重积分的应用

对重积分应用的一些想法 王烁正阳，PB07210138在第二学期微积分的学习中，一个很重要的变化就是“多元化”，无论是函数的微分，积分以及场论乃至后面的级数，无不体现了多元这一特点，正所谓从1到2是质变，从2到3只是量变。而在学习的这些有关多变量的知识之中，重积分，尤其是它的应用给我留下了很深刻的印象。本文将重点结合一些实例，对重积分应用中曲面的面积做一些补充，着重总结一下重积分在物理学中的应用，最后简单引申一点重积分在生活实际中的应用。目的在于帮助读者尤其是各位同学，加深对重积分的了解，回顾一下所学过的知识，并能在这之中得到一些启发。在我们的学习中，重积分的一个很重要的应用就是曲面面积。在上学期的学习中，我们已经知道了普通积分代表的是平面面积，所以我们不难提出这样的问题：非平面的面积如何计算？也就使人们想要把定积分的元素法推广到二重积分的应用中，并用此方法来解决曲面面积的问题，既若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域da时，相应地部分量可近似地表示为f(x,y)da的形式,其中(x,y)在da,内这个f(x,y)da称为所求量U的元素，记为du.，从而有了这之后用此来表示曲面面积元。对于多重积分表示曲面面积的推导，书上已经写的很详细，这里再提供另一种想法设曲面S的方程为z=f(x, y), f(x, y)在区域D上具有连续偏导数.设dA为曲面上点M处的面积元素,dA在xOy平面上的投影为小闭区域ds,点M在xOy平面上的投影为点P(x, y). 因为点M处的法向量为n=(-fx, -fy, 1),所以 设曲面S的方程为z=f(x, y), f(x, y)在区域D上具有连续偏导数.设dA为曲面上点M处的面积元素,dA在xOy平面上的投影为小闭区域ds,点M在xOy平面上的投影为点P(x, y).因为点M处的法向量为n=(-fx, -fy, 1), 所以提示：因为M处的切平面与xOy面的夹角为(n,k), 所以 dAcos(n,k)=ds.又因为nk=|n|cos(n,k)=1, cos(n,k)=|n|-1, 所以dA=|n|ds. 同样，对于曲面面积的认识，我们也不应仅停留在课本中那些抽象的图形上，下面举一实例加以说明卫星下面我们来着重看一下重积分在物理中的应用1 质量 平面薄片的质量设该薄片在面上占据平面闭区域D，已知薄片在D内每一点 (x， y) 的面密度为，且在D上连续。在闭区域D上任取一直径很小的闭区域，则薄片中对应于(也表示其面积)部分的质量可近似地表示为，这就是质量微元，以其为被积表达式，在区域D上二重积分，得。 (4.6)特别地，如果平面薄片为均匀的，即r为常数时，上式可简化为 (s 为D的面积)。 (4.7)类似地，有空间物体的质量如下设该物体占有空间区域，体密度函数为，则质量微元为：，故。这部分内容在书上并没有专门说到，只是老师提过，这里略作总结，并举一例说明例：一物体占有的空间区域由曲面，围成，密度为，求此物体的质量。解 。由于书上说的很简单，以下也把重心和转动惯量简单的说一下，以加深理解。2 重心坐标设面上有n个质点，分别位于处，质量分别为。由力学知，该质点系的重心坐标为 和 其中为该质点系的总质量， 和分别为该质点系关于x轴和y轴的静力矩。设一平面薄片在面上占据有界闭区域D，已知薄片在D内每一点 (x， y) 的面密度为，且在D上连续。由前面平面薄片质量的讨论可知，对于闭区域D上任一直径很小的闭区域，薄片中对应于(也表示其面积)部分的质量可近似地表示为，这部分质量又可近似地看成是集中在点 处，由此可得对应于的小薄片关于x轴和y轴的静力矩微元及 ， ，以它们为被积表达式在区域D上二重积分，可得平面薄片关于x轴和y轴的静力矩 和 ，所以平面薄片的重心坐标为 和 。 特别地，如果平面薄片为均匀的，即r为常数，上式可简化为 和 其中为平面薄片的面积。由此我们也可以思考一下空间立体也有形心的概念，其计算公式是否也地求得？ 3 转动惯量平面薄片的转动惯量 转动惯量是对物体在转动过程中的惯性大小的度量。对于质量为、且位于平面上处的质点，其转动惯量为：， ， ； 对于质点系：质量，坐标，则 ， ， ； 对于平面薄片，密度函数为，相对于轴的转动惯量微元：，从而，同理，以及；完全类似地可得空间物体的转动惯量。最后，让我们来看一下重积分在现实生活中的应用(飓风的能量有多大) 在一个简化的飓风模型中，假定速度只取单纯的圆周方向，其大小为 其中是柱坐标的两个坐标变量，为常量。以海平面飓风中心处作为坐标原点，如果大气密度 ，求运动的全部动能。并问在哪一位置速度具有最大值？解 求动能： 因为 ，。因为飓风活动空间很大，在选用柱坐标计算中由，所以，其中 用部分积分法算得为 ，最后有。下面计算何处速度最大：由于 ，所以， 。由第一式得。显然，当时，不是最大值（实际上是最小值），舍去。由第二式解得。此时。它是的单调下降函数。故处速度最大。也即海平面上风眼边缘处速度最大。 通过以上的内容，我们可以看到，重积分的应用之广，尤其是在物理中的应用。并且我们也应该从上述补充证明中认识到，对待每一个知识点，我们都可以从不同的角度去理解，并与实际生活相结合，这才使我们所学的知识真正为我们所用。