《爱上数学课》

透过名嘴的感悟看数学要做什么2011年9月1日如果让我从其他的行业找一种和教师相似的人，我选择电视主持人，都是靠嘴巴吃饭的。所以我对电视节目主持人的言论非常关注，他们写的书我买了不少。比如崔永元的不过如此、白岩松的幸福了吗、倪萍的姥姥日记、杨澜的一问一世界等。对于他们书中提及数学的文字，我是很在意的。2002年吧，崔永元在不过如此中有大段的文字说起自己学习数学的经历和感悟：“对我来说，数学是疮疤，数学是泪痕，数学是老寒腿，数学是类风湿，数学是股骨头坏死，数学是心肌缺血，数学是中风 当数学是灾难时，它什么都是，就不是数学。” 这段文字一度成为教学时极力避免的雷区。教学的最高境界是培养学科的知己而不是学科的仇人。可是仅仅想想是不够的，还是要有具体的做法。对于一个小孩子来说喜欢上数学理由很简单，一个是喜欢任课教师，亲其师信其道；二是有个好分数，绝无成绩很差而喜欢数学的。意识到这一点，我在数学教学中，首先从改变我的形象入手，对待小孩子特别是在他们出错的时候，态度平和充满耐心。再者注重学习效益，帮助孩子提高学习质量。思做之间，也积累了一些成熟的经验，后来我据此开篇写过一篇文章，引领每一个学生享受数学。这个暑假我买了杨澜的新书一问一世界。打动我的首先是封面的一句话：“对杨澜来说，某种意义上，世界是用来问的。”对教师来说，又何尝不是这样呢。我们的课堂也是用来问的。她在写道自己在美国读书期间一些经历时感叹中国的教育对提问的漠视。“做访谈节目的人是以提问为生的。我们这辈子做的最重要的工作就是不断的提问。但是如果我们回想一下我们从小受到的教育当中有多少环节是在训练我们问问题呢？基本上没有。我一直受到的训练是回答问题，先把老师教的答案记住，然后在考试的时候再还给老师。”是提问，还是听讲，这是个问题。一个很严重的问题。在时下的课堂教学中，教学程序的推进也是靠问题推进的。只不过这个问题来自教师。有时教师等得及孩子思考回答，有的教师不等学生去想就自问自答，课堂教学成了教师的独角戏。比起初高中，小学的情况稍好点。我们的课堂需要真正的来自学生的问题。可是，这一点成了制约学生可持续发展的一大瓶颈。培养学生提问的意识，让学生会问、善问，能从问中获得乐趣和思考，将是我下一步教学实践的方向。可怕的数学(1)我的第一节数学课2011年9月1日今天是开学第一天。近十年来我很重视第一课。我的初衷也许很天真：让学生第一眼就喜欢上数学课，特别是在我新接手一个班级的时候。早在几天前就想着如何上了。事实、故事依然是我第一课的重要元素。想着温州的动车追尾，想着罗伯斯的跨栏道歉，想着西安的世园会，想着新加坡的暑假修学很多的事件逐一走来。昨天下午和学生见面后，偶尔听到学生议论数学可怕。数学可怕吗？我怎么不觉得呢？数学可怕、数学无用是应有的想法吗？晚间我决定从“可怕的数学”入手，想到那套可怕的数学的书，想到崔永元对数学的感慨（这在上篇日记中有详细文字）。我晚间做好了课件，今天第一节课就在一片“可怕”的嘀咕里开始了。我问：“可怕的数学”这句话核心词有可怕和数学两个。你是怎样理解“可怕”的？一个女孩举手说：可怕就是难学。我：难学？学起来很难，不容易学好是吧。你成绩咋样？她说：还行。我：还有认为数学难学的吗？十几个人悄悄举起了手。我：这样一来，你们心里对数学一定没好感吧？讨厌数学的不止你们几个。大有人在呢，崔永元、王小丫，央视主持人，看看他们说的。我：成绩不好的，不喜欢数学，我还能理解；成绩好的也不喜欢数学，那就想不通了。我：那么数学呢，你知道什么是数学吗？学生摇头。我笑了：学了十几年数学竟然稀里糊涂。真是“不识庐山真面目，只缘身在此山中”。我立刻想起许多关于数学的定义，但是话到嘴边又忍住了没说，而是说：先来看一个字，数的篆书，左边右边各像什么呢？学生说不出来。我说：数(sh)来源于数（sh）,这个字表现的就是数数，左边表现的是一串绳结，右边是手在数。原始社会创始的以绳结形式反映客观经济活动及其数量关系的，结绳记事（计数）是被原始先民广泛使用的记录方式之一 。其结绳方法，据古书记载为：“事大，大结其绳；事小，小结其绳， 之多少，随物众寡”（易九家言），即根据事件的性质、规模或所涉数量的不同结系出不同的绳结。我随后讲起了纽约时报期号的错误，说明在大数计数中容易出错。数学的可怕又表现在它无处不在，没有什么人和事能离得开数学。不信来看一段真实的对话A:葡萄多少钱一斤？B:两块八。A:便宜点，十块钱三斤行不行？B:不行。学生笑了，说明他读懂了。他们又真的懂了吗？我这里特别提到了倾听，要认真听、听懂别人的意思。接着，我说到数学家的可怕，一个数学家足以抵上军队的十个师。这里讲起了二战期间的那个故事：1943年以前，在大西洋上为运输船队护航的英美舰队常常受到德国潜艇的袭击在故事中有20%、25%、1%等几个百分数，我问到与分数的换算，有一半的同学知道它们是五分之一四分之一等。数学的可怕，还源自我们认为会了懂了的时候事实上常常又办不好事情，比如这有一木条，让你用它量出这个桌子的长度，你会量吗？对，并不都是整数，怎么吧，就要研究。要发明一种新的数，于是就有了分数和小数。量出来的结果是多少，这里有数，还有单位名称，两者合起来就是量了，量源于量。我同样板书了这句话。这时下课的铃声响了。我说：也别以为你会量，你可能连自己的身高都量不准。这一话题，下次再讲。可怕的数学（2）-我的开学第二节数学课2011-9-2今天我接着昨天的话题继续和孩子们大话数学，虽然以“可怕的数学”的名义。实实在在地我想传达一个温暖的数学一个可爱的数学一个好玩的数学。昨天我说到数学应用广泛，先来看几个同学搜集的“名人看数学”。出示毕达哥拉斯说：“数支配着宇宙”。数学是科学的皇后。高斯（德国）说：“数学是科学之王”。拿破仑说：“一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国力的强大。数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关”。华罗庚（中国）说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”有学生在摘抄。师：数源于数，那么量呢？对，量源于量。师：度量什么？用什么工具度量？使用什么单位表示度量结果？这都是我们要在“量”中考虑的问题。度量，从我出生的那一刻就出现在我们生活中。出生后，沪士要量身高体重，要记录哪年几月几日几点几分。这些量都是由两部分组成，数字和计量单位。测量的关键是计量单位的确立，单位即标准。随后我转入一个话题：诸葛亮身高是多少？出示图片及文字据三国志诸葛亮传记载,诸葛亮“身高八尺,犹如松柏”。 马上有学生感慨：好高哦，比姚明还高啊。师：数学的思维要讲究有条有理和有根有据。说说你判断的依据吧。生：一米是三尺，一尺就是33厘米多，8尺就二米六几了。师：你确定吗？生：古时候的一尺是多长？师：对，这个问题很关键。三国时期一尺也是这么长吗？怎么办？考古发掘啊。找到那时候的尺子量一量就可以啦。出示一尺长度的变化情况表，学生选择数据计算。师：现在的学者通过考古研究，倾向于这一结果23.58=184厘米。师：你还知道哪些长度单位？学生说到厘米分米千米微米等。师：在你们所说的单位名称有一个字相同，就是米。米是国际单位制的最基本的长度单位。一米有多长？学生伸展双臂比划。师：随着科学技术的发展，人类的视野从身边的事物转向了更微观的世界和更遥远的。为了计数的方便就要发明新的单位。师：对，纳米技术。一个很小的长度单位。纳米（nanometer），简称nm ，字首nano在希腊文中的原意是“侏儒”的意思 ，1,000,000,000纳米 = 1 米，1纳米是1米的？生：十亿分之一。师：举个例子来说，一根头发丝粗（直径）0.05毫米，把它平均剖成5万根细丝，每根粗大约就是一纳米。师：更大的长度单位呢，你知道有什么？学生说到：万米，光年。师：“年”是时间单位，但“光年”虽有个“年”字却不是时间单位，而是天文学上一种计量天体距离的单位。宇宙中天体间的距离很远很远，如果采用我们日常使用的米、千米（公里）作计量单位，那计量天体距离的数字动辄十几位、几十位，很不方便。于是天文学家就创造了一种计量单位光年，即光在真空中一年内所走过的距离。一光年=？千米和学生一起估算。同时提示平年闰年的知识点。距离=速度时间，光速约为每秒30万千米（每秒299,792,458米），1光年约为94,605亿千米。师：在这些微观或者宏观的观察中，我们看到的是一个个立体。点线面体，是涉及到空间的，属于几何知识，也是数学的重要构成。先看到立体，3D的，猜猜单位？生：立体米。师：有点味道。面积的计算里，是平面米吗。平方米。这里可以换一个字生：立方米。师：方，乘方，1平方米=1米1米，1立方米呢？生：1立方米=1米1米1米。乘3次。师：1立方米有多大？怎样计算体积？这些都是我们将要学习的问题。随后转入本册教学目录：知道本册要学习什么内容吗？学生相互补充着把本册内容说了。师：我们的数学学习是有规律可循的，教材编排是螺旋上升的。其实从五年级的学习中你就该想到这次要学习什么了。出示五年级目录，引导分析知识间联系，从分数加减要想到分数乘除，从分数想到百分数等。出示六年级上册目录，你能推测出六年级下册的学习内容吗？生：还有学百分数的内容。生：要学圆柱体圆锥体球体的知识。生：要学可能性和解决问题的策略。生：还有整理和复习。师出示下册目录，大家看看。我们今天的学习，很多时候不是为了现在考个好成绩，也是为了未来。为明天而学习呢。师：这一册中，你对哪些内容感兴趣，请圈一圈。学生汇报。师：兴趣是最好的老师，想必你们对学好这些内容一定有信心了。你的学习目标是什么？为自己定了目标吧。学生用水笔在课本扉页写下学习目标。师：怎样实现这一目标？学生刚想说，下课的铃声响了。我出示三句话，让学生体会：波利亚（美国）说：“从最简单的做起”。苏步青（中国）说：“学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然”。拉马努扬（印度）说：“天才？请你看看我的臂肘吧”下 课！让学生第一眼就爱上数学-我的开学第一节数学课综述开学第一课，我们要做些什么呢？这确是一个值得思考的问题。因为那里有着太多的随意或者不满意，从有效教学的角度看“开学第一课”，很多是零效课堂甚至是负效课堂。我从2003年秋季开始琢磨开学第一课。下面是2003年9月1日的开学第一课授后小记：昨天在学生报到的时候，我就在琢磨明天的课该上些什么？检查暑假作业、训话、复习？好象都不行。我要和他们聊天！我不想在两年里留给学生的仅仅是分数的乘除百分数的意义正反比例。8点15分第一节课，我第一次走进了五（2）班。我先自我介绍，接着我说数学讲究数感，并在黑板上写了0.4让学生说说自己看到后想到了什么。生1：看到0.4我先想到0.4元是4角钱。生2：看到0.4我先想到0.4等于2/5。生3：我想到水星和地球比有0.4，我感到0.4很小。生4：从我家到学校差不多有0.4公里。我又在下面写上0.5，学生继续说。生5：0.5就是一半。生6：上学期我考了98.5，比我的同桌少了0.5分。生7：我身高1米5，就是比一米多0.5米。我说，联想是学好数学所必需的。大家想的很好，范围可以更广更专业一些。比如0.4是一位小数，是有限小数等等。现在黑板上有了0.4和0.5两个小数，你们有想到什么？生8：0.4比0.5小0.1。生9：0.5和0.4的整数部分都是0。生10：0.5比0.4更接近1。我说如果四舍五入呢？生：0.40，0.51。我说保留整数0.4就是0，而0.5是1，这是的差距又是几？（生齐说：1）。对，四舍五入 后两者之间的差被放大了，由0.1变成了1。两者之间已经是天壤之别了。接着我打了一个比方，张三身上一分钱也没有，李四有一分钱，但是张三就是穷光蛋，李四就是有钱人。我指着0和1说表面上看0和1相差1，但是别忘了不管多少个0相加，和也不会是1。望着同学们若有所思的神情，我说道：同学们，我知道你们在成绩方面是有差距的，但是这不过是0.4和0.5的区别，0.4的努力一点增加0.1么，当是0.5时你就会在四舍五入里升值，0.4就会沦为0，是要被淘汰的。每天努力一点点，你的人生就会从此与众不同。我伸出双手，在学生中走了一圈，同学们心有灵犀的和我击掌为誓。最后我检查起他们对新教材的了解情况：你知道第11册要学习哪些内容？（学生摇头。）你们拿到新课本后翻看了么？（全班38人中只有5人举手。）我遗憾的说你们没有要学好数学的激情，课本从昨天下午4点发到你手上，到现在过去18个小时了，你连看都不看它一眼，此时我仿佛听到了它的委屈的哭声。这时下课铃声响了，我说知道以后该怎么做了吗？我没有喊下课，收拾一下课本走出了教室，留给他们一个背影，留给他们静静的思考。这是我第一次有目的思考并实践“开学第一课”。当时新课程改革刚起步，大家对数感一词也很新鲜。所以我先谈谈数感，并在其中渗透一点德育的东西、哲学的东西。随后的三个学期的开学第一课，我先后安排了玩一玩数学游戏、比一比上学期期初与期末的作业、读一读寒假数学日记等内容。其中有一点是共同的，就是会聊到本册教材目录，学生圈一圈感兴趣的内容，我点一点本册的重难点以及部分章节间的联系。开学第一课的教学都没有太多的预设，一切要因人而异，因地制宜，相机而动。时隔多年至今还不断有学生和我提起这几节没有作业的数学课。当然现在回头看看这些设计，其实很肤浅。透过这些浅显的轻松的课堂，我在试图向学生们传达着：数学是好玩的，数学是我们要不断打量的一个小精灵，因为它总能让我们心存感悟和惊奇。2007年秋季我接手三年级两个班级。那次开学第一课的思考也和此前全然不同。我有了更迫切的更清晰的一种想法：我要让孩子在第一眼就改变数学就是做题的印象，第一眼就喜欢上我的数学课。下面是部分实录2007年9月1日早上8:50我走进三（1）班，自我简单介绍后在黑板上写下：相信数学！相信我！让学生齐读一遍，问最后一个字是什么并用手指一指这个人。学生多数用手指自己，少部分把手指向老师。我笑着提问了指老师的一个学生，他说“你是我哥哥的老师，我知道你，你的数学很有趣很简单。”谢谢你对我信任。你就没有感觉这里的我-，对，是自己。我又凭什么会相信你？一个男孩说：我很喜欢数学。我期末数学考100分。一个女孩说：我也很喜欢数学。我知道数学可以帮助我们计算，比如到超市购物，可以自己算算就知道收钱的人有没有算错。一个女孩说：数学可以帮助我们解决生活中许多问题。我必须学好数学。我也喜欢数学。学数学可以使我更聪明。大胆发言的学生肯定是很喜欢数学的，并且数学也都是很棒的，对不对？对。相信数学什么？数学可以帮助我们解决生活中遇到的许多问题，是一种很重要的工具。同时在使用这种工具的时候，可以使我们的思维更加严密更加科学，让我们更聪明。学不学数学，是不一样的。接着我给孩子们讲起了韩复渠点名的故事：没来的举手。孩子们第一次笑了。他错在哪里了呢？没来的怎么举手呢？把总人数分为来的和没有来的，这种分类是很正确的，当没来的是很少数一部分时确实可以通过总数减去它从而更快地知道到场的人数，但问题是怎么才能知道没有来的人呢？让他们举手行不行？是啊，举起手来，他们就来了啊。这是自相矛盾的。你说韩司令的数学学的好不好，呵呵，非常十分不好。数，是个多音字，数（sh ）来源于数（ sh ）。你会数数吗？你能数到多少？学生一百一千一万的说着。真的会数，没有问题吗？我读过故事给你听。我打开有趣的数学（第二集）（韩国李光延著，北京理工大学出版社）：有一天，波兰著名数学家谢尔品斯基要搬家，他的夫人把行李拿出来：“我去叫出租车，你在这里看着这总共有10个箱子。”过了一会儿，他夫人回来，他对夫人说道：“刚才你说10个箱子，可是我数了只有9个箱子。”“不对，肯定是10个。”“说什么呢，我再数一遍，0、1、2、3、4”我边读边写，孩子们又笑了。后面是我和孩子们一起看数学目录，整体了解本册内容，让他们把自己最感兴趣的内容做个标记。对这个内容有兴趣，能很好地掌握这部分知识吗？能。我相信数学，相信我自己，也相信你们每一个人。下课。回顾自己认真做过的十四个学期的“开学第一课”，因为同时担任了两个班级的数学，对自己而言“开学第一课”充其量也只有28节。但是对我的学生来说却只有两节：一节是陌生的老师上的，一节是熟悉的老师上的。相比较，陌生的背景下第一课更容易设计一些。数学故事、数学游戏、数学事实、数学趣题、数学名言都会成为吸引学生的开场锣鼓。熟悉了，也许就放松了，也许就会原形毕露，有几次我差一点被数学成绩牵引回到检查假期作业或者期初检测的轨道上来。最后让我坚持下来的还是家长的一句话：考的好不好真不差这一两节课。对于2007年我任课的班级，至今我们有过六次开学第一课，五节熟悉情况下的开学第一课。有考考你的记忆力比速记的，有考考你的眼力介绍不可能的图形的，有有玩数学游戏的，有谈学习目标的。下面附一份本学期的开学第一课实录，以资说明磨刀不误砍柴工，始课更要善整容。有科学家通过大量的调查研究发现：假期会让人变笨的。你现在感觉怎样？学生七嘴八舌说了几句后，我出示自己假期看到的一个一年级题目：琼斯有9个苹果，她送给巴特尔5个，她还剩下几个牙齿？要求学生十秒钟给出答案。几个男孩脱口而出：4个。马上就有人大笑，大叫错了，印刷错误。我说这绝对是正版图书没有印刷错误，是你变笨了还不承认。学生齐说不是的，这题它忽悠人，答案谁也不知道。不对，至少有一个人知道答案。谁？琼斯。我又接着说道：对大家来说不是每个问题都有答案。正如不是每个目标都能实现的一样。你们每逢新学期可都是有一份雄心壮志会有豪言壮语的哦。最后呢，不了了之。在学生交流想法及学习经验后，我说咱上的是数学课，不是思想品德课，我们再来看一道题目：岸上有5只青蛙，它们面对的池塘很美，很诱人，绿绿的荷叶，粉红的荷花，飘香的莲子。这时，其中有总数4/5的青蛙想跳进池塘美美地畅游一番。请问，岸上还有几只青蛙？几个男孩马上举手说道：关键是要弄明白4/5的意义。它是把总数平均分成5份，总数是5只，一份就是1只，游泳的青蛙是4份，也就是4只，也就是说岸上还剩1只。我忙鼓掌叫好：“你对这个分数分析的很好啊。明白了4/5的意义，这就是一个幼儿园级的题目。仲老师在浪费大家的时间呢。”我的话音一落马上有学生抢着说“想，想”。想什么想？想跳进池塘啊。它们有没有真的跳进去？没有。岸上有几只？5只。我接着说：无论你的想法多么美好，只要你没有行动，一切永远都只是零。行动，才有改变！行动，就有改变！ 新学期，请大家拿出行动来吧。现在就行动吧！干什么？老节目啦，看目录。常言道，好的开始是成功的一半。其实，即使好的开始仍然离成功很远。学生心生欢喜之时，是我略感欣慰之时，更是把自己逼上梁山之际。想彻底改变学生们已有的数学印象，单纯靠一次另类的开学第一课显然是不现实的。我们还要在更多的数学课做出创新才行。列方程解实际问题教学散记（1）2011-9-5 星期一今天暑假，对我来说是一个旅游季，去了很多地方，也包括因为世园会而去的西安。西安是我国的一座历史文化名城，那里名胜古迹众多，我先后参观了世园会、兵马俑、登上了骊山、大雁塔、古城墙。小雁塔、华山本来也在计划之列，因为下雨没去成。这些景点给我的印象远不如从书上电视上所见的那般让人赞不绝口流连忘返的，正所谓看景不如听景。开学获知还要留任六年级后，我在整理旅游照片时就想到从几张照片入手吧。一个是大雁塔高64米，一个是世园会中的长安塔高99米。考虑素材倒在其次，更多的时候，我在琢磨：学生知道为什么要列方程解题吗？能够区分要不要列方程解题吗？学生怕用列方程解题的根源真是怕书写麻烦吗？干扰学生正确列方程的因素有哪些？列方程和画图解题需要关联吗？师从读万卷书行万里路切入，出示老师的旅游照片，猜猜什么地方，简介西安情况。出示大雁塔、小雁塔和长安塔的图片。比较两个塔的高度，比较的结果可能是什么？（板书：A是B的几倍，A比B多多少，A比B的几倍多多少。）师：通过读题，你知道大雁塔和小雁塔的高度之间有什么关系吗?生：大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。(齐读“大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米”)师：如果要用线段图来表示大雁塔和小雁塔高度之间的关系，可以怎样画?学生同桌讨论试画。师示范画图。分析线段图中每一部分意义。师：根据图意，你能找出大雁塔与小雁塔高度之间的相等关系吗?生1：小雁塔的高度x2-22=大雁塔的高度。(板书)师：大雁塔与小雁塔高度之间的这种相等关系，你还能用别的等式来表示吗?生：我用大雁塔的高度先加22再除以2。师：(指线段图)大家看，“大雁塔的高度+22”跟什么是相等的?生：大雁塔的高度+22=小雁塔的高度2。生：小雁塔的高度2大雁塔的高度=22。（分别板书）师：谁能对照线段图或这句关键的话，分析一下这两个关系式是否正确?生1：“大雁塔的高度”比“小雁塔高度的2倍”少，所以用“小雁塔高度的2倍”减“大雁塔的高度”。师：我们先看最先找到的关系式：小雁塔的高度222=大雁塔的高度。在这个关系式中，已知“大雁塔的高度”是64米，求“小雁塔的高度”。像这样的题，适合用什么方法解答?生：用方程解。师：从左往右看，首先面对是的小雁塔的高度，是个未知量。我们把它用字母X表示。大雁塔的高度可以怎么表示？生：大雁塔的高度是（2x-22）米。师：这样的一个字母式和64米是对应的，都是大雁塔的高度。（板书2x-22=64）师：这个方程的左边表示什么?右边呢?生：左边的“2x”表示“小雁塔高度的2倍”，减22米后就是“大雁塔的高度”；右边是“大雁塔的高度”。师：所以说这个方程左右两边表示了同一个数量，符合题意，是正确的。师：这个方程和以前学过的方程有什么不同?生：以前学过的方程左边只有一步，这个方程左边有两步。学生尝试解方程。生：2x=64+22。因为“2x”是“小雁塔高度的2倍”，它就等于“大雁塔的高度”加“22米”。生：我也认为25x=-64+22。但我是这样想的，方程的左边要先算“2x”，就把“2x”当作一个整体，这样，方程的两边同时加22，就得到2x=64+22。师：由于“小雁塔高度”未知，“小雁塔高度的2倍”也就未知，就可以把它看作一个整体。这样，原来的方程就可以看作是“一个整体-22=64”，就能运用等式的性质来解了。请大家把这种想法和同桌说一说，然后把这个方程继续解完。生：2x=86，x=862，x=43。师：这个方程的左边有两步，解这个方程时，最关键的步骤有哪些?生：把2x看作一个整体，方程两边同时加22；方程变成2x=86后，两边再同时除以2。师：大家看，方程两边同时加22后，方程左边由两步变成了一步；方程两边再同时除以2后，方程左边只剩下x，右边是43，就表示方程解完了。其实解方程的过程就是不断运用等式的性质等知识，把原来比较复杂的方程变得越来越简单，一直简单到“x等于几”的形式。师：谁能检验一下，结果是否正确?师：我们刚才用方程解决问题主要经历了哪些步骤?师：(结合学生口答，板书：找、设、列、解、验、答)你觉得这些步骤中，最关键的什么呢?生：找数量间的相等关系。师：对这个问题，开始我们还写出了另两种关系式。请任意选一个关系式，也设小雁塔高X米，列出方程，并求出方程的解。(生列方程、解方程)生：2x=64+22，2x=86，x=862，x=43。生：2x-64=22，2x=22+64，2x=86，x=862，x=43。师：观察3个解方程的过程，有什么相同的地方?生：都有2x=86这一步。师：原来都是比较复杂的方程，运用等式的性质或经过计算，都变成相同的简单方程。所以说，三个方程虽然是依据不同的等量关系所列，但实质上还是相同的。相比较而言，哪个方程所依据的等量关系思考时更顺一些?生：2x-22=64。师：找到关系句，按照叙述顺序来想，列方程就很容易。练习读题口头判断要不要列方程，并说明理由。出示：西安大雁塔高64米，长安塔比大雁塔高度的2倍少29米。长安塔高多少米？学生解释。随后是填空练习以及解方程。（第2页1、2题）课堂练习是3、4题。列方程解实际问题教学笔记（2）2011-9-6 星期二今天上例2。例1是两课时，新授1课时，练习1课时。而我昨天才讲例1，完成的练习也只到练习一的第3题。为什么不把这个例题练好了再学例2 呢？我的想法很简单，给学生一个思辨的机会。基本的做法是延迟作业。作业从与新授的配套时序上，我将之分为同步作业和延迟作业两种，主要针对课后作业来说的，新授后的部分巩固练习也是必须的。学练的分离有利于学生更好地形成复习和自主思考梳理的能力。先是基本数量练习，在括号里填上含有字母的式子。 （1）张村果园有桃树x棵，梨树比桃树的3倍少5棵。梨树有（ ）棵。（2）黄花有x朵，红花的朵数是黄花的3倍。 红花有（ ）朵，黄花和红花共有（ ）朵，红花比黄花多（ ）朵。这题目的是突破字母式的运算问题。其中对比一倍数，为了以后的分数乘除法的学习，单位“1”在此介入，黄花是单位1，那么红花是单位3.出示例题：北京颐和园占地290公顷，其中水面面积大约是陆地面积的3倍。颐和园的陆地和水面大约各有多少公顷？分析主要集中在问题的分解和数量关系式上。引导学生明确此题的整体是加法结构，水面面积+陆地面积=290公顷。学生试做后突出解设环节中的推导，设陆地面积是X公顷，则水面面积是3X公顷。随后指点如何检验。紧接着，我把问题变化为“水面面积比陆地面积多145公顷”。学生自主练习后评讲，在对比中看到问题的异同点。同步练习为练一练和练习二的3、4、5题。课后练习一是第5页的题6的几个解方程，另一个是补充习题第2页，配例1的。补充习题上和例1配套的有3个页面练习呢。晚上改作业，全班50人只有四个同学各有一处计算错误。整体情况较好。列方程解实际问题教学笔记（3）2011-9-7 星期三今天练习课。练习课怎么上，多年来一直让我发愁。我也很少听过练习课。虽然我意识到练习课不能以做练习为主要活动，练习课也要上出新授课的味道。练习课的本质是发展思维能力而不仅仅是提高解题的熟练程度。发展学生的思维能力应该是贯穿每一节数学课的。本课我还是立足整体分析和比较，从练习一和练习二中各选4题。先是解方程的练习，四个学生上台答题，在讲评时我点出四个方程的特点，分别是axb=c、axbx=c，说明解方程的本质是化简。记得许卫兵老师说过数学的本质是求简。每一步的目的和依据各是什么，是每个学生都有清楚的。此后我出示了一个拓展的解方程题目：5X83=26，学生试做后讲评。师：这题属于哪一类题目？生：axb=c师：方程的左边是个减法结构，被减数是5X，减数是83，5X是个含有未知数的整体，减数对于的83都是已知数。第一步的化简什么？依据什么？生：第一步计算83，方程化简为5X24=26，我认为这里根据混合运算的规定，先乘除后加减。师：对。在等号的一侧有可以先算的部分要先算。再说说下面解题过程。组织一下怎么说。时间30秒。生：第二步将方程化简为5X=50，根据等式的性质一，两边同时加24。生：第三步将方程化简为X=10，根据等式的性质,二，两边同时除以5.师：一起口头检验一下。接着是编题练习：你能根据5X24=26中的数量关系编一个文字叙述题目吗？学生同桌交流。师：大家的编题中虽然涉及的事物不同，有的是女生男生人数，有的是桃树梨树，但是都都抓住了“比某数的5倍少24的数是26”这个关系。师：这是我们学过例几？生：例1.练习P3第11题。学生交流。师：出示第8题。这题中没有出现比几倍多几少几的关系，大家列出的方程怎么又和这个差不多呢？生：松树和杨树的总数是由松树和杨树两部分合成的，杨树的棵树等于行数每行的棵数，每行的棵数是x棵，杨树的总数就是3x棵。两种树的总数就是3x25棵。师：对，抓总数的构成。再来看第9题，题中的大楼高度是怎么构成的？生：一楼的高度和上面的不同。生：一楼的高度和其余14层的高度之和就是52.5米。学生列方程解答。在练习课上，我对习题之间的衔接过渡总是心有余而力不足。很多的时候也只好是再来看下一题了。在处理P6第7题时，我只好重新布局。重点有二：一是理解总路程的构成；二是一题多解，两种列方程的方法以及之间的联系。学生用手势比划之后，列方程很顺溜，对两种方程的思路都恩能够理解。在写这篇随笔的时候，我看到一个填空题：在方框中填上相同的数。2515=800。从填空题的特点出发，延伸到解方程和文字题，再到应用题，也许是个不错的思路。师：行程问题中方向很关键。两人相遇后再继续走，经过几分两人又相距960米？学生列式解答。师：两个方程是一样的呢。运动方向不同，但是总路程的构成是相同的，相遇时小丽行走的路程小明走的路程=总路程。师：总路程还是960米，是不是说这时两人回到最初的两个出发点了？生：不是。师:谁行的路程多？生：走的快的。小明。师：动画演示，小明会超过小丽原来的出发点，小丽还没有到达小明原来的出发点。总路程相同不是说两人各自行的都相同。这样的追问从这节课来说，是没有必要的。但是数感的培养是随时随地的，课堂的开放首先是教学内容的开放和融合。无心插柳式的追问，是我常用的做法。不过有时也觉得发散有点远。师：行程问题中还有一种情况，就是同向行走。来看改方向后的题目。同时从学校出发，沿着马鞍山路向东行走，几分钟后两人相距100米?学生解答后，出示P6思考题。学生解答。本来还想再延伸一点，第二次相遇，把几个题比较一下，可是来不及了，下课。课后练习补充习题一个页面。期初第一次练习2011-9-9 星期五今天是期初练习。每次接到一个新的班级，对学生的情况有个了解就会成为我开学一两周要紧的事情。一个是课堂观察，一个是练习喽。这种摸底我从不依赖于上学期他们的任课教师，我不想带着他们的有色眼睛去看。开学报到时我进班和学生见面，当时就征求同学们的意见，什么时候考一考，是第一天，还是下周的周三或者周五，学生举手表决，全体学生选择下周三，也就是7号。我周三前就出了练习卷，50%的内容是上学期的，40%的内容是第一单元的，还有5%是一两个拓展的题目，练习卷我单列了5分平时作业分。在学期初和学生交代学习要求时我就强调了日常作业，作业批改不能仅仅是及时打个优或良，还要让学生看到积累的力量。我提倡什么就必须在我的练习中凸显什么。到考试的时候，我班做的课后练习有9页，最多的可得到九个优的，依次为标准，少一次就扣作业分0.5分。周三同班语文老师和我调课，我就学生商量把练习的事情调到周五上午。在这次约定中，还有一个就是名字可以不写，我说既然是一次学前测查，我就希望了解班级的最真实的情况，如果你们有什么顾虑和想法，你的姓名可以不写，同学们一阵惊呼。但是你一定要在卷面上做个标记，以便试卷的发放。你不想让我知道的，我一定不去刻意打听。也说起以前有学生不写名字的，有画个猪头的有画宝剑的有画小花，当然也有写名字的。（为此曾写过一篇你的名字写了吗发表在江苏教育）这次练习初步打算是60分钟，实际是差不多两节课。假期让孩子们变笨了变慢了。试卷很快改完了，在参加考试的50人中，写名字的有32个。整体情况还不错。优秀（90分以上的）有36人。没有不及格的。在上学期的内容中完成情况不好的首先是圆的内容，有18人不会求圆的周长了（自行车1分钟走多少米），再就是混合运算（简算）共错了57题，全对的仅有21人，错3题的有3人。在刚刚学习的内容中我考了三个解方程、两个看题列方程，四个应用题（两个要求列方程解的，另外两个没有解法要求），这三项整体总分是41分，班级整体得分率88.2%。中午的时候就改出来了，考虑到接下去是中秋节也就没有下发练习卷及公布练习情况，我想让孩子们过一个轻松的节日。在许多人的眼里，数学本来就不是一个与快乐亲和力很大的学科。我开学第一课极力营造的那点数学好玩的氛围，可不能因为这一次练习给破坏了。附：二、解方程（第3题要检验。每题3分，共9分）1.6X24.8 X-0.8X2 5X-8326七、解答下面各题3、小亮现在身高是1.53米，比出生时身高的3倍少0.03米。小亮出生身高多少米？4、一个自然保护区里有天鹅和丹顶鹤共960只。天鹅的只数是丹顶鹤的2.2倍。天鹅和丹顶鹤各有多少只？（列方程解答）5、盒子里装有同样数量的红球和白球。每次取出6个红球和4和白球，取乐若干次以后，红球正好取完，白球还有10个。一共取了几次？盒子里原来有红球多少个？6、某市出租车的起步价是10元3千米，以后每多行1千米2元。小红和妈妈坐出租车从家到图书馆共付车费15元。小红家到图书馆有多远？列方程解决实际问题的教学笔记（4）2011年9月13日 星期二上周做了一份期初练习，学生整体情况还不错。原来的任课教师功不可没。我很在乎第一单元刚刚学过的列方程解题的完成情况，解方程的错误集中在中间环节的计算，看图列式中的错误多是因为三角形面积计算公式遗忘造成的，后面四个应用题一方面是因为不理解题意，也有的是因为计算，特别是3x0.03=1.53的解答，有7人在第一步化简时出现了3x=1.5的错误，这种情况的错误在平时的练习中也是时有发生的。我要怎么做？要不要围绕错题来上一节课？小数网六年级备课室里有老师也发布这一课题。错误是难得的课题资源，但是把它利用好不是一件轻松容易的事情。利用错误，首先要认识错误，对错误进行正确的分类区分，对各种错误进行统计，班级里属于小众的错误没必要放大，打预防针的方式我一般不赞同，我只选择班级同学里出现的真实的错误。在五花八门的错误中，最让人纠结的是那种明明会做却最终做不对的题目。分析错误，要避免用粗心马虎之类的词语定性。现代汉语词典中对这两个词的解释是粗心：疏忽，不细心；马虎：草率，敷衍，疏忽大意，不细心。这两个形容词的背后有行为习惯的问题，也有学习态度的问题。但是在数学学习中，我还是更多的认为是数感的问题，对数字的瞬间识记能力的不足导致数字读取中出现偏差。我把数学习题错误大致分为：读数类的错误，写数类的错误，计算类的错误，理解类的错误，速度类的错误等，在一些学困生那里通常表现为几种错误的复合，是综合性错误。在这几种错误中最容易纠正的是因为理解不到位造成的错误，最难纠正的是读写中出现的错误。前者需要的仅仅是教师再单独辅导一下，后面却需要较长时间的训练。从一年级到六年级，学生受到的单纯的数字读写的训练很少，我此前曾经对三个男孩进行了一段时间的训练，就是把看到的数写下来或者说出来，先是单个的数由3位数、四位数到五六位数，再是一句话中有两三个数，最后到一个应用题中三四个数，对数字的瞬间正确读取直接关系到演算的正确与否。今天早上我把周末做补充习题及平时课堂上练习中出现的错误，简单做了一些汇总，做了PPT。课堂上，我先在黑板上写下：错误，你好！我说：在我们学习成长中每个人都会犯一些错误，犯错，就好比小时候学习走路摔跟头一样正常。但我们又不能老是摔跟头。我们要在摔跤中找出原因，总结经验，摔跤是我们对身体平衡没有掌握好，迈哪条腿时伸哪条手臂这样协调好。犯错是儿童的权利。课堂就是出错的地方。所以错误不可怕。所以我们要对错误说声“你好”。错误是一种学习资源，关键是我们要正确对待它，不要害怕面对它。我们来一起想想，拿到习题本，看到错题，我们都是怎样做的。学生说到及时订正，我追问有没有分析错误的原因，是什么原因造成的的。学生七嘴八舌地说了许多。很不幸的是用了太多的粗心马虎的词语。按照课前的准备，出示典型错题，让学生找出错误的地方，并提出整改措施。要学会走路就要少摔跟头乃至不摔跟头，要达到优秀的目标就要少错、不错，要学着对错误说“再见”。解题就是和错误做斗争。我提出了解题六字诀：慢看、细算、必检。这里也给老师提出一个要求，就是控制作业量。同样的一个题，学生是否静心答题很重要。学习一个新知识，不能急于通过题量来巩固，要保证一定比例的正确率，强化学习信心，让学生敢做能做。列方程解决实际问题的教学笔记（5）2011年9月14日 星期三这几次的课后作业正确率节节攀升，我也很清醒。这只是暂时的。一个月后稳定下来的才是真实的。开学以来和学生说了许多关于复习预习的话，是否预习课堂上一个问题问下去就看出来了饿，但是复习需要时间来检验。学生那里还是要肯定要鼓励的。期初练习情况揭晓后，我对于奖励学生犹豫了。不是要不要奖励，而是怎么奖励。以前常用的方法是买棒棒糖，一次练习做下来用于奖励的棒棒糖有八九十根，四十多块钱呢。今年带一个班级数学，人数只有50人，比起此前带两个班级少了近一半。暑假里看到一句话，大意是说，如果我们不能从精神上给予学生更深层的感动和热爱，物质上的奖励就是一种浪费一种贿赂。棒棒糖，能够传递精神层面的激励吗？曾经附会说我看中的是棒棒真棒，因为你很棒，所以你的数学很甜。离开了棒棒糖或者其他的食物或物品，我还会激励学生吗？口头表扬？光荣榜？握手拥抱？或者一次机会？我没有想明白。问计于学生吧。我昨天下午找八个学生来询问，你达到了既定目标做到优秀，你希望得到老师怎样的奖励？叫他们写下来。学生写到了棒棒糖、肯德基、看电影、玩游戏、减作业、发奖状。他们能想到的，都是以前老师做过的。玩游戏就是在课外活动时达标的学生去计算机房玩一节课，其他照常活动。肯德基就是老师买点鸡块薯条可乐让优秀的学生吃。减作业就是允许某此周末作业不做。奖状及公告的做法是必要的。这正式点。这在期中期末的考试中一定要的，按分数给学生排名是不对的。但是表彰优秀是大家认可的。不过实话实说，这些做法我都不想用了。离期中考还有一段时间，相信我会想到一个价廉物美、深入人心的做法。今天是单元整理和复习。复习和拓展是相辅相成的。没有发展的复习，是原地踏步啊。今天课堂主要是围绕一个主题情境：集邮。为了增加信息量，我采取的方法是题组，搭配条件解题。题干是：小丽的邮票张数是小鹏的3倍，（），两人各有多少张？备选条件有：小鹏有张。小丽有张。小丽小鹏一共张。小丽比小鹏多张。小丽给小鹏张后两人相等。小丽拿出张后两人相等。在一一口头解答后我重点出示线段图指出相差关系的三种情况，并要求学生把后面的两种变化换个说法。同时交代了几种列方程的思路。并把的方程解答作为课后团体思考的题目。列方程解决实际问题的教学笔记（）2011年9月1日 星期五昨天课上集中做了一次作业，使用的是小学生数学报配发的练习卷。虽然开学初我就强调所有作业都要自行完成，对于不会的题目必须通过问，而不是通过看。抄作业是我严厉禁止的。我明确地告诉学生们，抄袭，是所有错误中我最不能容忍的，你可以迟交，可以少做，甚至可以不做，但是你不可以抄袭。作业本身是教学反馈的重要环节，如果这个环节中出现偏差，教学的后续活动会受到严重的干扰。在交作业时候，有一个男生忍不住地伸过头看去，我立刻把他叫过来，先是问他刚才看了哪个题目，我给他仔细讲了一遍，他弄懂后向我道歉。我又说：练习是对学习的检查与巩固，发现问题，看到自己的不足是难得的，不要试图掩盖它。练习并不难，从你的课堂作业情况看完全可以自己完成的，可能是时间安排不太合理，造成没有时间答题了。这时你可以向老师申请晚交一会。但是不要采取这种自欺欺人、投机的做法。好吗？他说下次不会了，下次练习时请老师把我调到前边。我拍拍他的肩膀：谢谢你，你很懂事。在这张练习解方程中又出现了一个新题：0.940.2x=1.2，未知数处在减数位置上的情况在五六年级的例题中都没有出现过，但是在以前非课标的教材中有的，解题的依据是围绕算式各部分之间的关系进行的。可能是命题人认为它也很重要或者对课标教材没有系统把握，所以在一些习题册中还是有这一种题目的。虽然没有讲过，对学生来说就是一块试金石了。统计一下，这一题有17人答对，经过询问有6人是在检验后自主纠正的。在答错的33人中知道不对又不知道正确解答的有9人，4人没做。这题提醒我，检验的行为还有强调，第二是简化解题的意识要逐步渗透。在解方程的环节中，我就和学生不止一次说起，解方程的过程其实就是逐步简化的过程，简化是数学解题的目的。每一步的解答都要想清楚目的和根据。我问学生当我们把它简化为3.6=1.2，你的思路呢？学生说明白了。其实我知道题目未比真正明白。此时不讲更待何时。我要求学生说出减法算式的各部分关系，被减数=减数差，减数=被减数差。这个方程的整体结构看成被减数减数=差，被减数是0.94，减数是0.2x,差是1.2，0.2x是未知数，根据求减数的关系式可以得到0.2x=3.61.2,0.2x=2.4,这么讲着讲着，学生的表情变得舒展起来。在课标教材的使用过程中，我们很多时候不得不顾及家长或者其他成人层面这个知识状态对当下学习的影响。这样的例子还有在分数除法实际问题的解答里。教材主张列方程的思路，家长（或家庭辅导教师）受原来思路的影响，认为这样解答很麻烦，就不管不顾地自作聪明地讲起算术方法，让学生的学习进入一种混乱。其间有几个家长向我咨询，到底用哪种方法好，算术方法不对吗。开始的时候我坚持方程思路，到单元复习后也不得不睁一只眼闭一只眼了。下周教学长方体和正方体了，下午布置了制作的周末作业。考虑学生的情况，仅仅让他们用纸板各做一个长方体和正方体。让作业不再伤人（2011年9月21日 星期三）一早上一到校，就听到同事议论小学生跳楼事件。九江市赛阳镇三个花季少女，因为没有写完学校布置的作业，竟然选择死亡来逃避，“死了就不用写作业”，这是一个怎样的残酷？作业也可以杀人哦！作业布置不布置？怎么布置？布置多少的题量？这本是一个教师行为中重要的教育细节，遗憾的是一直不被一些老师当回事。 中国学生作业多，是不争的事实。为了减轻叙述的作业负担，各地纷纷出台关于作业的规定，规定“某年级学生作业时间最大不超过多少分钟”等等，比如“一年级不留书面课外作业，二、三年级每天课外作业量不超过分钟，四年级不超过分钟，五、六年级不超过小时，初中非毕业年级的作业时间最大值不能超过80分钟；毕业年级不能超过90分钟。高中非毕业年级不超过120分钟，毕业年级不超过150分钟。”这些数字的背后是学生的体质下降，是学生的睡眠不足，是学生的厌学，是中学生家长的心痛，是全社会的心病！替中小学教师说句公道话，他们也不想布置这劳什子的课后作业，可是人在教育的江湖，身不由己。应试教育的重压之下会有不应试的奇迹吗？！为作业减负，教师的力量是有限的，但是也不是不可为的。最起码，不布置机械重复的抄抄写写的作业就是贡献！二让作业不伤人，甚至让学生喜欢上作业，也应该是一个教师从业水平的一个指标吧。曾经看过一篇像童话一样的作业。作者林一苇在文中介绍了“哥伦比亚大学莱恩笛老师给我们布置的第一次作业亲自试验和品尝西红柿有几种吃法，至少要试验三种，认真做出来，并仔细地记录下来什么味道。”这第一次的作业让他满是惊诧，同时又心怀欢喜。随后像这样有趣又美丽的作业还有很多，“为什么吃鸡蛋？一棵树怎样可以变成一个森林?太阳该落在哪里?狮子睡在哪里?”作业可以这么布置吗？这是什么学科的作业？在作者随后的叙述里，我们知道这位老师教的是语言，这就相当于我们的语文作业。莱恩笛老师的理由是“语言不是学习的问题，是找到新鲜感觉的问题。”对于这些有趣的作业，作者大都写成了童话。如“狮子会睡在哪里呢?要是高兴了，他会睡在树上。他把两只前腿趴在前面，两只后腿伸直放在后面，嘴里衔一个桐树叶或者什么能盖住脑袋的树叶盖在脑袋上，在我们入睡的时候，就睡了。如果不高兴了，他就随便睡在什么地方，一般是睡在地下，就跟赌气的孩子差不多。他睡在地下，狮子妈妈拉也拉不起来。狮子妈妈说，再不起来，小孩来了把你牵走啊!狮子就赶紧起来了。狮子害怕小孩，就像我们害怕狮子一样。”大学生需要这样的像童话一样的作业，小学生更需要这样的作业。这样有趣又美丽的作业很多，我也能想到许多，譬如说，人类需要几个太阳？野猪星期天在哪里？谁睡觉时还穿着鞋子？蜜蜂为什么要背着蚂蚁？在本学期初的一个周末，我尝试着布置了一次写话练习：根据关键词“恐龙、月亮、蓝色、西瓜、三七二十一”写几句话。周一大家争先恐后地把本子交来，就连平时最讨厌作文的同学也居然写了一页半有八九百字呢。一个学生在我身后说：“我愿意做这样的作业。要是每次都这样写就好了！”后来的周末日记，在我允许学生给文字配插图之后，学生的积极性也有了明显提高，周记的质量也有了大幅提升。每每翻开这些图文并茂的周记本，我的心里就好比吃了蜜似的。在黄全愈、端木等介绍美国教育的文本中，我们看到美国的学中小学生作业每次大都要求“在3到5页纸之间，打印出来，至少用3种资料来源（如网上，书籍等），至少有5句引文。”这样的作业动辄几千字，有的数万字，不可谓不多，但是这里没有机械的抄写，没有重复的劳动，有的是阅读、合作、拓展、创造，学生完成起来都是十分投入，乐此不疲。由此可见，作业的减负，很大程度上不是作业数量的问题，而是作业趣味的问题。趣味是消解作业负担的法宝。作业有趣了，好玩了，当作业尝起来是甜的，学生就愿意去做，就不会觉得是个负担。让学生带着一份新鲜、惊奇、甜蜜的感觉面对作业，那么每次的作业都将是一次美妙的旅程。长方体和正方体的教学日记（1）2011年9月19日 星期一一本周起教学第二单元长方体和正方体。今天是第一课“长方体和正方体的认识”。本课是在学生已经直观认识长方体和正方体的基础上，引导学生进一步探索长方体和正方体的特征。通过教学，使学生经历观察、操作、测量、比较等探索活动，知道长方体和正方体的面、棱、顶点以及长、宽、高（或棱长）的含义，掌握长方体、正方体的特征，理解长方体与正方体的关系。使学生在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考。对于这课我一直以为没有什么好讲的，或者说不需要多讲。学生从幼儿园时候起就接触到这类形状的物体并且也知道了它们各自的名称。本课教学重点其实不应是认识面棱顶点的名称，也不是数出各自的数量，要做的是规范地了解正方体和长方体的关系，明确正方体是特殊的长方体。工作以来听过这节课大致有十几次吧，对于其中摸一摸的环节一直不明白什么意图，直直的棱、面平平的，顶点尖尖的，这样的描述是严密的吗？有数学味吗？这个环节是经不起推敲的。在所有关于这课的记忆中，印象最深的是刘可钦老师设计的课末一个比赛倒水的活动，两个学生比赛在长方体玻璃容器中倒水要求倒出一个长方体，一个学生倒的水很多很深，一个则倒的很少很浅。我是在一个很大的现场听的这课，后一个浅浅的一倒，立刻得到了同学们的惊叹以及教师们的鼓掌。长方体的高是学生认识物体第三维度的一个关键，不是一定要很高的，一张纸是长方体吗？纸张也是有厚度的。体悟到这一项，学生的认识就是拓展了。课上导入时有老