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21.2.1 配方法（第2课时）21.2 解一元二次方程问题问题1. 你会解哪些方程，如何解的？你会解哪些方程，如何解的？二元、三元二元、三元一次方程组一次方程组一元一次方程一元一次方程一元二次方程一元二次方程消元消元降次降次思考：如何解一元二次方程思考：如何解一元二次方程一知识回顾知识回顾，导入新知，导入新知.)0( 22pnmxpxpppnmxx或那么可得的形式，或如果方程能化成）（ 对于形如对于形如x x2 2=a(a0)=a(a0)的方程的方程, ,根据平方根的定义根据平方根的定义, ,可解得可解得 这种解一元二次方程的方法叫做这种解一元二次方程的方法叫做a ax x, ,a ax x2 21 1用用解一元二次方程方程解一元二次方程方程.2;2)()(222222babababaabab完全平方公式：能否将能否将方程方程 x 2 + 6x + 4 = 0转化为可以直接降次的形式再求解呢？x 2 + 6x + 9 = 5（x + 3）= 52因为它的左边含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程。我们已经会我们已经会解方程：解方程：（x + 3）= 52问题问题2怎样解方程怎样解方程 x 2 + 6x + 4 = 0？x 2 + 6x + 4 = 0试一试：试一试：与方程与方程 x2 + 6x + 9 = 5 比较，比较，怎样解方程怎样解方程x2 + 6x + 4 = 0 ？ 怎样把方怎样把方程化成方程程化成方程的形式呢？的形式呢？ 怎样保证变形怎样保证变形的正确性呢？的正确性呢？ 即即由此可得由此可得解：解：左边写成平方形式左边写成平方形式 移项移项x2 + 6x = -4 两边加两边加 9 = -4 + 9 x2 + 6x + 9二探索求解方法探索求解方法（x + 3）= 52两边加两边加 9，左边，左边配成完全平方式配成完全平方式 移项移项左边写成完全左边写成完全平方形式平方形式 降次降次解一次方程解一次方程x2 + 6x + 4 = 0 x2 + 6x = -4x2 + 6x + 9 = -4 + 953x，或，或53x53x，531x532x 解方程的解方程的过程过程：（x + 3）= 52两边加两边加 9 一般地，当二次项系数为一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上一次项时，二次式加上一次项系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9（x + 3）= 52269，即，即 2 = 3 2 = 9 （ ）根据完全平方公式：9是一次项系数6一半的平方，加9正好与x2+6x能够配成一个完全平方式: x2 + 6x + 9= ( x + 3 )2加其他数不行以上解法中，为什么在方程x2+6x=16两边加9？加其他数行吗？如果不可以，说明如果不可以，说明理由理由配成完全平方形式配成完全平方形式具体步骤：具体步骤：（1）移项；）移项；（2）在方程两边都加上一次项系数一半的平方）在方程两边都加上一次项系数一半的平方通过通过 来解一元二次方程的方法，来解一元二次方程的方法，叫做叫做配方法配方法配方配方可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解平方根平方根的意义的意义降次降次（当（当 p0 时）时）pnx问题问题3通过解方程通过解方程 x 2 + 6x + 4=0 ，请归纳这类方程，请归纳这类方程是怎样解的？是怎样解的？归纳配方法解方程的步骤归纳配方法解方程的步骤：结构特征：方程可化成结构特征：方程可化成 的形式，的形式，（x + n）= p2（2）配方法解一元二次方程的配方法解一元二次方程的一一 般步骤般步骤有哪些有哪些? 3归纳配方法解方程的步骤归纳配方法解方程的步骤 （1）用配方法解一元二次方程的）用配方法解一元二次方程的基本思路基本思路是什么？是什么？ 把方程把方程配方配方为的形式，运用开平方法，为的形式，运用开平方法，降次降次求解求解（x + n）= p222101)()(xxx22)()2(xxx22443)()( xx22204)()(xxx4121 注意注意:方程方程配方时配方时, 等式两边同时加上的是一次项等式两边同时加上的是一次项系数系数的平方的平方.练 习1. 填上适当的数，使下列等式成立：x2+12x+_= ( x+6 )2；x2-4x+_= ( x-_ )2；x2+8x+_= ( x+_ )2.36421640463331220181222xxxxxx）（）（）（15415415415415415)4(414818:).1 (2122222xxxxxxxxxx或解0463331220181222xxxxxx）（）（）（21, 14143161)43()43(21)43(232123132:).2(21222222xxxxxxxxxx或解0463331220181222xxxxxx）（）（）（.,31)1(13412342463:).3(222222原方程无实数解上式不成立解xxxxxxx例例2: 你能用配方法解方程你能用配方法解方程 吗？吗？0622 xx解解:配方得：配方得：开平方得：开平方得：3212xx )41(3)41(21222 xx 4741x范例研讨运用新知范例研讨运用新知1649)41( 2x即03212xx移项得：移项得：原方程的解为：原方程的解为：二次项系数化为1得：23 , 2 21xx例例2: 你能用配方法解方程你能用配方法解方程 吗？吗？用配方法解一元二次方程的用配方法解一元二次方程的步骤步骤: :移项移项: :把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边; ;化化 1 1：把二次项系数化为：把二次项系数化为1；配方配方: :方程两边都加上一次项系数方程两边都加上一次项系数一半的平方一半的平方; ;开方开方: :根据平方根意义根据平方根意义, ,方程两边开平方方程两边开平方; ;求解求解: :解一元一次方程解一元一次方程; ;定解定解: :写出原方程的解写出原方程的解. .(2) x24x3=0(1) x212x =9 24624624624624632)6(64612:212222xxxxxxxx或解311212121)2(434434:21222xxxxxxxxxx或解用配方法解下列方程用配方法解下列方程（3） x2+8x9=0.解：可以把常数项移到方程的右边，得x2+8x=9.方程两边都加上42（一次项系数8的一半的平方），得x2+8x+42=9+42,即( x + 4 )2=25.开平方，得x+4=5,即x+4=5或 x+4=5,所以x1=1 , x2=9.( 4) x2 + 6x = 1解：配方，得解：配方，得即即2226661.22xx 2310.x310,310.xx 或所以所以12310,310.xx ( 5 ) x23x + 1 = 0解：移项，得解：移项，得配方，得配方，得x23x = 12223331.22xx 235.24x235.22x 即即3522x35,22x 1352x235.2x所以所以 23830 xx3 解：两边都除以解：两边都除以3，得，得2810.3xx 移项，得移项，得281.3xx配方，得配方，得2228441.333xx 2245.33x即即4545,3333xx 或所以所以121,3.3xx 解下列方程：解下列方程：. 128)4( )6(;11294 )5(; 0364 )4(; 0463 )3(; 047 (2) ; 0910 122222xxxxxxxxxxxxxx）（910 2xx解：移项 ， 得22259-510 xx配方由此可得92x, 11x45x ; 0910 12xx）（1652x解：移项，得27,4xx222171,242xx 配方由此得12,2x ,2211x 04722 xx. 2)21(2x. 2212x 1.一般地一般地,对于形如对于形如x2=a(a0)的方程的方程,根据平方根据平方根的定义根的定义,可解得可解得 这种解一这种解一元二次方程的方法叫做元二次方程的方法叫做.a ax x, ,a ax x2 21 1 2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然然后用开平方法求解后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫这种解一元二次方程的方法叫做做配方法配方法. 注意注意:配方时配方时, 等式两边同时加上的是一次项等式两边同时加上的是一次项系数系数的平方的平方.四课堂小结课堂小结：3.3.用配方法解一元二次方程的用配方法解一元二次方程的步骤步骤: :移项移项: :把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边; ;化化 1：把二次项系数化为：把二次项系数化为1；配方配方: :方程两边都加上一次项系数方程两边都加上一次项系数一半的平方一半的平方; ;开方开方: :根据平方根意义根据平方根意义, ,方程两边开平方方程两边开平方; ;求解求解: :解一元一次方程解一元一次方程; ;定解定解: :写出原方程的解写出原方程的解. .
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