向量。选取另外选取另外k个个k + 1维向量维向量q1, q2, , qk，使得，使得p1, q1, q2, , qk构成构成Rk+1空间的一组标准正交基。空间的一组标准正交基。 记记P1 = (p1, q1, q2, , qk),显然显然P1是一个是一个k + 1阶阶的正交方阵。的正交方阵。注意：注意： AP1 = ( 1p1, Aq1, Aq2, , Aqk) 记：记： 1111*APP0A 由于由于P1TAP1 = 11*0A 仍是一个实对称方阵仍是一个实对称方阵,所以所以*必然一个必然一个k维维0行向量，行向量，A1是一个是一个k阶实对称阶实对称方阵。方阵。 依据归纳假设，存在依据归纳假设，存在k阶正交方阵阶正交方阵Q, 使得使得QTA1Q = diag( 2, 2, , k+1) 构造构造k + 1阶正交方阵阶正交方阵 210P0Q 显然有：显然有： 121122210PP AP PPP0ATTT 1100Q A QT = diag( 1, 2, , k+1)记记P = P1P2， 显然显然P依然是一个依然是一个k+1阶正交方阵阶正交方阵满足满足PTAP = diag( 1, 2, , k+1) 证毕证毕 推论推论: 设设A为为n阶实对称方阵阶实对称方阵, 是是A的特征方程的的特征方程的k重根重根, 则与则与 对应的、线性无关的特征向量对应的、线性无关的特征向量恰有恰有k个。也就是说方阵个。也就是说方阵A - E的秩恰好等的秩恰好等于于n k.例例2.在正交变换之下求下列二次型的标准型在正交变换之下求下列二次型的标准型 . 解：解： 222212341234(,)5454f x xxxxxxx 121423342222x xx xx xx x首先把二次型写成矩阵的形式首先把二次型写成矩阵的形式1234(,)f x xxx 121234345101141001511014xxxxxxxx 然后求该对称矩阵的特征值然后求该对称矩阵的特征值 5101141001511014 1014141001515101 210140 424015101519 9 24241511519 9 24241510018 9 42(3)(6)15 22(3) (6)该方阵的特征值为该方阵的特征值为3，3，6，6; 在正交变换在正交变换X = PY之下该方阵的标准形为之下该方阵的标准形为diag(3, 3, 6, 6); 该该二次型的标准形为二次型的标准形为:3y12 + 3y22 + 6y32 + 6y42.为了确定正交方阵为了确定正交方阵P,我们需要再求方阵我们需要再求方阵A的的特征向量特征向量.解方程组：解方程组： 1234531010143100015310101430 xxxx 得方阵得方阵A关于特征值关于特征值3的特征向量的特征向量: 12123411211001xxccxx 解方程组：解方程组： 1234561010146100015610101460 xxxx 得方阵得方阵A关于特征值关于特征值6的特征向量的特征向量:12123412111001xxccxx 最后利用最后利用Schmidt正交化过程，把所得到的正交化过程，把所得到的特征向量正交化特征向量正交化:取取 21112360110 112,10 101212 取取 311,10 42111330110 1011 令令: 31241234P 1111663321006311116633210063 例例3. 由方程由方程-7x2 y2 z2 + 8xy + 8xz + 16yz = 1确确定的曲面是一个什么样的二次曲面？试在正定的曲面是一个什么样的二次曲面？试在正交变换之下把它转化为标准形交变换之下把它转化为标准形.解：解： 首先把方程写成矩阵的形式：首先把方程写成矩阵的形式： 7444181481xxyzyz 然后计算该方阵的特征值然后计算该方阵的特征值.744418841 474148481 24740 2.25 20.259018 29 29 84(9)2(9)(9) (9)(1)4(9)2(9)(9) 214(9)21 2(9) (9),该方阵的特征值为：该方阵的特征值为： 9 -9 -9 计算方阵与特征值计算方阵与特征值9对应的特征向量对应的特征向量 1237 944041 980 ,481 90 xxx 122 计算方阵与特征值计算方阵与特征值-9对应的特征向量对应的特征向量 1237 944041 980 ,481 90 xxx 221,001最后把所得到的特征向量正交化最后把所得到的特征向量正交化: 选取选取:1122 22,10 322401510 21455 312123P 令令:122353 5214P,353 525033 即即:T900P AP090009 令令 Pxuyvzw ,则原方程在正交变换之下转化为则原方程在正交变换之下转化为: 9000901009uuvwvw 即即 22299()1uvw,也就是：也就是： 2222211133uvw 由于正交变换不改变几何图形的形状和大小由于正交变换不改变几何图形的形状和大小,故原方程所表示的二次曲面是一个旋转双曲面。故原方程所表示的二次曲面是一个旋转双曲面。