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1 / 9 2.3变量间的相关关系 一、教材分析 本节知识内容不多，但分析本节内容，至少有下列特点： 1) 知识的联系面广，应用性强，概念的真正理解有难度，教学既要承前启后，完成统计必修基础知 识的构建；也要知道知识的来龙去脉，提升学生运用统计知识解决实际问题的能力，更要抓住本质， 正确理解统计推断的结论。 2) 通过典型案例进行教学， 使知识形成的过程中具有可操作性， 易于创设问题情境，引导学生参与， 而学生借助解决问题，通过自主思维活动，会产生感悟、发现，能提出问题，思考交流，不仅能正 确、全面地理解基础知识和基本方法，而且能促进、发展学生的统计意识、统计思想。 【学习目标】 1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图， 并利用散点图直观认识变量间的相关关 系； 2. 知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。 【重点难点】 重点：作出散点图和根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。 难点：对最小二乘法的理解。 【学法指导】 本节是一种对样本数据的处理方法，但侧重的是由样本推断总体，其方法是学生初识的、知识 的作用也是学生初见的。知识量并不大，但涉及的数学方法、数学思想较充分，同时，在教材中留 有供发现的点，设有开放性问题，既具有体验数学方法、数学思想的功能，也具有培养学生从具体 到抽象能力、锻炼创造性思维能力的作用。 教学方法 1 自主探究，互动学习 2 学案导学：见后面的学案。 3 新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑T情境导入、展示目标T合作探究、精讲点拨T 【学 习反思】、【基础达标】T发导学案、布置预习 课前准备 1 学生的学习准备：预习课本，初步把握必须的定义。 2 教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 【知识链接】 标准差的公式为： _ 创设情境 1、 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式 .对于两个变量，如果当一个变量的取值一 定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系 2、 在中学校园里，有这样一种说法： “如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问 题。”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理 成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？ 3、 “名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的 教学水平之间的关系是函数关系吗？ 【学习过程】 思考：考察下列问题中两个变量之间的关系： (1) 商品销售收入与广告支出经费；2 / 9 （2） 粮食产量与施肥量； （3） 人体内的脂肪含量与年龄. 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？ 一、 相关关系： 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系。 【说明】函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系。 思考探究： 1、 有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语。吸烟是否一定会引起健康问题？ 你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？ 2、 某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的 天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低，于是他得出了一个结论： 天鹅能够带来孩子。你认为这样的结论可靠吗？如何证明这个问题的可靠性？ 分析：（1）吸烟只是影响健康的一个因素，对健康的影响还有其他的一些因素，两者之间非函数关 系即非因果关系； （2）不对，这也是相关关系而不是函数关系。 上面提到了很多相关关系，那它们之间的相关关系强还是弱？我们下面来研究一下。 二、 散点图 探究：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究 中，研究人员获得了一组样本数据： 年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂龄 953 1748 252 257) 2585 26(3 2612 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数。 思考探究： 1、 对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在 一起，就可能表现出一定的规律性 观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量 怎样变化？ 2、 为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对 两个变量之间的关系有一个直观的印象 以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中 描出样本数据对应的图形吗？ 量含肪脂 0 20 25 30 35 40 平面直角坐标系中，表示具有相关关 45 50 55 60 65 年龄 系的两个变量的一组数据图形称 散点图。 5 40 35 30 25 20 15 10 3 / 9 3、观察人的年龄的与人体脂肪含量散点图的大致趋势，有什么样的特点？阅读课本 关关系我们称为什么？还有没有其他的相关关系？它又有怎样的特点? 三、线性相关、回归直线方程和最小二乘法18586，这种相 在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律 性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？ 如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关 系，这条直线叫做回归直线。 我们所画的回归直线应该使散点图中的各点在整体上尽可能的与其接近。我们怎么来实现这一目的 呢？说一说你的想法。 设所求的直线方程为 ？=bx+a，其中a、b是待定系数。 则?i=bxi+a (i =1, 2,，n).于是得到各个偏差 yi - ?i =y -( bxi+a) (i =1, 2，n) 显见，偏差yi - y?i的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个 点与相应直线在整体上的接近程度，故采用 n个偏差的平方和 2 2 2 Q= (yi- bxi- a) + (y2- bx2- a) + + (yn-bxn- a) 表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。 n 记 Q= (yibXja)2 i 4 求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方 和最小的方法叫最小二乘法。 【例题精析】 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的饮 料杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1) 画出散点图； (2) 从散点图中发现气温与热饮杯数之间关系的一般规律; (3) 求回归方程； (4) 如果某天的气温是 2C,预测这天卖出的热饮杯数。 (4) 当 x=2 时，y=143.063 180 A CC 140 120 100 80 _ - 60 3 / 9 40 20 a 1 1 II 数杯饮热 这样，问题就归结为：当 b取什么值时Q最小，a、b的值由下面的公式给出: n 迟(Xi - x)( yi - y) b = - n Z (Xi i a = ybX. -x)2 n 二 Xi yinx y i T n 2 2 Xi -nx i =1 yJ n y yi ,a为回归方程的斜率，b为截距。 5 / 9 【学习反思】 1、 求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行： （1） 计算平均数X，y ； （2） 求 a, b； （3） 写出回归直线方程。 2、 回归方程被样本数据惟一确定，对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归 直线也具有随机性。 3、 对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程” ，如果这组数据不具线性相关关 系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的。因此，对一组样本数据，应 先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程 教师组织学生学习本节课的主要内容，并进行 【基础达标】。 设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正 。（课堂实录） 发导学案、布置预习。 完成本节的课后练习及课后延伸拓展作业。 设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。 【学习反思】 本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要 解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生 【学习过程】 中易忘、易混点等，最后进行 【基础 达标】，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。 本节课学习了变量间的相互关系和两个变量的线性相关， 以及最小二乘法和回归直线的定义， 体 会了用最小二乘法解决两个变量线性相关的方法， 在解决问题中要熟练掌握求回归系数 b、a的公式， 精确计算同时，要注意培养学生的观察分析两变量的关系和抽象概括的能力 在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大 家提出宝贵意见，共同完善，共同进步 ！6 / 9 2.3变量间相关关系导学案 【学习目标】 1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关 系 2. 经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的 思想，能根据给出的线性 回归方程系数公式建立线性回归方程 【重点难点】 重点：作出散点图和根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 难点：对最小二乘法的理解。 【学法指导】 一、 预习目标 1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图， 并利用散点图直观认识变量间的相关关 系； 2. 知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。 二、 预习内容 1. 举例说明函数关系为什么是确定关系？ 2. 一个人的身高与体重是函数关系吗 ？ 3. 相关关系的概念： 4. 什么叫做散点图？ 5. 回归分析，（1）求回归直线方程的思想方法； （2）回归直线方程的求法 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 【学习过程】 思考：考察下列问题中两个变量之间的关系： （1） 商品销售收入与广告支出经费； （2） 粮食产量与施肥量； （3） 人体内的脂肪含量与年龄. 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？ （一八相关关系： 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系。 【说明】函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系。 思考探究： 1、 有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语。吸烟是否一定会引起健康问题？ 你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？ 2、 某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的7 / 9 天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低，于是他得出了一个结论: 天鹅能够带来孩子。你认为这样的结论可靠吗？如何证明这个问题的可靠性？ （二八散点图 探究：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据： 年年瑚 23 乡乡4 39 41 45 49 50 脂脂 扌肪扌肪 295) 17. .8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数。 思考探究： 1、 对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在 一起，就可能表现出一定的规律性观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量 怎样变化？ 2、 为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对 两个变量之间的关系有一个直观的印象 以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中 描出样本数据对应的图形吗？ 3、观察人的年龄的与人体脂肪含量散点图的大致趋势，有什么样的特点？阅读课本 关关系我们称为什么？还有没有其他的相关关系？它又有怎样的特点？ （三）、线性相关、回归直线方程和最小二乘法 在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律 性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？ 如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关 系，这条直线叫做回归直线。 我们所画的回归直线应该使散点图中的各点在整体上尽可能的与其接近。我们怎么来实现这一目的 呢？说一说你的想法。 这样，问题就归结为：当 a、b取什么值时Q最小，a、b的值由下面的公式给出: n (Xi - x)( yi - y) i T n (Xi - X)2 i斗 =y - bx. 求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法。 【例题精析】 【例1】下表是某小卖部 6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表： 气温/ C 26 18 13 10 4 -1 杯数 20 24 34 38 50 64 (1) 将上表中的数据制成散点图 (2) 你能从散点图中发现温度与饮料杯数近似成什么关p8586，这种相 n 2 2 j. Xi -nx i W 其中乂 =丄Xi， n i i y=- J n i# yi a为回归方程的斜率, b为截距。 8 / 9 系吗 ？ (3) 如 果 近 似 成 线 性 关 系 的 话 ， 请 求 出 回 归 直 线 方 程 来 近 似 地 表 示 这 种 线 性 关 系 (4) 如果某天的气温是-5C时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数 【学习反思】 1、 求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行： (1) 计算平均数x , y ； (2) 求 a, b; (3) 写出回归直线方程。 2、 回归方程被样本数据惟一确定，对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归 直线也具有随机性。 3、对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程” ，如果这组数据不具有线性相关 关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的。因此，对一组样本数据， 应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程。 【基础达标】 1. 有关线性回归的说法，不正确的是 A. 相关关系的两个变量不是因果关系 B. 散点图能直观地反映数据的相关程度 C. 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D. 任一组数据都有回归方程 2. 下面哪些变量是相关关系 A. 出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格 C.身高与体重 D. 铁的大小与质量 3. 回归方程？=1.5x 15,贝U A. y=1.5 X 15 B.15 是回归系数 a C.1.5是回归系数 a D. x=10时，y=0 4. r是相关系数，则结论正确的个数为 r 1, 0.75 时，两变量负相关很强 r 0.75 , 1时，两变量正相关很强 r ( 0.75， 0.3 或0.3，0.75 )时，两变量相关性一般 r=0.1时，两变量相关很弱 A.1 B.2 C.3 D.4 5. 线性回归方程 ？=bx+a过定点 _ . 6. 一家工厂为了对职工进行技能检查，对某位职工进行了 10次实验，收集数据如下 零件数x(个) 10 20 30 40 50 60 70 80 加工时间 12 25 33 48 55 61 64 70 9 / 9 y（分钟） （1）画出散点图; （2 ）求回归方程 【参考答案】 1. 答案：D解析：只有线性相关的数据才有回归直线 . 2. 答案：C解析：A B、D都是函数关系，其中 A一般是分段函数，只有 C是相关关系 3. 答案：A解析：D中x=10时?=0，而非y=0,系数a、b的意义要分清 4. 答案：D解析：相关系数r的性质. 5. 答案：(x， y)解析：？=bx+a, ?=bx+ y bx , ( y?- y ) =b (x x ) & 图略. 由上表分别计算注的平均数得宀挈.弘竽 厂亍F d得I注意不必把x. P化为小数:以减小误差）. III写出回!日直级方程 加工时间丁对零件数.的回归直线方程为:y=o-n.S24.v 【拓展提升】 1. 下列两个变量之间的关系不具有线性关系的是（ ） A. 小麦产量与施肥值 B. 球的体积与表面积 C. 蛋鸭产蛋个数与饲养天数 D. 甘蔗的含糖量与生长期的日照天数 2. 下列变量之间是函数关系的是（ ） A. 已知二次函数y =ax2 Fx ，其中a , c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判 别式：厶=b2 -4ac B. 光照时间和果树亩产量 C. 降雪量和交通事故发生率 D. 每亩施用肥料量和粮食亩产量 3 下面现象间的关系属于线性相关关系的是（ ） A. 圆的周长和它的半径之间的关系 B. 价格不变条件下，商品销售额与销售量之间的关系 C. 家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势 D. 正方形面积和它的边长之间的关系 代入公式注 - 20020-Sx 20400-3x() 3460 4200 =0.824 10 / 9 4 下列关系中是函数关系的是（ ） A. 球的半径长度和体积的关系 B. 农作物收获和施肥量的关系 C. 商品销售额和利润的关系 D. 产品产量与单位成品成本的关系 5. 设有一个回归方程为 $ = 2 1.5X，则变量x增加一个单位时（ ） A. y平均增加1.5单位 B. y平均增加2单位 C. y平均减少1.5单位 D. y平均减少2单位 6. 工人月工资（x元）与劳动生产率（X千元）变化的回归直线方程为 $ =50 80X，下列判 断不正确的是（ ） A .劳动生产率为1000元时，工资约为130元 B. 劳动生产率提高1000元时，则工资平均提高 80元 C. 劳动生产率提高1000元时，则工资平均提高 130元 D. 当月工资为210元时，劳动生产率约为 2000元 7 .某城市近10年居民的年收入 x与支出y之间的关系大致符合 y=0.8x 0.1 （单位：亿元），预计 今年该城市居民年收入为 15亿元，则年支出估计是 _ . &在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度 y与腐蚀时间x之间对应的一组数据： 时间t（s） 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度y（卩m） 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (1) 画出散点图； (2) 试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程。 参苇答案=1-B 2. A 3.C 4. A 5 5.C 6. C 7. 12.1 E 元 a.1)散点图略.呈直iW. 经计障可得：t 4d.36,y = 19.45 Li 11 Li 工曾-3(5750,5? - 5442,51171 - !3910 匚 1391011x46 36x19.45 n , b = - - - f 0 3 * 36750 - 11x46.3d3 a- 19.45-0.3X46.36M 5 542 故所求的回归直线方程为9 =03t+5.542,
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