湖南省长郡中学2021届高三数学考前保温试题一（含答案）

湖南省长郡中学2021届高三数学考前保温试题（一）一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD2若，则（ ）ABCD3中，“”是“”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4函数的图像大致为（ ）ABCD5鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜文化的代表，在古代被视为立国之器，是国家和权力的象征.图是一种方鼎，图是根据图绘制的方鼎简易直观图，图中四棱台是鼎中盛烹煮物的部分，四边形是矩形，其中，点到平面的距离为，则这个方鼎一次最多能容纳的食物体积为（ ）（假定烹煮的食物全在四棱台内）ABCD6设，化简（ ）ABCD7已知，(e=2.718为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为（ ）ABCD8已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点，的重心为点，则点到直线的距离的最小值为（ ）A2BCD二、多选题9日本导演竹内亮拍摄的记录片后疫情时代是继南京抗疫现场好久不见，武汉之后，又一部以中国抗疫为主题的记录片力作.该片以南京马拉松比赛无人配送网络直播等为切入点，真实记录了中国在疫情防控复工复产方面取得的重大成就，并指出：“在新冠疫情冲击下，中国在全球主要经济体中率先恢复增长，成为世界经济体中的亮点”.片中记录某物流公司引进智能无人配送技术，为疫情期间居家隔离网上购物带来了很大的便利，同时也大大提升了公司的效益.2020年全年总收入与2019年全年总收入相比增长了一倍，同时该公司的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该公司这两年不同运营成本占全年总成本的比例.已知该公司这两年的年利润率相同，注：年利润率=(全年总收入-全年总成本)/全年总收入.下列说法错误的是（ ）A该公司2020年原材料费用等于2019年工资金额与研发费用的总和B该公司2020年研发费用是2019年工资金额原材料费用其他费用三项的总和C该公司2020年其他费用占2019年工资金额的D该公司2020年设备费用是2019年原材料费用的两倍10已知正数满足，则（ ）ABCD11已知正方形的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是（ ）A四面体的外接球的表面积为B四面体体积的最大值为C点D的运动轨迹的长度为D边AD旋转所形成的曲面的面积为12曲线为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，首蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状给出下列结论正确的是（ ） A曲线C只有两条对称轴B曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）C曲线C上任意一点到标原点O的距离都不超过2D曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2三、填空题13若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_（用数字作答）14请写出一个符含下列要求的数列的通项公式：为无穷数列；为单调递增数列；.这个数列的通项公式可以是_15算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74，若在个十百千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字大于300的概率为_16已知关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是_四、解答题17的内角，的对边分别为，已知.（）求；（）若的面积，求.18已知数列满足，且，其中，（1）求证：是等比数列，并求的前项和；（2）设，数列的前项和为，求证：19购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性.消费者的目标是通过购买若干个盒子，集齐该套盲盒的所有产品现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，中的一个，每个乙系列目盲盒可以开出玩偶，中的一个（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为；若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个20设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.（1）求双曲线的离心率；（2）已知直线，分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.长郡中学2021届高三高考考前保温卷一一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B2若，则（ ）ABCD【答案】B3中，“”是“”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】C4函数的图像大致为（ ）ABCD【答案】A【详解】因为，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；因为，所以排除C，故选：A.5鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜文化的代表，在古代被视为立国之器，是国家和权力的象征.图是一种方鼎，图是根据图绘制的方鼎简易直观图，图中四棱台是鼎中盛烹煮物的部分，四边形是矩形，其中，点到平面的距离为，则这个方鼎一次最多能容纳的食物体积为（ ）（假定烹煮的食物全在四棱台内）ABCD【答案】D【详解】几何体为四棱台，所以延长必交于一点，记为O，且四棱锥相似于，所以.过点作OH面于H，作OG面于G，则,又，解得：OG=,OH=，四棱台的体积.故选：D6设，化简（ ）ABCD【答案】A【详解】因为，所以，故选：A7已知，(e=2.718为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为（ ）ABCD【答案】C【详解】令，所以所以当时，单调递增；当时，单调递减，因为，所以，即.故选：C8已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点，的重心为点，则点到直线的距离的最小值为（ ）A2BCD【答案】C【详解】由题意，抛物线为，可令直线为，若，联立直线与抛物线得且，则，又的重心为点，即，则到直线的距离，当时，.故选：C.二、多选题9日本导演竹内亮拍摄的记录片后疫情时代是继南京抗疫现场好久不见，武汉之后，又一部以中国抗疫为主题的记录片力作.该片以南京马拉松比赛无人配送网络直播等为切入点，真实记录了中国在疫情防控复工复产方面取得的重大成就，并指出：“在新冠疫情冲击下，中国在全球主要经济体中率先恢复增长，成为世界经济体中的亮点”.片中记录某物流公司引进智能无人配送技术，为疫情期间居家隔离网上购物带来了很大的便利，同时也大大提升了公司的效益.2020年全年总收入与2019年全年总收入相比增长了一倍，同时该公司的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该公司这两年不同运营成本占全年总成本的比例.已知该公司这两年的年利润率相同，注：年利润率=(全年总收入-全年总成本)/全年总收入.下列说法错误的是（ ）A该公司2020年原材料费用等于2019年工资金额与研发费用的总和B该公司2020年研发费用是2019年工资金额原材料费用其他费用三项的总和C该公司2020年其他费用占2019年工资金额的D该公司2020年设备费用是2019年原材料费用的两倍【答案】ACD【详解】不妨设2019年全年的总成本为，则2020年全年的总成本为.该公司2020年原材料费用为，2019年工资金额与研发费用的和为，故A错误；该公司2020年研发费用为，2019年工资金额原材料费用其他费用三项的和为，故B正确；该公司2020年其他费用为，2019年工资金额为，故C错误；该公司2020年设备费用为，2019年原材料费用为，故D错误，故选：ACD10已知正数满足，则（ ）ABCD【答案】ACD【详解】A：由，又，得，所以，正确；B：由，当时有，此时，错误；C：由，所以，正确；D：由，所以，正确.故选：11已知正方形的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是（ ）A四面体的外接球的表面积为B四面体体积的最大值为C点D的运动轨迹的长度为D边AD旋转所形成的曲面的面积为【答案】ACD【详解】解：对A：，AC中点即为四面体的外接球的球心，AC为球的直径，故选项A正确；对B：当平面平面时，四面体体积的最大，此时高为，故选项B错误；对C：设方形对角线AC与BD交于O，由题意，翻折后当的最小值为时，为边长为的等边三角形，此时，所以点D的运动轨迹是以O为圆心为半径的圆心角为的圆弧，所以点D的运动轨迹的长度为，故选项C正确；对D：结合C的分析知，边AD旋转所形成的曲面的面积为以A为顶点，底面圆为以O为圆心为半径的圆锥的侧面积的，即所求曲面的面积为，故选项D正确.故选: ACD.12曲线为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，首蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状给出下列结论正确的是（ ） A曲线C只有两条对称轴B曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）C曲线C上任意一点到标原点O的距离都不超过2D曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2【答案】CD【详解】根据图形可得，曲线C有四条对称轴，；即A错；由可得；即圆与曲线相切于点，内切于圆；故曲线C上任意一点到坐标原点O的距离的最大值为，即C正确；又圆位于第一象限的整点只有，但，所以曲线C在第一象限不过整点，根据对称性可得，曲线C在二三四象限也不过整点；又显然在曲线上，所以曲线只过一个整点，故B错；设曲线C上的任一点的坐标为，则过该点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积；由可得，当且仅当时，等号成立，所以，即D正确.故选：CD.三、填空题13若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_（用数字作答）【详解】的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则由二项式系数性质知：展开式共有9项，则n=8，展开式的通项为，展开式中常数项，必有，即，所以展开式中常数项为.故答案为：14请写出一个符含下列要求的数列的通项公式：为无穷数列；为单调递增数列；.这个数列的通项公式可以是_【答案】.【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递增，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是，故答案为：.15算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74，若在个十百千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字大于300的概率为_【答案】【详解】由题意，在个十百千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，共有种，当在个、十位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个、十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到的数字不大于300，有；当在百位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个、十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到的数字不大于300，有；所以所拨数字不大于300的概率为16已知关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是_【答案】【详解】解: 由，则方程，即，令，则由单调性可知，函数是递增的，故时，值域为.而转化为，当时，方程为，不成立，故，即转化为在有两个不相等的实根，即和，有两个不同的交点.，当和时，即在上递减，在上递减；当时，递增.另外，时，；时，；.结合函数，图象可知，当时，和，的图象有两个不同的交点.故答案为：.四、解答题17的内角，的对边分别为，已知.（）求；（）若的面积，求.【答案】（）（）4【详解】（），由正弦定理得，故，整理得.，.（）由（）知.，.，. ，即， 当时，.由（）知，可得.易知在中，代入得，则；当时，由得，由正弦定理得，与联立得，.由余弦定理得，可得.综上，.18已知数列满足，且，其中，（1）求证：是等比数列，并求的前项和；（2）设，数列的前项和为，求证：【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【详解】（1）因为，所以，所以，得到，又因为，由，得到，故，且，所以为定值，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以，（2）因为，所以，所以因为，所以，所以19购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性.消费者的目标是通过购买若干个盒子，集齐该套盲盒的所有产品现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，中的一个，每个乙系列目盲盒可以开出玩偶，中的一个（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为；若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个【答案】（1）， ；（2）；甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个.【详解】解：（1）若一次性购买个甲系列盲盒后集齐，玩偶，则有两种情况：其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；若其中两个玩偶各各，另外两个玩偶1个，则共有种结果，故；若一次性购买个一系列盲盒，全部为与全部为的概率相等为， 故.（2）由题可知：，当时，即是以为首项，以为公比的等比数列.所以因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，所以.即购买甲系列的人数的期望为，所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.20设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.（1）求双曲线的离心率；（2）已知直线，分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）2；（2）以为直径的圆过定点，.【详解】（1）由轴时， 为等腰直角三角形，可得，所以，即，故，结合，解得.故双曲线的离心率为2.（2）因为，所以双曲线，显然直线l的斜率不为0，设直线，联立直线与双曲线的方程得，化简得，根据根与系数的关系，得，所以， 设直线，直线，令，可得，设是以为直径的圆上的任意一点，则，则以为直径的圆的方程为，由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，令，可得，即，将代入，可得，即，解得或，所以以为直径的圆过定点，.