第9讲隐圆模型原卷版

中考数学几何模型9：隐圆模型名师点睛 拨开云雾 开门见山【点睛1】触发隐圆模型的类型（1）动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP 则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长（2）直角圆周角模型 固定线段AB所对动角C恒为90 原理：圆O中，圆周角为90所对弦是直径则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角（3）定弦定角模型 固定线段AB所对动角P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可 （4）四点共圆模型 若动角A+动角C=180 原理：圆内接四边形对角互补则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧（5）四点共圆模型 固定线段AB所对同侧动角P=C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧【点睛2】圆中旋转最值问题 条件：线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点（1）求CM最小值与最大值（2）求线段AB扫过的面积（3）求最大值与最小值 作法：如图建立三个同心圆，作OMAB，B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆结论：CM1最小，CM3最大 线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积最小值以AB为底，CM1为高；最大值以AB为底，CM2为高典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长度的最小值是_变式练习1如图，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_例题2. 如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，APB=90，l不经过点C，则AB的最小值为_变式练习2如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，AEQ沿EQ翻折形成FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_例题3. 如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是_变式练习3如图，RtABC中，ABBC，AB=8，BC=4，P是ABC内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段CP长的最小值是_例题4. 如图，在RtABC中，ACB=90，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_变式练习4如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 例题5. 如图，等边ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为_变式练习5在ABC中，AB=4，C=60，AB，则BC的长的取值范围是_例题6. 如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，DCE为Rt，CED90，DCE30，若OE，则正方形的面积为（）A5B4C3D2变式练习6如图， BE，CF为ABC的高，且交于点H，连接AH并延长交于BC于点D，求证：ADBC.例题7. 如图，在四边形ABCD中，BCD90，AC为对角线，过点D作DFAB，垂足为E，交CB延长线于点F，若ACCF，CADCFD，DFAD2，AB6，则ED的长为变式练习7（1）如图1，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.（2）如图2，正方形ABCD，EAF45，当点E，F分别在对角线BD、边CD上，若FC6，则BE的长为 图1 图2例题8. 在锐角ABC中，AB4，BC5，ACB45，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值变式练习8如图，已知等边ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）直线l是经过点P的一条直线，把ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B当PB=6时，在直线l变化过程中，求ACB面积的最大值 达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图， AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=10，AC=8D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CEAD于E，连接BE在点D移动的过程中，BE的最小值为 2. 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，AEB90，AC、BD交于O已知AE、BE的长分别为3，5，求三角形OBE的面积3. 如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AFBE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为_4. 如图，在RtABC中，ACB=90，B=30，AB=4，D是BC上一动点，CEAD于E，EFAB交BC于点F，则CF的最大值是_5. 如图，ABC为等边三角形，AB=3，若P为ABC内一动点，且满足PAB=ACP，则线段PB长度的最小值为_6. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB5cm，AC4cmD是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CEAD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是_7. 在RtABC中，C90，AC10，BC12，点D为线段BC上一动点以CD为O直径，作AD交O于点E，连BE，则BE的最小值为_8. 如图，在等腰RtABC中，BAC90，ABAC，BC，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为_9. 如图，在矩形ABCD中，已知AB4，BC8，点O、P分别是边AB、AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是_10. 如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是AB边上一点，且AE2，点F是边BC上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为