（全国通用）高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第2节 空间几何体的表面积与体积课件 文 新人教A

第第2节节 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 最新考纲 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 1.多面体的表(侧)面积 多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和. 知知 识识 梳梳 理理 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 2rl 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧_ S圆锥侧_ S圆台侧_ rl (r1r2)l 3.空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积S侧2S底 V 锥体(棱锥和圆锥) S表面积S侧S底 V 台体(棱台和圆台) S表面积S侧S上S下 V13(S上S下 S上S下)h 球 S V S底h 13S底h 4R2 43R3 常用结论与微点提醒 1.正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为 a，球的半径为 R， 若球为正方体的外接球，则 2R 3a； 若球为正方体的内切球，则 2Ra； 若球与正方体的各棱相切，则 2R 2a. 2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a， b， c， 外接球的半径为R， 则2R a2b2c2. 3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31. 1.思考辨析(在括号内打“”或“”) 解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确. (2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确. 答案 (1) (2) (3) (4) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积.( ) (2)球的体积之比等于半径比的平方.( ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( ) (4)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R32a.( ) 诊诊 断断 自自 测测 2.(必修2P27练习1改编)已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) 解析 由题意，得S表r2rlr2r 2r3r212，解得r24，所以r2(cm). 答案 B A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.32 cm 答案 A 解析 设正方体的棱长为 a，则 a38，解得 a2.设球的半径为 R，则 2R 3a，即 R 3.所以球的表面积 S4R212. 3.(2016 全国卷)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上， 则该球的表面积为( ) A.12 B.323 C.8 D.4 答案 B 解析 如图画出圆柱的轴截面 ABCD，O 为球心.球半径 ROA1，球心到底面圆的距离为 OM12.底面圆半径 r OA2OM232，故圆柱体积 Vr2 h322134. 4.(2017 全国卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A. B.34 C.2 D.4 5.(2018 天津河西区质检)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为_m3. 答案 2 解析 根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为 2 m，高为 1 m 的平行四边形，四棱锥的高为 3 m.故该四棱锥的体积 V132132 (m3). 考点一考点一 空间几何体的表面积空间几何体的表面积 【例1】 (1)(2016 全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A.20 B.24 C.28 D.32 (2)(2017 全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A.10 B.12 C.14 D.16 解析 (1)几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h. 由三视图知r2，c2r4，h4. 所以 l 22（2 3）24. 故该几何体的表面积 S表r2ch12cl416828. 答案 (1)C (2)B (2)由三视图可画出直观图， 该直观图各面内只有两个相同的梯形的面， S梯12(24)26，S全梯6212. 规律方法 1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式. 2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. 【训练1】 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( ) A.82 2 B.112 2 C.142 2 D.15 A.17 B.18 C.20 D.28 (2)(2016 全国卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是283，则它的表面积是( ) 解析 (1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示. 直角梯形斜腰长为 1212 2，所以底面周长为 4 2，侧面积为 2(4 2)82 2，两底面的面积和为 2121(12)3.所以该几何体的表面积为 82 23112 2. 答案 (1)B (2)A 其表面积是球面面积的78和三个14圆面积. 设球的半径为 R，则7843R3283，R2. 故几何体的表面积 S784R234R217. (2)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心 O 且互相垂直的三个平面)切掉18球所剩的组合体， 考点二考点二 空间几何体的体积空间几何体的体积 A.3 B.32 C.1 D.32 【例 2】 (1)如图所示，正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 3，D为 BC 中点，则三棱锥 AB1DC1的体积为( ) (2)(2016 山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为( ) A.1323 B.1323 C.1326 D.126 答案 (1)C (2)C 解析 (1)如题图， 在正ABC中， D为BC中点， 则有AD32AB 3， 又平面BB1C1C平面 ABC， ADBC， AD平面 ABC， 由面面垂直的性质定理可得 AD平面 BB1C1C，即 AD 为三棱锥 AB1DC1的底面 B1DC1上的高， VAB1DC113SB1DC1 AD13122 3 31. (2)由三视图知该四棱锥是底面边长为 1，高为 1 的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为1312112432231326. 规律方法 1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解. 3.若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 【训练2】 (1)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( ) (2)(2018 郑州质检)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_. A.2 B.92 C.32 D.3 答案 (1)D (2)33 (2)由题可知，三棱锥每个面都是腰为 2 的等腰三角形， 由正视图可得如右俯视图，且三棱锥高为 h1， 则体积 V13Sh13122 31 133. 解析 (1)由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且 S底12(12)23.V13x 33，解得 x3. 考点三考点三 多面体与球的切多面体与球的切、接问题接问题(典例迁移典例迁移) 【例3】 (经典母题)(2016 全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是( ) A.4 B.92 C.6 D.323 解析 由ABBC，AB6，BC8，得AC10. 要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切， 若球与三个侧面相切，设底面ABC的内切圆的半径为r. 球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大. 由 2R3，即 R32.故球的最大体积 V43R392. 则126812(6810) r，所以 r2.2r43，不合题意. 答案 B 【迁移探究 】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积. 解 将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1， 则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球. 体对角线BC1的长为球O的直径. 故S球4R2169. 因此 2R 324212213. 规律方法 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题. 【训练3】 (1)(2017 全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9.则球O的表面积为_. (2)(2018 佛山一中月考)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( ) A.36 B.64 C.144 D.256 解析 (1)如图，连接OA，OB， 因为SAAC，SBBC，所以OASC，OBSC. 因为平面SAC平面SBC，平面SAC平面SBCSC，且OA平面SAC， 所以OA平面SBC. 设球O的半径为r，则OAOBr，SC2r， 所以 VASBC13SSBCOA13122rrr13r3， 所以13r39r3，所以球 O 的表面积为 4r236. 答案 (1)36 (2)C (2)因为AOB 的面积为定值，所以当 OC 垂直于平面 AOB 时，三棱锥 OABC 的体积取得最大值.由1312R2R36，得 R6.从而球 O 的表面积 S4R2144.