多维随机变量题库

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真诚为您提供优质参考资料,若有不当之处,请指正。#00001已知F(x,y)=A(B+arctg, 1)求常数A,B,C。2)求P0X2,0Y2X ; 3)求F(0.5,0.5)*00003解:1) 如图所示区域D为(X,Y)的非0定义域由归一性 图3)由F(x,y)的几何意义,可将F(0.5,0.5)理解为(X,Y)落在X0.5,Y0.5区域(见如图G1)上的概率。故有#00004已知(X,Y)的分布函数为 求FX(x)与FY(y)。*00004解:FX(x)=F(x,)=FY(y)=F(,y)= #00005(X,Y)的分布函数如 2.1.求X及Y的边缘概率密度。*00005解法1:可先求出(X,Y)的概率密度,再由式(3.2.1)和(3.2.2)求出X与Y的边缘概率密度解法2: 2.1.已算出了FX(x)及FY(y),则fX(x)=FX(x,)= fY(y)=FY(y)= #00006已知(X,Y)的分布律为xy1011/103/1001/103/10求X、Y的边缘分布律*00006解:由式(3.2.5)可得:xy10pi.11/103/102/503/103/103/5p.j2/53/5#00007已知(X,Y)的分布函数为 问X与Y独立吗?*00007解:FX(x)=F(x,)=FY(y)=F(,y)= 故与不独立。 #00008已知随机变量(X,Y)的分布律为x1200.150.151ab 且知X与Y独立,求a、b的值。*00008解:首先,a+b=1-0.15-0.15=0.7又X与Y独立,由定理3.2.3.a=(a+b)(0.15+a)a=0.35b=0.7-0.35=0.35#00009甲乙约定8:009:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达,先到者最多等待15分钟,过时不候。求两人能见面的概率。*00009解:设甲于8点零分钟到达、乙于8点另分钟到达。由题意,与独立且U(0,60)(分),YU(0,60)(分),两人能见面等价于15。为求p|X-Y|1/3|X=-1/3*00012解:(1)由式(3.3.5)当-1x1,x1时#00013已知随机变量X与Y独立,其分布律分别为X10Y-101pX0.40.6PY0.20.30.5分别求随机变量Z=max(X,Y),与W=X-Y的分布律。并求(Z,W)的分布律。*00013解:作下表,表中第一行是自变量(X,Y)的全部可能取值点;第二行是第一行各取值相应的概率;第三、第四行分别是第一行各取值点相应的Z、W的取值。(X,Y)(1,-1)(0,-1)(1,0)(0,0)(1,1)(0,1)Pi,j0.080.12,0.120.180.20.3Z=max(X,Y)101011W=X+Y0-11021从上表可以确定Z的取值域为0,1,W的取值域为-1,0,1,2.函数变量取某值的概率等于该值在表中相应概率之和。例如PZ=0=0.12+0.18=0.3于是,Z、W的分布律分别为:Z01W-1012PZ0.30.7PW0.120.260.420.2#00014设二维随机变量(X,Y)在矩形域G=(x,y)|0x2,0y1上服从均匀分布,试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度。*00014解:此题显然是已知(X,Y)的分布,求S=XY的概率密度问题。(X,Y)的概率密度为 图3.4S的分布函数为FS(s)=PSs=PXYs当s0时,FS(s)=0当s2时,FS(s)=1现在,设0ss, 位于曲线xy=s下方的点满足xy0,b0,试写出L的寿命Z的概率密度*00017解:由于当L1,L2中有一个损坏时,系统L就停止二作,所以这时L的寿命为Z=min(X,Y)由已知得,X、Y得分布函数分别为 Zmin(X,Y)的分布函数为于是,Zmin(X,Y)的概率密度为#00018设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2并联而成并,设L1,L2的寿命分别为X与Y,已知它们的概率密度分别为 其中a0,b0,试写出L的寿命Z的概率密度*00018解:由于当且仅当都损坏时,系统L才停止工作,所以这时L的寿命Z为Z=max(X,Y)Z的分布函数为FZ(z)=FX(z)FY(z) =于是,Z=max(X,Y)的概率密度为 #00019(12分)设随机变量(X,Y)的联合密度函数为(1)求常数C;(2)求关于X和关于Y的边缘密度函数; *00019解(1)根据得(4分)(2)(8分)(12分)#00020(12分)设随机变量(X,Y)的联合密度函数为(1)求常数C;(2)求;(4)求(X,Y)的联合分布函数;(5)求Z=X+Y的密度函数;(6)求M=max(X,Y)和m=max(X,Y)的密度函数;(7)求P(X+Y1)。*00020解(1)根据得(4分)(2)(8分)(12分)#00021(16分)设随机变量(X,Y)的联合密度函数为(1)求常数C;(2)求(X,Y)的联合分布函数;*00021解(1)根据得(4分)(2)当x0或y0时,(6分)当时,(8分)当时(12分)因此(X,Y)的联合分布函数为(16分)#00022(12分)设随机变量(X,Y)的联合密度函数为(1)求常数C;(2)求Z=X+Y的密度函数*00022解(1)根据得(4分)(2)根据两个随机变量和的密度函数公式(6分)得当z0时,而当z0时(10分)因此(12分)#00023(14分)设随机变量(X,Y)的联合密度函数为(1)求常数C;(2)求M=max(X,Y)和m=max(X,Y)的密度函数*00023解(1)根据得(4分)(2)当x0时,。当x0时,(6分)即(8分)所以随机变量M=max(X,Y)的密度函数为当x0时,当x0时,(12分)因此m的密度函数为(14分)#00024(14分)设随机变量(X,Y)的联合密度函数为(1)求常数C;(2)求M=max(X,Y)和m=max(X,Y)的密度函数*00024(1)根据得(4分)(2)当x0时,。当x0时,(6分)即(8分)所以随机变量M=max(X,Y)的密度函数为当x0时,当x0时,(12分)因此m的密度函数为(14分)#00025(10分)设随机变量(X,Y)的联合密度函数为(1)求常数C;(2)求P(X+Y1)。*00025解(1)根据得(4分)(10-分#00026设随机变量X与Y相互独立,且同服从0,1上的均匀分布,试求:Z=|X-Y|的分布函数与密度函数*00026解:先求Z的分布函数Z的密度函数为(12分)#00027设随机变量X与Y相互独立,且同服从0,1上的均匀分布,试求:求(U,V)关于U和关于V的边缘密度函数;*00027解:关于U的边缘密度为(9分)关于V的边缘密度函数为(12分)#00028(12分) 设随机变量X与Y相互独立,且同服从0,1上的均匀分布,试求:求U与V的相关系数。并判断X与Y是否不相关。*00028(9分)因X与Y独立且同分布,所以DX=DY,因而Cov(U,V)=0,从而,即U与V不相关。(12分)#0000014 / 14
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