第三章随机向量课件

第三章第三章 随机向量随机向量3.1 3.1 随机向量的分布随机向量的分布一、随机向量及其分布函数n维随机向量维随机向量：书P72定义3.1联合分布函数：联合分布函数：书P72定义3.2我们主要讨论二维情形1、二维随机变量、二维随机变量 设设X和和Y是定义在是定义在(,P)上的两个随机变量上的两个随机变量,则称则称（X，Y）为二维随机变量或二维随机向量。为二维随机变量或二维随机向量。二维随机变量的例子二维随机变量的例子2、联合分布函数、联合分布函数 定义：设（定义：设（X，Y）是二维随机变量，是二维随机变量，x、y是任意是任意实数，函数实数，函数F（x,y）=PXx,Yy称为（称为（X，Y）的的分布函数，或称随机变量分布函数，或称随机变量X与与Y的联合分布函数的联合分布函数xy(x,y)yXx(x,y)X XY YxyYy二元分布函数的几何意义二元分布函数的几何意义边缘分布函数边缘分布函数FX（x）=PXx,Y+FY（y）=PX+,Yyxxyxyy联合分布函数的性质联合分布函数的性质(1)0F（x,y）1;(2)F(-,-)=0 F(+,+)=1;对于任意固定的 Y,对于任意固定的 X,(4)F（x，y）关于关于x右连续，关于右连续，关于y右右连续，连续，即即 F（x+0，y）=F（x，y)F（x，y+0）=F（x，y）(3)F(x,y)对对x和和y分别是不减函数分别是不减函数.对于任意固定的 y,当 x1 x2时，对于任意固定的 x,当 y1 y2时xy说说 明明上述五条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这五条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数具有这五条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数（证明略）例例1已知二元函数已知二元函数判断它是否为某二维随机变量的分布函数判断它是否为某二维随机变量的分布函数故它不是某二维随机变量的分布函数故它不是某二维随机变量的分布函数二、二维离散型随机变量及分布二、二维离散型随机变量及分布定义：定义：如果二如果二维随机随机变量量(X X，Y)Y)所有可能取的数所有可能取的数对为有有限个或可数个，限个或可数个，则称（称（X X，Y Y）为二二维离散型随机离散型随机变量并量并且称且称为（，）的概率分布，或称做与的（，）的概率分布，或称做与的联合概率分合概率分布布简称称联合分布，合分布，联合分布也可用表格列出合分布也可用表格列出联合分布的性合分布的性质：例例2袋内有四张卡片，分别写有、，每袋内有四张卡片，分别写有、，每次从中任取两张，记，分别表示取到的两张卡片中次从中任取两张，记，分别表示取到的两张卡片中的最小数字与最大数字，求与的联合分布。的最小数字与最大数字，求与的联合分布。例例3.X表示随机的在表示随机的在14的的4个整数中取出的一个数个整数中取出的一个数,Y表示在表示在1X个整数中随机地取出的一个数个整数中随机地取出的一个数,求与的求与的联合分布联合分布解：解：由题意知，X=i，Y=j的取值情况是：i=1,2,3,4，且是等可能的；然后j取不大于i的正整数。由乘法公式求得(X,Y)的分布律。X1234Y1234例例4二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y0120.050.10.10.10.20.1a0.20.05求:(1)常数a的取值;(2)P(X0,Y1);(3)P(X1,Y1)解解 (1)由pij=1得:a=0.1(2)由P(X,Y)D D=(2)P(X0,Y1)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P(X1,Y1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.75例例5.将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上次数,Y表示反面朝上次数,求(X,Y)的联合概率分布.解解 X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:XY0413223140P(X=0,Y=4)=0.54=1/16P(X=1,Y=3)=1/4P(X=2,Y=2)=6/16P(X=3,Y=1)=1/4P(X=4,Y=0)=0.54=1/16联合概率分布表为联合概率分布表为:Y01234X0123400001/160001/40006/160001/40001/160000例例6.设随机变量YN(0，1),令求(X1,X2)的联合概率分布。解解:(X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),P(X1=0,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2)=P(|Y|2)=1-P(|Y|2)P(X1=0,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2)=P(1|Y|2)=P(-2Y-1)+P(1Y2)=2P(1Y2)P(X1=1,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2)=0P(X1=1,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2)=P(|Y|1同理,fY(y)=所以,X,Y独立.(2)X,Y不独立xy01y=1-x例 9.（正态随机变量的独立性）四、n维随机变量的独立性注意注意 ：若X,Y独立，f(x),g(y)是连续函数，则f(X),g(Y)也独立。3.3 随机向量函数的分布与数学期望随机向量函数的分布与数学期望一、离散型随机向量函数的分布一、离散型随机向量函数的分布例1.书P89例3.12-101234p-10200.10.2010.30.05 0.120.1500.1-2-1024p0.150.30.350.10.1例例2.设随机变量X1与X2相互独立，分别服从二项分布B(n1,p)和B(n1,p)，求Y=X1+X2的概率分布.解解 依题知X+Y的可能取值为0,1,2,.,n1+n2,因此对于k(k=0,1,2,.,n1+n2)，由独立性有由得所以Y=X1+X2服从二项分布B(n1+n2,p)即:若X与Y相互独立，XB(n1,p)，B(n,p)，则X+YB(n1+n2,p)二项分布的可加性二项分布的可加性类似可得(书P91例3.13):若X,Y相互独立,XP(1),YP(2),则X+YP(1+2)Possion分布的可加性分布的可加性二二.连续型随机变量和的概率密度函数连续型随机变量和的概率密度函数x+y=z三.随机向量函数的数学期望设g(X,Y)为随机变量X,Y的函数,Eg(X,Y)存在,(1)若(X,Y)为离散型随机向量,P(X=xi,Y=yj)=pij,(i,j=1,2),则(2)若(X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)f(x,y),则例例4.设(X,Y)的联合概率分布为X103/83/8031/8001/8Y0123求EX,EY,E(XY).解解X,Y的边缘分布为X13P3/41/4Y0123P1/83/83/81/8所以EX=3/2,EY=3/2,例5.书P95例3.19例6.书P95例3.20例7.书P95例3.21x=yx0y四四.数学期望的性质数学期望的性质1.如果(X,Y)是二维随机向量,则2.若(X,Y)是二维随机向量,且X与Y独立,则E(XY)=EXEY证明证明:由X,Y相互独立得注注 性质性质1和和2可推广到有限个随机变量情形可推广到有限个随机变量情形.书书P973.43.4随机向量的数字特征随机向量的数字特征一一.协方差协方差定义定义(书书P97P97定义定义3.8)3.8)对两个随机向量(X,Y),若E(X-EX)(Y-EY)存在，则称 cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)为X和Y的协方差。特别,若X=Y,则cov(X,X)=E(X-EX)2=DX因此,方差是协方差的特例,协方差刻画两个随机变量之间的“某种”关系.性质1.cov(X,Y)=cov(Y,X)；2.cov(aX,bY)=abcov(X,Y),a,b为任意常数；3.cov(C,X)=0,C为任意常数；4.cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)推论推论 D(XY)=DX+DY2cov(X,Y)可以证明可以证明若(X,Y)服从二维正态分布,即则二二.相关系数相关系数书书P101P101定义定义3.103.10 设随机变量X和Y的方差为正值,称注注若(X,Y)服从二维正态分布,则例例1.设(X,Y)服从二维正态分布,且XN(1,9),YN(0,16),解解所以性质性质a0时,XY=1a0,X,Y正相关正相关XY0，有则称 Xn依概率收敛于依概率收敛于a,a,记作二二.大数定律大数定律在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性，还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律:设随机变量序列Xn相互独立,数学期望和方差均存在,E(Xn)=un,D(Xn)=n20,有书P108定理3.9推论：推论：设Xn为相互独立的随机变量序列,且有相同期望与方差:E(Xi)=u,方差D(Xi)=2(i=1,2,.),则对任意的0,有注：注：辛钦大数定理其实是将推论中要求方差存在辛钦大数定理其实是将推论中要求方差存在这一条件去掉这一条件去掉书书P107定理定理3.8（贝努里利大数定律）（贝努里利大数定律）设每次试验中事件A发生的概率为p，n次重复独立试验中事件A发生的次数为un，则对任意0,事件的频率 有此定理说明了频率的稳定性此定理说明了频率的稳定性。三三.中心极限定理中心极限定理书书P109P109定理定理3.11 林德贝格林德贝格-勒维定理勒维定理例例1.用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为100克,标准差为10克,一箱内装200袋味精,求一箱味精净重大于20500克的概率?解：解：设一箱净重为X,箱中第i袋味精净重为Xi,(i=1,2,200)则X1,X2,X200独立同分布独立同分布,EXi=100,DXi=102=100,且由中心极限定理得X近似服从正态分布,所求为P(X20500)=1-P(X20500)=0.0002故一箱味精净重大于20500的概率为0.0002.例例3.一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50kg,标准差为5kg.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试用中心极限定理说明每车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977.例例2.书书P110例例3.30解解:设Xi(i=1,2,n)为装运的第i箱的重量,n是所求的箱数.则X1,X2,Xn独立同分布独立同分布,由中心极限定理得所以即最多可以装98箱.书书P111P111定理定理3.12(ab有棣莫弗拉普拉斯中心极限定理说明：说明：这个公式给出了这个公式给出了n 较大时二项分布的概率较大时二项分布的概率 计算方法。计算方法。例1.从次品率为0.05的一批产品中随机地取200件产品。分别用二项分布，泊松分布，棣莫佛拉普拉斯中心极限定理计算取出的产品中至少有3个次品的概率.解：（1）用二项分布计算(2)用泊松分布进行近似计算(3)用棣莫佛拉普拉斯中心极限定理计算例1例2.一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一人死亡的概率为0.006，死亡后其家属可向保险公司领得1000元。（1）(1)保险公司亏本的概率是多少？（2）(2)保险公司一年的利润不少于元40000，60000元，80000元的概率是多少？解：设X为一年内死亡的人数，则由题设知(1)保险公司亏本，即由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理得(2)利润不少于40000元，即同理例3.某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？解：设有X部分机同时使用外线，则有设有N条外线。由题意有由德莫佛-拉普拉斯定理有例4假设根据统计资料，男孩出生率为0.515，女孩出生率为0.485，试用中心极限定理求在10000个新生婴儿中男孩不多于女孩的概率。解：用X表示10000个新生婴儿中男孩的人数，则Xb(10000，0.515)男孩不多于女孩,即例5.一条自动生产线上生产的产品次品率为20%，连续生产5000件，用中心极限定理估计次品率19%到21%之间的概率。解：设X表示5000件产品中的次品数，则XB(5000，0.2)例6一学校有1000名住校学生，每人都以80%的概率去图书馆上自习，问图书馆至少应设多少个座位才能以99%的概率保证上自习的同学有座位？解：X表示同时去图书馆的人数，则XB(1000，0.8)设至少设K个座位才能以99%的概率保证上自习的同学有座位，即从而应设823个座位才能以99%的概率保证上自习的同学有座位。