对分数的多维多元理解及教学建议 doc

对分数的多维多元理解及教学建议 刘加霞 在小学阶段 儿童掌握分数的概念感觉并不太难 但奇怪的是 为什么常常有中学生还不理解分数:1/21/3 为什么不等于2/5 呢 为什么除以一个分数等于乘这个分数的倒数呢 为什么分子、分母同时乘以或除以 同一个不等于 0 的数分数的大小不变 事实上 真正理解分数绝不是那么简单 因为对分数应有多维、多元的理解。 一、作为“行为的分数”还是“定义的分数” 一对对的数 例如 12 、52 等 或者短语“二分之一”“五分之二”等并不是分数 它只是代表分数概念的符号或者语言。一般说来 学习分数不能直接从这些符号入手 而是从分数的产生入手。即理解分数首先是从行为 平均分物体 入手 而不是从定义形如 b/a 的数 a0入手。只有学生经历并体验了把一个整体平均分为几个部分 所关注的部分与整体之间的关系可以用一个新的数来表示之后 才可以给出分数的符号表示 并建立行为与符号之间的一一对应关系。只有经历这样的过程 学生才能逐步地理解分数概念。即学生理解分数是 从行为开始的 这时 是从率的角度来理解分数。 从行为的角度看 除了从平均分认识分数外 测量也是认识分数的重要途径。我们知道 自然数主要用于数个数 即数离散的量的个数当测量连续的量例如物体的长度时 首先需要选定度量单位 数被测量物体中包含多少个度量单位。一般情况下 我们不能数尽 为了得到更准确的值 我们把原来的度量单位分割为更小的度量单位 一般情况下是平均分为十等份 以其中的一份作为新的度量单位 再以更小的度量单位来测量以得到更精确的结果。这时 就可以用分数来表示测量的结果 用不同的单位表示 只不过此时得到的分数不是一般的分数 而是特殊的十进分数 即小数。这是从度量的角度理解分数。度量产生的不是一般的分数 一般的分数产生于解方程或除法运算的结果。 二、借助于多种直观模型理解分数的含义 在小学阶段主要学习“行为的分数”。教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动为模型 建立分数的概念。例如把一个月饼平均分为两份 其中的一份是 1/2 把一张纸平均分为四份 其中的一份是 1/4 。这仅仅是从面积模型的角度来理解分数 学生理解分数可以借助于多种模型。 1.分数的面积模型: 用面积的“部分整体”表示分数。 儿童最早接触分数概念及其术语可能与空间有关 而且更多是三维的 而不是二维的 例如半杯牛奶、半个苹果? 儿童最早是通过 “部分整体”来认识分数。因此在教材中分数概念的引入是通过平均分某个正方形或者圆 取其中的一份或几份 涂上阴影认识分数的 这些直观模型即为分数的面积模型。 对于平均分 儿童有丰富的经验。皮亚杰等的实验发现: 一些学生能成功地把纸张或扁平泥块通过对折进行剪切或切割。例如: 44.5 岁的儿童能把小的规则图形分成两半 67 岁的儿童能把小的规则图形进行三等分 79 岁的儿童能把小的规则图形通过试错进行六等分 10 岁的儿童能把小的规则图形较精确地进行六等分 如先对半分再三等分。儿童这些丰富的经验为他们认识分数的面积模型 或者从“部分整体”的角度认识分数打下了坚实的基础。 对于分数的面积模型 在学习过程中学生经常会遇到一些困难例如: 1能否认识到图形面积相等的必要性 即“整体 1”是否一样大。 2是否习惯于由图形语言到符号语言表达的转换。学生初步学习分数时对 分数的特有表示方法不能立即掌握 需要有熟悉、习惯的过程。 3理解大于“整体 1”的分数。 4 从表示多于一个“整体”的图形中确定谁作为“整体”。 例如 对于下面图形 学生的回答往往是 6/8 而不是 6/4 。 这时用面积模型认识分数就带来了困难 分数被理解为表示“单位面积” 关键是哪部分是 “单位面积” 的子面积 被理解为整体的一部分 这就为儿童理解假分数带来了困难。 2.分数的集合模型: 用集合的“子集全集”来表示分数。 这也是“部分整体”的一种形式 与分数的面积模型联系密切甚至几乎没有区别 但学生在理解上难度更大。关键是“整体 1”不再真正是“一个整体”了 而是把几个物体看做“一个整体” 作为一个“单位” 所取的一份也不是一个 可能是几个作为一份。例如 在下图中深色长条占全部长条的 3/5 。分数的集合模型需要学生有更高程度的抽象能力 其核心是把多个物体看做“整体 1”。 分数的集合模型的优点是有利于用比较抽象的数值形式表示“比”与“百分比”。这时 我们把分数看做是算子 即把分数看做是一个映射。例如 下面深色长条与无色长条之比为 32 或者写为 3/2 。 有研究者认为: 学生对离散量的集合的“部分整体”的理解 不如对“面积模型”的理解 但随着学生年龄的增长 认知水平的提高 这种差别并不明显。 分数的集合模型的缺点仍然是容易对假分数产生误解 这与面积模型的问题完全一样: 谁作为“整体1” 这既是认识分数的一个核心 同时也是一个难点。J.Martin 总结出“整体 1”可以分为以下六种情况以 1/5 为例: 11 个物体 例如 1 个圆形平均分为 5 份 取其中的 1 份。 25 个物体 例如 5 块糖 其中的 1 块占 5 块的 15 。 35 个以上但是 5 的倍数 例如 15 块糖 平均分为 5 份 取其中的 1 份。 4比 1 个多但比 5 个少 例如 2块巧克力作为“整体”。 5比 5 个多但不能被 5 整除例如 7 根香蕉作为“整体”。 6一个单独物体的一部分的1/5 例如 1 米的 3/4 的1/5 。 上述六种情况不可能让学生同时学习 但学生逐步地经历这些“情境”对学习分数是非常必要的 尤其是123这三种情境。45两种情境对于学生进一步理解分数与除法的关系非常必要 情境6对于学生理解分数乘分数则是很好的模型。 3.分数的数线模型: 数线上的点表示分数。 分数的数线模型就是用数线上的点表示分数。它把分数化归为抽象的数 而不是具体的事物 对这个模型的理解需要学生有更高水平的抽象能力 甚至有的初中学生对用分数表示点仍然感到困难。 分数的数线模型与分数的面积模型有着密切的联系: 一个分数可以表示单位面积的一部分 也可表示“单位长度的一部分。前者是二维的 后者是线性的 是一维的。 作为数线模型的数轴的前身是数轴的局部放大和特殊化 是用点来刻画分数。 4.分数与除法、比的关系。 对分数的另一种理解是把分数与除法联系起来: 3/7被解释为 7 个人平均分 3 个东西。分数是除法运算的结果 但事实上 小学生对此并不理解 其典型表现就是在解决实际问题或者解方程时 当结果为分数时 有很多学生认为“还没有计算完” 一直要把分数再化为小数为止。 分数与除法的互相转化有重要的应用: 把分数化为小数或百分数。 当刻画两个量的数量关系时我们经常用比 例如 下图中 A 与 B的点数之比是 35 也可以记作 3/5 其比值则是 3 除以 5 的结果即为3/5 小学生更习惯于写作 0.6。 从上述分析中可以看出 我们对分数的理解可以从多个角度 借助于多个直观模型 其抽象水平越来越高 因此在分数的教学设计时要注意: 1提供多样的模型: 提供多种不同的实物模型 在分割中使儿童逐步体验分数的解释的多样性与表示法的多样性。 2 把握抽象水平: 精心设计精心控制 逐步提升儿童对分数的理解水平。 分数的每一种解释都与某一特殊的认知结构有关 如果忽略了其中某一必要的认知结构 可能导致儿童缺乏关于分数某些方面的理解 有的儿童可能对于日常生活中分数的某些应用有很好的理解但换一种情境就感到困难。例如他们能把 3 米长的木条等分成 5段 并取其中 3 段 每段为 60 厘米。但他们却不理解: 350.6。 3 学生对分数的抽象理解过早或过晚都不利于学生的发展。学生对分数的不同理解存在显著的个体差异 有些学生很早就能在抽象水平理解分数 而另一些则需要等待很长的时间。为此 一开始就要利用不同的实物模型 从平均分中 帮助学生体验分数含义的多重性和复杂性。 三、作为“定义的分数” 小 学 阶 段 所 理 解 的 主 要 是“行为的分数” 即借助于大量的操作活动 例如分一分、画一画等活动来理解分数的意义。作为“定义的分数”学生是否能够理解呢在教学中如何运用 作为“定义的分数”就是将分数定义为“形如 b/aa0 的数 就叫分数” 不考虑其现实意义 只是从形式上给出描述 即分数是由一对数对决定的有一个数对就有唯一一个分数和它对应。 在小学的高年级 在学生掌握了分数的现实意义后 定义的分数学生也可以解。下面举一例子:构造分数表。 由于把分数看做一对数对 由此我们可以在直角坐标系内将所有的分数一一排列出来: 以横轴上的自然数做分母 纵轴上的自然数做分子 就可以将所有的分数一一排列 形成分数表。 而这张分数表具有很多优美的特点: 任何一个分数都能在这张表中找到。 从左下方到右上方的主对角线上的数都是“1”。 这条对角线下方的都是真分数 上方的都是假分数 并且有一一对应关系 例如 3/2 与 3/2 其位置也是对称地分布在这条主对角线的两侧。 ? 当学生跳出分数的现实意义即跳出“行为的分数” 而从形式上来领略分数 不正好能进一步感受数学的神奇魅力吗数学不也走了两条不同的发展道路 水平数学化与垂直数学化 吗 从两条道路上来理解数学、欣赏数学应该是数学教学的本真追求 话说分数上 德国数学家克罗内克有一句名言: “上帝创造了自然数 其余都是人造的。”人类从蛮荒时代开始结绳记数。随着分配猎获物的需要 数的加减乘除也很“自然”地开始使用于是有了自然数。后来因减法的需要出现了负数 因除法的封闭性引入分数 更因开方的通行无阻出现实数和复数 这些就都不是“自然”的了。 第一个“人为”的数是正分数。从逻辑上看 应该是先有负整数再有分数 但是历史顺序却正好相反。负数最早出现于中国的九章算术 约公元前 1 世纪成书 而有历史记录的分数则出现在古埃及的纸草书上 距今约 4000 年。九章算术也叙述了完整的分数知识。中文数学名词 “三分之一”“几分之几” 确实既精确又达意比起英文的 “onethird 一和第三 ”来 要容易理解得多。东亚许多使用汉字的国家和地区 学生学习分数的成绩普遍比欧美各国好据说与此有关。 时至今日 分数知识是普通百姓数学素养的组成部分之一。全世界的学生 无一例外地要学习分数。欧美各国的数学课程 分数大多放在中学 六至七年级 我国的分数则要早些 20 世纪 60 年代 分数内容安排在五年级 现在则在三年级或四年级就开始学习了。 1.分数是我们认识自然数以后的“新朋友”。 各国的分数教学 多半是从“切大饼”或“分蛋糕”开始的。如 将一个圆形大饼平均切成四块 每块是整个大饼的 1/4 读作四分之一。一般地 将一个单位平均分为若干份表示这样的一份或几份的数称为分数。这种用“份数”来定义的分数 易懂好学。不过 把它作为教学的切入点可以 但其内涵却很局限 尤其不可形成思维定势。 分数的真正来源在于自然数除法的推广。一个大饼 由四个人平均分 得到有确定大小的一块大饼。对于这个客观存在的量 依除法的意义 应该是 14 所得的商。可是 这种除数大于被除数的除法 以前不能除 因而也没有“商”。于是 “创新”的机会来了。我们把已经认识的自然数当做老朋友 把 14 的商看做新朋友 它的名字叫做四分之一。认识了这样的“新朋友” 任何两个自然数之间的除法就可以进行了。于是有这样的定义: 分数是两个自然数 a 和 bb0相除的商。ab 的商是新数 a/b 读作 b 分之 a。当 b1时 分数就是自然数。 总之 由“份数”定义到“商”的定义 是数系的扩充。这是一次跨越、一次升华 每个学生都必须面对。现在的教科书 对于数的扩充只字不提 连“分数是新朋友”这样的话也不说 应该说是一种数学思想方法教育上的缺失。 2.分数是一个特殊的“大家庭”。 分数运算之难 在于通分。小学生不知道为什么要扩分、通分、约分。明明是同一个分数 老是化来化去 像变戏法似的 难以捉摸。 注:扩分是指将 1/2 写成 4/2 、 8/4 ?这一说法在香港通行 大陆不大使用。其实 它和约分运算一样 彼此对立统一 有其独立使用的价值 其实 这里用到一个很深刻的思想: 等价类。一个分数 和它的所有扩分和约分相等: 这些数构成一个由无限多个分数组成的等价类 其中的每两个分数彼此相等 但是形式却不同。这是以前学习自然数时从未碰到过的数学现象。 依照通常的思考 既然相等 选一个代表就行了 要那么多等价的分数做什么确实 作为分数的等价类 一个特殊的代表是有的 就是最简分数。但是 最简分数作为代表有时候并不方便 需要在等价类中找出适当的分数表示才能参与运算。例如 1/2 1/3 两个分数都是最简分数 却不能直接相加。还得找出以两个分母的最小公倍数为分母的那些特殊表示 写成 3/6 2/6 才能相加。这就是说 分数等价类中的每一个表示 各有各的用处 都有其特定的价值。分数的这个特点 既有学习难度 又有思想高度 是一个重要的数学思想方法。 这样一来 我们可以这样比喻:每一个分数都是一个大家庭。一个家庭有许多人格上平等的成员 可以有一个户主最简分数。但是 每个家庭成员各有各的作用: 爸爸耕田 妈妈织布 爷爷养花 奶奶管家小明读书?在通分的时候 最简分数和每一个扩分 都会派上用场。用这样的比喻来认识作为等价类的“分数” 是否比较直白易懂呢 还可以有另外的比喻。一个人可以有不同的装束: 校服、运动服、唐装、西装、夹克衫、牛仔服等。尽管装束多种多样 却都是同一个人。两个分数通分 相当于两个人都穿一样的服装。在教室里上课 大家都穿校服 在运动会比赛时 大家都穿运动服 文艺演出时 大家又要换成演出服? 扩分、约分、通分的学术形态是所谓的“分数基本性质”。这个基本性质是分数知识的学术形态 较难把握。上述的比喻尽管不完全准确有点蹩脚 却可以让人觉得数学的原始思想也很平常 呈现出一种使人容易理解的教育形态。 3.正分数密密麻麻地分布在数射线上。 “切大饼”是分数的直观表示但并非最好的表示。“切大饼”是学习分数过程的一根“拐棍” 能够独立行走了 应该及时丢掉 否则会影响进一步的学习。 让我们先看一个教学调查。问题是 : “从右边的图形中 你看到了什么分数 ”全班学生异口同声地说: “1/4 ”“还有别的分数吗 ”大家都摇摇头. 把这一图形看成 1/4唯一的几何解释 是一种不当的思维定势。实际上 除了以整个圆作为单位之外还可以看到一块黑、三块白 即以三块白为单位 看到 1/3。甚至还可以看到 1/2 和 1/1 。我们不是强调分数的单位吗 为什么单位不能多样化地选择呢 一个重要的几何表示是线段模型 教学上可以用折纸条的方式得到折痕. 这是一个半抽象的模型。首先它的单位是抽象的“1”。虽与圆形、三角形相比有点抽象 但是仍然是几何直观 可以帮助学生感知分数的含义。其次 这是数轴的雏形 早在学习自然数的时候 就用过这样的表示方法。再次 通过操作可以看到分数是“填”在自然数之间的“新”数 位置在两个相邻的自然数之间并和分数大小、扩分、约分、通分以及运算都可以呼应。线段模型是“圆模型”和其他平面模型的“再抽象”可以充当分数的“份数模型”向“除法的商”定义过渡的几何载体。 我国的分数教学 擅长分数的计算 不太注意在数轴上直观地加以表示。其实 这是数学素养的重要组成部分。应该让小学生知道 正的真分数是密密麻麻地分布在0 1区间上的。至少 在0 1 区间内画出所有的以 10 为分母的真分数 加强分数和数直线之间的联系 乃是改进分数教学的一个方面。 4.分数学习让学生面对“无限”的大门。 由于循环小数的出现 分数和小数的关系成了小学生学习的又一障碍。 小数的基础是十进制 即采取10 等分而获得的分数。从理论上说 应该是分数更为基础。但是 小数更容易学 生活中学生对小数的经验远比分数要多 货币中的元、角、分 长度度量中的米、分米、厘米 实际使用的都是小数。因此 就生活经验来说 小数似乎更基本 应该先学。 这就产生一个问题: 只学特殊的10等分的分数有限小数 不学或少学一般的分数行不行 回答是“不行”。因为有限小数只能表示一部分分数 大量分数的小数表示却是循环小数。特别是 无限小数不能直接进行加减乘除运算。所以分数的加减乘除化成无限小数的加减乘除是不行的。至于通过有限小数的运算和极限理论来教学 那不是小学数学的内容。 无限 只是人们的一种想象 只有数学 才真正面对无限。可以说分数学习已经抵达了“无限”的大门。小学阶段 只能在大门之外望一望 还没有办法走进去。如果问:0.99999?1 吗我们只能说无限接近 但永远达不到。 不过 分数的小数表示 可以用来整体地比较大小。众所周知 任取两个分数 要比较他们的大小 只要通分之后 比较它们分子的大小即可。这是局部的关于两个数的比较。另一方面 从整体上考察 全体正分数是可以像自然数那样从小到大排列起来的。如果一律化成有限或无限小数 然后按照整数位和小数位的位数 就可以依字典式的顺序区分大小。把它们一一标在数射线上可以直观地想象为: 所有真分数由小到大密密麻麻地排列在0 1 上左边为小 右边为大 没有最小的真分数 也没有最大的真分数 两个正分数之间没有空当。这是分数的半直观几何模型 数轴的雏形。 分数究竟该如何定义 张奠宙 用份数的定义来引入分数是非常自然的。但这样说还没有体现引进分数的本质分数是一个不同于自然数的新数。份数定义还停留在“几份”的思考上还没有越出自然数的范围。1份3份是分数还是自然数因此必须尽快过渡到分数的“商”定义即分数是正整数a除以正整数b的商记为a/b。?当除得尽时整除答案仍是“老朋友”自然数。关键在于除不尽的情况这时得到的就是我们要结识的新朋友分数。这个概念我们现在注意得不够而这恰恰是我们学习分数的本质所在。 比如1/4?1除以4的商是多大呢它一定比1小却又比0大。我们可以在数射线即数轴上标出它的位置它在0和1之间?这样一画分数是“我们的新朋友”的特性就显示出来了。原来的自然数离散地分布在数射线上现在的分数密密麻麻地填在射线上。商的分数的定义比份数的定义要深入一步体现了引进分数的必要性。目前的教材只是说“分数和除法之间的关系”未免不得要领。 分数的第三个定义是比的定义?比和除本来是一个问题的两个方面?用比的概念之后分数就可以扩大它的应用范围使我们的视野更广阔。随后举例对一个被分割为四等份且其中一份涂成黑色的圆宽广的视野可以看出1/4、3/4、1/2、4/1、1/3、3/1等分数?我也希望老师们能把份数和比的定义联系起来思考。 “分数的商定义”最大的必要性是使数从自然数集扩大到非负有理数集。所以分数最重要的本质是“它是一个数”即“是一个数值”它比自然数更能准确地刻画事物的“量”特性实现数学“量化思想方法”的意义。正因为此历史上人们才努力制定了分数的运算定义与运算规则并使其内涵自然数的运算定义与运算规则。 “分数的比定义”价值在于可用其定量研究两个以上事物在量方面的结构关系实现数学“结构化思想方法”的庖濉?如果只停留在“分数的份数定义”不但局限了分数的价值而且会给学生解决分数问题造成阻碍。